Espacio de Sóbolev

Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo L^p, tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio L^p, estos espacios reciben su nombre del matemático ruso Serguéi Sóbolev.

Espacios ${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}$

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones, que puede verse como un subespacio de un espacio L^p. De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio vectorial del espacio L^p formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a L^p. Dado un dominio ${\displaystyle \scriptstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ el espacio de Sobolev ${\displaystyle \scriptstyle W^{m,p}(\Omega )\,}$ se define como:

${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )=\{f\in L^{p}(\Omega )|\ D^{\alpha }f\in L^{p}(\Omega ),\ \forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}\subset L^{p}(\Omega )}$

Donde ${\displaystyle D^{\alpha }f\,}$ es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio, al igual que L^p(Ω), está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$ de L^p:

${\displaystyle \|f\|_{m,p,\Omega }=\left[\sum _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right]^{1/p},\qquad 1\leq p<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{m,\infty ,\Omega }=\max _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{\infty }(\Omega )}}$

Algunas propiedades interesantes son:

• Los espacios de Sóbolev son reflexivos, es decir isomorfos a su espacio bidual, para ${\displaystyle \scriptstyle 1<p<\infty }$
• El espacio de Sóbolev ${\displaystyle \textstyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega )}$
• ${\displaystyle \textstyle W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega )}$ si ${\displaystyle \textstyle m>k}$
• ${\displaystyle \textstyle C^{m}({\bar {\Omega }})\hookrightarrow W^{m,p}(\Omega )}$
• ${\displaystyle \textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})\cap W^{m,p}(\Omega )}$ es denso en ${\displaystyle \textstyle W^{m,p}(\Omega )}$

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )={\overline {W^{m,p}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}}$

Espacios ${\displaystyle H^{m}(\Omega )}$

Los espacios de Sóbolev, con ${\displaystyle p=2\,}$ están dotados de manera natural de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios L²:

${\displaystyle H^{m}(\Omega )\equiv W^{m,2}(\Omega )}$

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de L²:

${\displaystyle (f,g)_{H^{m}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq m}(D^{\alpha }f,D^{\alpha }g)_{L^{2}(\Omega )}}$

Análogamente al caso de los espacios ${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$ se define el espacio:

${\displaystyle H_{0}^{m}(\Omega )={\overline {H^{m}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}}$

Ejemplo

Dado el intervalo [a, b], se puede definir el espacio de Sobolev ${\displaystyle \scriptstyle H^{1}([a,b])}$ a partir del espacio de funciones continuamente diferenciables sobre [a, b] con un producto escalar obtenido por la integral definida desde a hasta b, de la suma de los productos de funciones con el producto de sus derivadas:

(*)${\displaystyle \int _{a}^{b}[x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt}$

Dicho espacio no es completo; su completación es un espacio de Hilbert llamado espacio de Sóbolev y denotado H ${\displaystyle ^{1}}$.

Propiedad: El espacio ${\displaystyle \scriptstyle H^{1}([a,b])}$ está encajado en el espacio de las funciones continuas ${\displaystyle \scriptstyle C^{1}[a,b]}$.

Referencias

Bibliografía

• R. A. Adams (1975): Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
• R. Dautray & J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol II, Functional and Variational Methods, Springer-Verlag, New York, 1988.
• S.L. Sobolev, "On a theorem of functional analysis" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 34 (1963) pp. 39–68 Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497
• S.L. Sobolev, "Some applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1985.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. IIA: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1990.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. III: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1986.

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