[17]ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. Функция
векторного аргумента
, обладающая след. свойствами: (1)
; (2)
, где
— число (если предположить функцию
непрерывной, то второе свойство будет следствием первого), называется Л. в.-ф. В 3-мерном пространстве Л. в.-ф. вполне определяется заданием трех значений, к-рые она принимает для трех данных некомпланарных векторов. Примеры: 1) скалярное произведение векторов
и
(
) есть Л. в.-ф., относящая вектору число; 2) векторное произведение
(
) есть Л. в.-ф., относящая вектору вектор; 3)
(векторы
— постоянные) — так называемая диада.
Можно показать, что в 3-мерном пространстве любая Л. в.-ф., относящая вектору вектор [такую Л. в.-ф. называют аффинор (см.), исходя из ее связи с аффинным преобразованием (см.) пространства], допускает представление в форме диады. Если выбран «базис» в виде трех некомпланарных векторов
, то аффинор может быть задан с помощью квадратной матрицы (см.), составленной из 9 коэффициентов в разложениях векторов
по векторам
. Для аффиноров устанавливаются операции сложения и умножения: если
— аффиноры,
— произвольный вектор, то соотношения
,
означают соответственно, что
и
. В силу сделанного выше замечания, алгебра аффиноров эквивалентна алгебре квадратных матриц.
В общем векторном анализе, занимающемся изучением произвольных функций от вектора, Л. в.-ф. играет ту же роль, что и функция
в обыкновенном анализе: в первом приближении любая (дифференцируемая) функция заменяется (в окрестности данного значения аргумента) линейной. Дальнейшее развитие понятия Л. в.-ф. приводит к рассмотрению «многолинейной» («полилинейной») вектор-функции
, линейной относительно каждого из своих векторных аргументов; напр. смешанное произведение
есть «трилинейная» вектор[18]функция, относящая трем векторам скаляр Обобщением понятия линейной функции на случай бесконечно-мерных векторов является понятие линейного функционала (см.).