En matemáticas , el coseno es una función par y continua con periodo
2
π
{\displaystyle 2\pi }
, además una función trascendente . Su nombre se abrevia cos .
cos
x
=
cos
(
−
x
)
{\displaystyle \cos \;x=\cos(-x)}
cos
x
=
−
cos
(
x
+
π
)
{\displaystyle \cos \;x=-\cos(x+\pi )}
En trigonometría , el coseno de un ángulo
α
{\displaystyle \alpha }
de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa :
cos
α
=
b
c
=
A
C
A
B
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {AC}{AB}}}
Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo
α
.
{\displaystyle \alpha .}
Si
B
{\displaystyle B}
pertenece a la circunferencia de radio uno con centro
O
=
A
{\displaystyle O=A}
se tiene:
cos
α
=
b
=
A
C
{\displaystyle \cos \alpha =b=AC}
Ya que
c
=
A
B
=
1
{\displaystyle c=AB=1}
.
Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AB}}}
mediante su descomposición en los vectores ortonormales
A
C
→
{\displaystyle {\vec {AC}}}
y
C
B
→
{\displaystyle {\vec {CB}}}
.
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Ley del Coseno | Ejemplo 1 | Encontrar un lado
Ley del Coseno | Ejemplo 2 | Encontrar un ángulo
Razones trigonometricas SECUNDARIA (4ºESO) trigonometria seno coseno matematicas
Solucionar un triángulo rectángulo | Razones trigonométricas | Ejemplo 1
Ley de Cosenos | Introducción
Cálculo por serie de potencias
En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real
x
{\displaystyle x}
con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes ,
x
{\displaystyle x}
. Es una función trascendente y analítica , cuya expresión en serie de potencias es:
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
…
+
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
+
…
{\displaystyle \cos x=1-{\cfrac {x^{2}}{2!}}+{\cfrac {x^{4}}{4!}}-{\cfrac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots }
que en sumatorio sería:
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
En el plano complejo
En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:
Representación gráfica
Gráfica de la función coseno, con el eje X expresado en radianes.
Relaciones trigonométricas
El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas .
cos
α
=
cos
(
α
+
k
2
π
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \cos \;\alpha =\;\;\;\cos \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z} }
Por inducción ya que aplicando un número par de veces
cos
α
=
−
cos
(
α
+
π
)
{\displaystyle \cos \;\alpha =-\cos(\alpha +\pi )}
se llega a todos los valores de k.
Relación entre el seno y el coseno
La curva del coseno es la curva del seno desplazada
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:
cos
α
=
sen
(
α
+
π
2
)
{\displaystyle \cos \alpha =\operatorname {sen} \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)}
Coseno de la suma de dos ángulos
Coseno del ángulo doble
Coseno del ángulo mitad
cos
(
α
2
)
=
{
1
+
cos
α
2
si
α
2
∈
[
−
π
2
,
π
2
)
+
2
k
π
−
1
+
cos
α
2
si
α
2
∈
[
π
2
,
3
π
2
)
+
2
k
π
,
p
a
r
a
k
∈
Z
{\displaystyle \cos {\bigg (}{\frac {\alpha }{2}}{\bigg )}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,\,{\frac {\pi }{2}}\,)+2k\pi \\-{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [\;\;\;{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi \end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z} }
Usando las fórmulas:
sen
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}
y
cos
(
2
θ
)
=
cos
2
θ
−
sen
2
θ
{\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta }
resulta:
cos
(
2
θ
)
=
2
cos
2
θ
−
1
{\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=2\cos ^{2}\theta -1}
Representación de
y
=
1
+
cos
(
2
x
)
2
.
{\displaystyle y\;=\;{\sqrt {\frac {1+\cos(2x)}{2}}}.}
y aislando
sen
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta }
:
|
cos
θ
|
=
1
+
cos
(
2
θ
)
2
{\displaystyle \vert \cos \theta \vert ={\sqrt {\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}}
El cambio
θ
=
α
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{2}}}
corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:
0
<
cos
α
2
si
α
2
∈
[
−
π
2
,
π
2
)
+
2
k
π
,
{\displaystyle 0<\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}})+2k\pi ,}
0
>
cos
α
2
si
α
2
∈
[
π
2
,
3
π
2
)
+
2
k
π
{\displaystyle 0>\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi }
donde
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
.
Suma de funciones como producto
cos
a
+
cos
b
=
2
cos
(
a
+
b
2
)
cos
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
cos
a
−
cos
b
=
−
2
sen
(
a
+
b
2
)
sen
(
a
−
b
2
)
{\displaystyle \cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
La demostración está en la sección de identidades trigonométricas .
Producto de funciones como suma
cos
(
A
)
cos
(
B
)
=
cos
2
(
A
+
B
2
)
−
sen
2
(
A
−
B
2
)
=
cos
2
(
A
−
B
2
)
−
sen
2
(
A
+
B
2
)
{\displaystyle \cos(A)\cos(B)=\cos ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)}
cos
(
A
)
cos
(
B
)
=
1
2
(
cos
(
A
+
B
)
+
cos
(
A
−
B
)
)
{\displaystyle \cos(A)\cos(B)={\frac {1}{2}}\left(\cos(A+B)+\cos(A-B)\right)}
Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud
Ángulos en Rad (X)
Ángulos en Grados (X°)
Cos(X)
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
30°
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
45°
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
60°
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
90°
0
{\displaystyle 0}
π
{\displaystyle \pi }
180°
−
1
{\displaystyle -1}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
360°
1
{\displaystyle 1}
Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una función par .
Derivada del coseno
cos
′
x
=
−
sen
x
{\displaystyle \cos 'x=-\operatorname {sen} x\,}
Generalizaciones del coseno
Véase también
Enlaces externos
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