Признак Дирихле
Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.
Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов
[править | править код]
Рассмотрим функции и , определённые на промежутке , , и имеющую в точке особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия:
Тогда сходится. |
Рассмотрим интеграл для некоторых (не ограничивая общности будем считать ). Так как монотонна на , она на нём интегрируема, а значит, и интегрируема на как произведение интегрируемых функций.
— интегрируема, — монотонна. Условия второй теоремы о среднем выполнены и существует такая точка , что
- .
Функция ограничена на , а значит, есть такой, что , . Тогда:
мотонно стремится к нулю, следовательно, она ограничена с одной стороны , а с другой . Тогда и
- .
, что по определению означает
Тогда ( берём меньше или равно )
- ,
что есть не что иное, как критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке . Пусть , и определена на . В таком случае условия видоизменяются следующим образом:
- интеграл с нижним переменным пределом определён для всех и ограничен на ;
- монотонна на и .
Тогда сходится.
Необязательно также, что . Если , то и сходимость равносильна сходимости .
Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:
Здесь – произвольное число из промежутка, а — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.
- Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
Однако условие монотонности не является необходимым.
- — сходится.
- Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа
[править | править код]- Определение (ряд Абелева типа)
Ряд , где и последовательность — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.
Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)
[править | править код]
Пусть выполнены условия:
Тогда ряд сходится. |
- Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
- Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
- сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
- Оценка остатка ряда Абелева типа
Рассмотрим ряд и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: . - Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.
Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром
[править | править код]
Пусть функция и определёны на множестве , , и допускается, что интеграл для каких-то точек имеет особенность в точке . Пусть выполнены условия:
Тогда сходится равномерно. |
Доказательство почти идентично случаю интеграла без параметра. Фиксируем и далее рассматриваем функции и как функции одной переменной . Для них делаем всё то же, что и в доказательстве для интегралов без параметра, за исключением того, что берём одинаковый для всех (это возможно сделать по вполне ограниченности). Приходим к
- .
— равномерно стремится к нулю. Запишем определение равномерной сходимости:
Тогда
- .
Пришли к критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.
Для улучшения этой статьи желательно: |