Ekuacioni i Laplasit

Në matematikë dhe fizikë, ekuacioni i Laplasit është një ekuacion diferencial i pjesshëm i rendit të dytë i emërtuar sipas Pierre-Simon Laplace-it, i cili i pari studioi vetitë e tij. Kjo shpesh shkruhet si$$\nabla ^{2}\!f=0$$ose$$\Delta f=0,$$ku $\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ është operatori i Laplasit, $\nabla \cdot$ është operatori i divergjencës (i simbolizuar gjithashtu "div"), $\nabla$ është operatori i gradientit (i shënuar gjithashtu "grad"), dhe $f(x,y,z)$ është një funksion me vlera reale dy herë i diferencueshëm. Prandaj, operatori i Laplasit hartëzon një funksion skalar në një funksion tjetër skalar.

Format në sisteme të ndryshme koordinative

Në koordinata karteziane , $$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$$Në koordinatat cilindrike, $$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$$Në koordinatat sferike, duke përdorur $(r,\theta ,\varphi )$ Konventa, $$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$$Më në përgjithësi, në koordinatat arbitrare lakore ( $\xi ^{i}$ ) ,$$\nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,$$ose$$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})$$ku $g_{ij}$ është tensori metrik Euklidian në lidhje me koordinatat e reja dhe $\Gamma$ tregon simbolet e tij Christoffel .

Në dy dimensione

Ekuacioni i Laplasit në dy ndryshore të pavarura në koordinata karteziane ka formën$${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.$$