Замощение (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Паркет (геометрия)»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
У этого термина существуют и другие значения, см. Замощение.
15 известных пятиугольных паркетов[1]

Парке́т или замощение — разбиение плоскости на многоугольники или пространства на многогранники без пробелов и наслоений.

Кроме паркетов на евклидовой плоскости, в математике рассматриваются «паркеты» на сфере>>>, гиперболической плоскости>>>, в трёхмерном и многомерном пространстве.

Терминология[править | править код]

Замощения, мозаики, паркеты, разбиения[править | править код]

Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (англ. tessellation, tiling), разбиениями плоскости (англ. partition), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют со́тами.

На странице 16 книги Грюнбаума и Шепарда[англ.] «Tilings and Patterns» (1987)[2] находится следующее примечание:

В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — паркетаж, разбиение и замощение.

Оригинальный текст (англ.)
In mathematical literature, the words tessellation, paving, mosaic and parquetting are used synonymously or with similar meanings. The German words for tiling are Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung and Zerlegung. The French words are pavage, carrelage and dallage. The Russian words are паркетаж, разбиение and замощение.

Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках).

Покрытия и упаковки[править | править код]

Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.

Упаковка — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).

Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой[2][3].

Ромботришестиугольный паркет 3.4.6.4
Двойственный паркет V3.4.6.4

Протоплитки[править | править код]

Протоплитки паркета (англ. prototiles, также прототипы[4]) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток[5].

Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона.

Паркет называется k-эдрическим, если множество его протоплиток (протомножество) состоит из k плиток[2][4].

Плитки паркета также называют гранями, а стороны многоугольных плиток — рёбрами, по аналогии с терминологией для многогранников[6].

3.4.4.6
3.4.6.4

Конфигурации вершин и граней[править | править код]

См. также: Конфигурация вершины, Конфигурация грани и Символ Шлефли

Ромботришестиугольный паркет[англ.] состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 36. При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4[4][7][8][9][10].

В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.

Конфигурацией грани называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках[2] или с префиксом V.

Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a1.a2....ak, то все грани двойственного ему паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va1.a2....ak. Например, конфигурации граней паркета, двойственного ромботришестиугольному паркету 3.4.6.4 (англ.), записываются как V3.4.6.4.

Виды паркетов[править | править код]

Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета топологическому диску; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей (квазиполимино[11]), содержать «отверстия», быть бесконечной полосой и т.п.[2][4].

Паркеты на плоскости[править | править код]

Правильные паркеты[править | править код]

Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами (англ. regular tilings). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет[9][12][13].

Медиафайлы на Викискладе

Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами[14].

Полиформы, располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно полиамондами, полимино и полигексами.

Для обозначения паркета из правильных p-угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли {p, q}. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — {3,6}, {4,4} и {6,3}[6].

Полуправильные паркеты[править | править код]

См. также: Архимедовы тела

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (англ. semiregular tilings) или архимедовыми паркетами[9][15][16][17].

Существует 8 полуправильных паркетов[7][10][12][16][17]. Один из восьми полуправильных паркетов (курносый тришестиугольный паркет) является хиральным, то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением[4][7][16][17].

Медиафайлы на Викискладе

Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке.

Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

Грюнбаум и Шепард разделяют термины «архимедов паркет» (англ. Archimedean tiling) и «однородный паркет» (англ. uniform tiling): к первой группе относятся паркеты, соответствующие «локальному» определению, а ко второй — «глобальному». Хотя на евклидовой плоскости два этих множества совпадают, в других пространствах существуют архимедовы паркеты, не являющиеся однородными[2].

В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.

3.5.3.5
3.6.3.6
3.7.3.7

Квазиправильные паркеты[править | править код]

Основная статья: Квазиправильный многогранник

Квазиправильный паркет (или многогранник) (англ. quasiregular tiling) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа[18][19][20].

На евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет — тришестиугольный паркет с вершинной конфигурацией 3.6.3.6. На сфере существует два квазиправильных паркета (сферических многогранника) — кубооктаэдр и икосододекаэдр.

На плоскости Лобачевского существует бесконечное множество квазиправильных паркетов вида где

Неоднородные паркеты[править | править код]

Существует бесконечное множество неоднородных (англ. non-uniform) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

Медиафайлы на Викискладе

Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n, паркет называется n-однородным (англ. n-uniform) или n-изогональным; если число орбит рёбер равно n — n-изотоксальным (англ. n-isotoxal). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов[2][9][21].


Непериодические паркеты и апериодические множества плиток[править | править код]

Непериодическая мозаика P3, впервые опубликованная Р. Пенроузом в 1978 году[2][22].
Ромбы Пенроуза с выступами и впадинами, обеспечивающими невозможность периодического покрытия без использования цветных плиток и линий[23].
Двумерная несвязная плитка Соколара — Тейлор
См. также: Замощение Фодерберга, Мозаика Пенроуза, Апериодичная мозаика и en:List of aperiodic sets of tiles
Медиафайлы на Викискладе