Аньезиана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пять форм аньезианы Из них оранжевая - верзиера, красная — псевдоверзиера

Аньезиа́на (англ. agnesiana — кривая Аньези[1]) (частный случай — верзие́ра[2][3][4]) — гиперболизм окружности с полюсом на этой окружности и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе[5][6].

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

с радиусом и полюсом в начале координат на окружности и прямой , имеющий следующее уравнение[5][6]:

или

или

Полагают, что : при аньезиана вырождается в ось абсцисс[7][5].

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка[4][8].

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами[3][5][9][8]:

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы[10].

Своё название аньезиана получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей частный случай этой кривой — верзиеру — в 1748 году[9][11][4][7][12][13]. Ранее верзиеру изучали Пьер Ферма в 1630 году и Гвидо Гранди в 1703 году[3].

Определения аньезианы

[править | править код]

Определение и уравнение

[править | править код]

Аньезиа́на (англ. agnesiana — кривая Аньези[1]) — гиперболизм окружности, ограниченный тем, что его полюс расположен на этой окружности, и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе[5][6]. Эта окружность называется образующей[7], или производящей[8][14]. Точка образующей окружности, диаметрально противоположная полюсу, называется вершиной аньезианы[11].

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

с радиусом ограниченный тем, что его полюс расположен на окружности, куда удобно поместить также и начало координат, и произвольной прямой . Такой гиперболизм окружности записывается уравнением, полученным из уравнения окружности[5][6]:

или

или

Полагают, что , поскольку при аньезиана вырождается в прямую — ось абсцисс[7][5].

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка[4][8].

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами[3][5][9][8]:

Приведённое выше уравнение аньезианы в декартовой системе координат

(с площадью области, ограниченной кривой и асимптотой [5]) может быть записано по-другому:

  • в сокращённой форме[5][15]:
где — диаметр базовой окружности гиперболизма (и площадью [5]);
  • с изменённым параметром (и площадью )[15]:

Все уравнения, рассмотренные выше, имеют вертикальную ось симметрии (совпадающую с оью ординат) и асимптоту , расположенную снизу от кривой. Но асимптоту можно расположить на графике и сверху, записав уравнение аньезианы в следующей форме:

У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью ординат. У следующих уравнений ось симметрии аньезианы совпадает с осью абсцисс[5]:

  • асимптота расположена слева от кривой:
  • асимптота расположена справа от кривой:

Частные случаи

[править | править код]

Верзиера (локон Аньези) — частный случай аньезианы при со следующим уравнением[3][4][16][9][7][13][17][14][18][19]:

Псевдоверзиера — частный случай аньезианы при со следующим уравнением[20][9]:

Поскольку уравнение верзиеры можно записать в виде

а уравнение псевдоверзиеры в виде

то псевдоверзиера получается удвоением ординат верзиеры, если другими словами, если диаметр образующей окружности верзиеры равен радиусу образующей окружности псевдоверзиеры[8].

Вывод уравнения и геометрическое построение

[править | править код]

Получить аньезиану путём гиперболизма базовой окружности радиуса с началом координат на этой окружности и базовой прямой , перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат[3][21] можно двумя способами:

  • исходя из уравнения образующей окружности:
  • исходя из преобразования гиперболизма:

Получаем, что преобразование гиперболизма окружности:

  • сохраняет ординату
  • изменяет абсциссу пропорционально абсциссе и обратно пропорционально ординате с постоянным коэффициентом
Геометрическое построение красной точки аньезианы

Выясним роль образующих окружности и прямой, построив аньезиану геометрически (см. рисунок справа)[2][21]:

  • выберем внутри диаметра образующей окружности произвольную точку с ординатой , которая будет также и ординатой аньезианы;
  • проведём прямую , которая пересечётся с образующей окружностью в точке на которой будет расположена точка аньезианы;
  • проведём образующую прямую ;
  • проведём прямую через начало координат, которая пересечётся с образующей прямой в точке ;
  • проведём прямую через точку , которая пересечётся с прямой в точке — точке аньезианы.

Так как полюс находится на окружности, то иногда при построении аньезианы вместо окружности используют её точку , диаметрально противоположную полюсу. При этом точка есть основание перпендикуляра, опущенного из точки на произвольную прямую, проходящую через полюс (см. рисунок справа)[6].

Получим уравнение аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения[17]:

  • пусть уравнение прямой есть
,
где — некоторый угловой коэффициент;
  • тогда декартовы координаты точки , лежащей на окружности, будут
а точки
  • наконец, координаты точки получаются
откуда уравнение аньезианы есть

Другой способ получения уравнения аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения[19]:

  • имеет место пропорция
  • имеет место соотношение
  • тогда

то есть

Из подобных треугольников 0yP и 0bP' этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования гиперболизма, которое зависит только от образующей прямой и не зависит от образующей кривой[10]:

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы[10].

Уравнение в других координатных системах

[править | править код]

Для перевода уравнения кривой из декартовой в полярную систему координат (и обратно) используют соотношения

поэтому уравнение аньезианы будет следующим[22]:

или

В параметрическом виде уравнение аньезианы на вещественной декартовой плоскости

может быть таким[3][23]:

где

или таким[8]:

где

или таким[18]:

где

или таким[18]:

где

Из декартовых параметрических уравнений

можно получить в параметрическом виде уравнение аньезианы в полярных координатах[23]:

Виды аньезиан

[править | править код]

В этом разделе аньезианы определяются уравнением

Точки перегиба и максимум

[править | править код]
Отмечены точки перегиба и общие полюс в начале координат и вершина

Вычислим вторую производную функции, задающей аньезиану:

В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующего уравнения:

Получаем следующие точки перегиба аньезианы[23][4][5][24][8][14][18] (см. рисунок справа):

лежащие на прямой

Точки экстремума удовлетворяют уравнению

поэтому аньезиана имеет единственный максимум в точке на образующей окружности — вершину[23][4][5].

Пересечение с образующей окружностью

[править | править код]
Отмечены точки пересечения аньезиан с образующей окружностью

Аньезиана

всегда пересекается с образующей окружностью

в точке вершины и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения образующей прямой с образующей окружностью.

Найдём эти две точки. Для этого уравнение аньезианы

подставим в уравнение образующей окружности

получим:

Итак, две искомые точки задаются уравнением

при условии

то есть это точки

В итоге аньезианы по точкам пересечения с образующей окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа):

  • при имеем три точки пересечения: и
  • для пограничной верзиеры с две предыдущие точки пересечения сливаются с «тройной» точкой
  • при имеем одну обычную точку пересечения

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, с. 326.
  2. 1 2 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 90.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 Ferréol Robert. Witch of Agnesi, 2019.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 Аньези локон, 1988.
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 60.
  6. 1 2 3 4 5 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 73, 215.
  7. 1 2 3 4 5 Иванов А. Б. Аньези локон, 1977.
  8. 1 2 3 4 5 6 7 8 Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 4. Верзиера, с. 90.
  9. 1 2 3 4 5 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 214.
  10. 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, Класс IV. Гиперболизмы конических сечений, с. 23—24.
  11. 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 2006, § 506. Верзьера Аньези, с. 870.
  12. Аньези локон, 1970.
  13. 1 2 Линия, 1973, с. 467—468.
  14. 1 2 3 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 2006, § 506. Верзьера Аньези, с. 871.
  15. 1 2 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 215.
  16. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 60, 66.
  17. 1 2 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 91.
  18. 1 2 3 4 Weisstein Eric W. Witch of Agnesi, 2024.
  19. 1 2 Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 4. Верзиера, с. 89.
  20. Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 60, 177.
  21. 1 2 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 73, 214.
  22. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 5.13. Piriform (De Longchamps, 1886), с. 91.
  23. 1 2 3 4 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 92.
  24. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 73, 216.