உள்ளிடுகோப்பு

கணிதத்தில் $f:X\rightarrow Y$ என்ற சார்பில்/கோப்பில் ஒவ்வொரு $y\in Y$ க்கும் $X$ இல் $f(x)=y$ ஆகும்படி அதிக பட்சம் ஒரு $x$ தான் இருக்குமானால் $f$ உள்ளிடுகோப்பு (Injection) எனப்படும்; அதாவது, முன்னுரு உள்ள எந்த $y\in Y$ க்கும் முன்னுரு ஓருறுப்புக் கணமாகத்தான் இருக்கும்.

இதையே வேறுவிதமாகச்சொன்னால், $X$ இன் உறுப்புகள் $x_{1},x_{2}$ க்கு $f(x_{1})=f(x_{2})$ ஆக இருக்குமானால் $x_{1}$ ம் $x_{2}$ ம் சமமாக இருந்தாகவேண்டும். அதாவது, ஆட்களத்திலுள்ள தனித்தனி $x$ க்கு இணை ஆட்களத்தில் தனித்தனி $f(x)$ இருந்தாகவேண்டும்.

துல்லியமான வரையறை

$f:X\rightarrow Y$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

\forall (x,y)\in X^{2},\,\left(x\neq y\,\Longrightarrow \,f(x)\neq f(y)\right)

உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (injective map; injection; one-one map).

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (surjective map; surjection; onto map).

சில அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும் உட்கோப்பு (into map) என்று மட்டும் சொல்லலாம்.

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்

$f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

f(x)=2x-1

இது ஒரு உள்ளிடுகோப்பு. ஏனென்றால்

2x_{1}-1=2x_{2}-1\Rightarrow x_{1}=x_{2}.

$g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

g(x)=x^{2}

இது உள்ளிடுகோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, g(1) = g(-1).

$h:\mathbf {R} ^{+}\rightarrow \mathbf {R}$

h(x)=x^{2}

இது உள்ளிடுகோப்பு.

அடுக்குச் சார்பு:

exp:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto e^{x}

மடக்கைச்சார்பு $\ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}$

இவையிரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளே.

சில விளைவுகள்

எந்த $X$ க்கும் $I:X\rightarrow X$ என்ற முற்றொருமைச்சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பு.
$f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$ என்ற சார்பு :ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், அதனுடைய வரைவு ஒவ்வொரு கிடைக்கோட்டையும் அதிகபட்சம் ஒரு புள்ளியில் தான் சந்திக்கும்.
$g\circ f$ என்ற சேர்ப்புச் சார்பு உள்ளிடுகோப்பானால், $f$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும். ஆனால் $g$ உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
$f,g$ இரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளானால் $g\circ f$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகும்.
$f:X\rightarrow Y$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பு, $A\subset X$ , $B\subset X$ என்றால்

f^{-1}(f(A))=A

, மற்றும்

f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)

X ம் Y ம் முடிவுறுகணங்களாக இருந்தால், $f:X\rightarrow Y$ உள்ளிடுகோப்பாக இருப்பதும் முழுக்கோப்பாக இருப்பதும் ஒன்றுதான்.
$f:X\rightarrow Y$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், Y இன் எண்ணளவை X இன் எண்ணளவையைவிடக் குறைவாக இருக்கமுடியாது.

உள்ளிடுகோப்புகளுக்கு நேர்மாற்றுக்கோப்புகள்

உள்ளிடுகோப்புகளுடைய் இலக்கணத்தை இன்னொருவிதமாக எழுதலாம். அதாவது

f:X\rightarrow Y

உள்ளிடுகோப்பாகவேண்டுமென்றால்,

g\circ f

=

I:X\rightarrow X

ஆக இருக்கும்படி

g:Y\rightarrow X

என்ற கோப்பு ஒன்று இருக்கவேண்டும்.

ஆனால் இந்த

g

ஐ

f

இன் நேர்மாற்றுக்கோப்பாகக் கருதிவிடமுடியாது. ஏனென்றால்

f\circ g

முற்றொருமையாக இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எனினும்,

f

இனுடைய இணையாட்களத்தை மாற்றுவதால் நாம் இதைச்சாதித்துவிடலாம். அதாவது,

Y

க்கு பதிலாக,

f

இன் வீச்சை எடுத்துக்கொள்வதால்

f\circ g

யும் முற்றொருமை ஆகிவிடும்.

மேற்கோள்கள்

Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, New York: Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.

வெளியிணைப்புகள்

விக்சனரியில் injective என்னும் சொல்லைப் பார்க்கவும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்