Знак умножения
Знак умноже́ния — математический знак операции умножения. В качестве знака умножения, согласно ГОСТ Р 54521-2011[1], используется один из следующих символов[2]:
- Точка (посередине строки)
⋅
[3][4]: . В некоторых шрифтах 22С5 на более высокой позиции в строке (используется math centerline вместо text baseline), также может быть кругом (тогда как начертания 00B7 могут быть разными в разных шрифтах) или отображаться квадратной точкой. Юникод отмечает 22С5 более предпочтительным в математическом использовании[4] по сравнению с 00B7. В ISO 80000-2:2009 входило нормативное приложение Annex A "Clarification of the symbols used" с таблицей A.1, в которой для умножения (2-9.5) был явно указан "dot operator 22C5". В ISO 80000-2:2019 такого приложения уже не содержалось. Действующий ГОСТ 54521 содержит такую таблицу, определяющую символ точки как 22C5[1].- часто в простой текстовой записи используют интерпункт 00B7, который легче набрать
·
- Косой крестик
×
[5]: . Используется преимущественно в младших классах школы.
В языках программирования и информатике умножение часто обозначается звёздочкой: a * b
. Иногда для умножения с плавающей запятой используется символ «circled times»[6]:
До появления компьютеров в текстах, напечатанных на пишущей машинке, знак умножения мог изображаться как строчная буква х
или x
.
Если второй сомножитель обозначен буквой, знак умножения обычно опускается[2]; то же, если второй сомножитель заключён в скобки или обозначает имя функции (в последнем случае, во избежание ошибок, может понадобиться пробел между сомножителями). Примеры:
Присутствующее умножение может быть обозначено невидимым символом
U+2062 invisible times[7].
История
[править | править код]Самый старый из используемых символов умножения — косой крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» (1631, Лондон)[8][9]. До него использовали чаще всего букву M, предложенную в 1545 году Михаэлем Штифелем и поддержанную Симоном Стевином. Позднее предлагались и другие обозначения[10][11][12]:
- латинское слово in (Франсуа Виет);
- символ прямоугольника в начале произведения и запятую в конце (Эригон, 1634);
- звёздочку (Иоганн Ран, она появилась в его книге «Teutsche Algebra», 1659);
- букву x (в одном из трудов Валлиса,1655); возможно, это типографская ошибка, так как на одной странице у Валлиса встречаются и буква x, и косой крестик.
Готфрид Лейбниц, поэкспериментировав с несколькими разными символами, в конце концов решил заменить крестик на точку (1698 год)[8], чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и Томаса Хэрриота. Многие математики, начиная с Диофанта, вместо знака умножения просто записывали операнды подряд[12][10].
Использование
[править | править код]Символ ×
[править | править код]Кроме умножения чисел, символ используется во многих других ситуациях. Примеры.
- Векторное произведение двух векторов[13]:
- Декартово произведение двух множеств[14]:
- Число строк и столбцов в матрице:
- Для ряда (группы) числовых значений одной величины используется знак ×. Например, геометрический размер (габариты) объекта 50 × 10 × 10 мм[15].
- Используется в языке программирования APL как унарный оператор для обозначения функции знака (sgn).
- Статистическое взаимодействие между двумя независимыми переменными.
- Код увеличения, например — — означает десятикратное увеличение.
- В таксономии знак умножения используется в качестве знака гибридного происхождения.
- В советском варианте шахматной нотации знак умножения служит для обозначения мата.
Для ввода с клавиатуры символа в среде Microsoft Windows следует, прижав клавишу Alt, набрать на цифровой клавиатуре сочетание[16] Alt+0215.
Символ интерпункта
[править | править код]Центрированная точка используется в некоторых древних и современных языках для словоразделения, указания особенностей произношения и т. д. В математике она может обозначать скалярное произведение векторов, произведение матриц и других математических объектов.
Для случая устаревшего британского десятичного разделителя "raised decimal point" (подробнее en:Decimal separator#History) Юникод отмечает предпочтительным использование символа 00B7 middle dot[7].
Для ввода с клавиатуры символа интерпункта в среде Microsoft Windows следует, прижав клавишу Alt, набрать на цифровой клавиатуре сочетание Alt+250 (для жирной точки — Alt+0149)[16].
Кодировка
[править | править код]Знаки пунктуации[4]:
Знак | Unicode | HTML | LAΤΕΧ | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Код | Название | Шестнадцатеричное | Десятичное | Мнемоника[17] | ||
* | U+002A | asterisk | *
|
*
|
*
|
* |
• | U+2022 | bullet | ∙
|
•
|
• •
|
|
· | U+00B7 | middle dot | ·
|
·
|
· · · ·
|
— |
Математические операторы:
Знак | Unicode | HTML | LAΤΕΧ | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Код | Название | Шестнадцатеричное | Десятичное | Мнемоника[17] | ||
× | U+00D7 | multiplication sign | ×
|
×
|
× ×
|
\times
|
| U+2062 | invisible times¹ | ⁢
|
⁢
|
⁢ ⁢
|
|
∗ | U+2217 | asterisk operator | ∗
|
∗
|
∗
|
\ast
|
∙ | U+2219 | bullet operator | ∙
|
∙
|
— | \bullet
|
⋅ | U+22C5 | dot operator | ⋅
|
⋅
|
⋅
|
\cdot
|
¹ используется, чтобы сомножители не разбивались на разные строки, переносились вместе[источник не указан 770 дней].
Знак | Unicode | HTML | LAΤΕΧ | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Код | Название | Шестнадцатеричное | Десятичное | Мнемоника | ||
✕ | U+2715 | multiplication x | ✕
|
✕
|
— | — |
✖ | U+2716 | heavy multiplication x | ✖
|
✖
|
— | — |
Другие варианты и связанные символы:
- U+2297 ⊗ circled times (HTML
⊗
·⊗
) - U+2A09 ⨉ n-ary times operator (HTML
⨉
) - U+2A2F ⨯ vector or cross product (HTML
⨯
) - U+2A30 ⨰ multiplication sign with dot above (HTML
⨰
) - U+2A31 ⨱ multiplication sign with underbar (HTML
⨱
) - U+2A34 ⨴ multiplication sign in left half circle (HTML
⨴
) - U+2A35 ⨵ multiplication sign in right half circle (HTML
⨵
) - U+2A36 ⨶ circled multiplication sign with circumflex accent (HTML
⨶
) - U+2A37 ⨷ multiplication sign in double circle (HTML
⨷
) - U+2A3B ⨻ multiplication sign in triangle (HTML
⨻
) - U+2AC1 ⫁ subset with multiplication sign below (HTML
⫁
) - U+2AC2 ⫂ superset with multiplication sign below (HTML
⫂
)
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 ГОСТ 54521.
- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1985.
- ↑ математический оператор U+22C5 dot operator
Unicode Consortium. 22C5 // Unicode 14.0.0 Code Charts. Mathematical Operators. Range: 2200-22FF (англ.). — 2021. Архивировано 15 июня 2018 года.
- ↑ 1 2 3 Unicode14, 2021, 22.5 Mathematical symbols. Mathematical Operators: U+220-U+22F. Disunifications, с. 870.
- ↑ Mathematical Operator × U+00D7 multiplication sign Unicode Consortium. 00D7 // Unicode 14.0.0 Code Charts. C1 Controls and Latin-1 Supplement. Range: 0080-00FF (англ.). — 2021. Архивировано 15 июня 2018 года.
- ↑ MathWorld.
- ↑ 1 2 Unicode14, 2021, 22.6 Invisible Mathematical Operators. Invisible Multiplication, с. 870.
- ↑ 1 2 Умножение : [арх. 19 октября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- ↑ William Oughtred. Clavis Mathematicae. — 1667. — P. 10. — «Multiplicatio speciosa connectit utramque magintudinem propositam cum notâ in vel ×: vel plerumque absque notâ, si magnitudines denotentur unica litera». Источник . Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 141. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.
- ↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.
- ↑ Cross Product . Дата обращения: 6 июля 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.
- ↑ Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 10. — 176 с.
- ↑ МИ 2630-2000 «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы. Рекомендация» п. 8.7 стр. 30
- ↑ 1 2 Знаки умножения на клавиатуре Архивная копия от 9 июля 2021 на Wayback Machine.
- ↑ 1 2 w3c. HTML Living Standard. 13.5 Named character references (англ.). html.spec.whatwg.org (6 июля 2022). Дата обращения: 8 июля 2022. Архивировано 2 июля 2022 года.
См. также
[править | править код]- Прямое произведение (Cartesian product)
- Скалярное произведение (scalar product)
- Векторное произведение (vector product)
- Тензорное произведение (tensor product)
- inner product
- Свёртка (convolution)
Литература
[править | править код]- Иванова О. А. Умножение чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 495—496. — 1248 с.
- Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
- Unicode Consortium. The unicode standard. Version 14 - Core Specification (англ.). — Mountain View, 2021. — ISBN 9781936213290.
- ГОСТ Р 54521-2011 . protect.gost.ru. Дата обращения: 12 июля 2022. (оригинальный, = ISO 80000-2:2009)
- ГОСТ Р 54521-2011 НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах . Дата обращения: 7 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года. (распознанный)
- 5.4.6 Умножение и деление обозначений величин, значений величин или чисел // Брошюра «Международная система единиц SI» 2019 год. — 9-е изд. — Росстандарт, 2019. — С. 34. — 96 с.
- SI Brochure: The International System of Units (SI) (англ.). — 2019.
- ISO 80000-1:2009 7.2.2 Combination of symbols for units стр. 25, 7.3.3 Multiplication and division "a cross or a half-high dot" стр. 27 (напр. BS ISO 80000-1:2009)
- ISO 80000-2:2019 “Quantities and units — Part 2: Mathematics” п. 2-9.5 "half high dot or a cross" (напр. BS ISO 80000-2:2009 п. 2-9.5, SASO ISO-800000-2-2020 п. 2-10.5)
- МИ 2630-2000 «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы. Рекомендация» ВНИИМ п. 8.7 (ряд числовых значений), 8.11, 9.7
- Математические знаки : [арх. 3 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.