Лучше всего Эскюде помнят в связи с 2001 годом, когда он в четвёртом круге Уимблдона в пяти сетах одолел австралийца Ллейтона Хьюитта (в четвертьфинале Эскюде проиграл американцу Андре Агасси), а в декабре в финале Кубка Дэвиса против Австралии в гостях на траве снова в пяти сетах одолел Ллейтона Хьюитта, который в то время был уже первой ракеткой мира, а в решающем матче одолел Уэйна Артурса в четырёх сетах, завоевав для своей сборной победное очко – 3-2.
Николя достиг своего наивысшего рейтинга в карьере 26 июня2000 года, когда он стал номером 17 в мире. Он природный левша, кто обучался с ребёнком играть правой рукой, но делает все остальное левша. Эскюде был один из редких игроков в современном теннисе, предпочитающих стиль «подача — выход к сетке». При первой возможности Николя шёл к сетке, где пытался слёта завершить розыгрыш в свою пользу.
В 2006 году Николя объявил о своем уходе из спорта из-за постоянной травмы плеча, из-за которой в последние годы приходилось играть очень редко. В 2008—2012 годах был капитаном сборной Франции в Кубке Федерации.