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Alexander Grigorievskiy
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Construcción de la estrofoide recta de polo X y de punto fijo O, tomando por curva base el eje Oy
En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada y de dos puntos (el punto fijo) y (el polo).[1]
En el caso particular en el que es una recta, pertenece a , y no pertenece a , la curva se denomina una estrofoide oblicua. Si, además, es perpendicular a , la curva es denominada una estrofoide recta, o simplemente una estrofoide por ciertos autores. La estrofoide recta a veces también se denomina curva logocíclica.
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Pi69-J2a - Altre LiNEE Strane: Cissoide (DEF e primi calcoli)
Transcription
Construcción
Construcción de una estrofoide en el caso general
La curva estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P1 y P2 los dos puntos de L tales que P1K = P2K = AK. El lugar geométrico de los puntos P1 y P2 se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A. Se observa que AP1 y AP2 son ortogonales.
Ecuaciones
Coordenadas polares
Sea la curva dada por , donde el origen se toma en ; y sea el punto de coordenadas cartesianas . Si es un punto de la curva, la distancia de a es
Los puntos de la recta tienen por ángulo polar , y los puntos a distancia de sobre esta recta están a una distancia del origen. Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por
Coordenadas cartesianas
Sea de ecuaciones paramétricas . Sea el punto y el punto . Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es:
donde
Otra fórmula polar
La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica. Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando es una sectriz de Maclaurin con polos y .
Sea el origen y el punto . Sea un punto de la curva, el ángulo entre y el eje , y el ángulo entre y el eje . Se supone que se da en función de , bajo la forma . Sea el ángulo en tal que . Entonces, se puede determinar en función de usando el teorema de los senos:
Sean y los puntos de la recta a la distancia de , numerados de forma que y . El triángulo es isósceles de ángulo en el vértice, y por lo tanto los ángulos de la base , y valen . El ángulo entre y el eje es entonces
Empleando el hecho de que y son perpendiculares (puesto que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia), el ángulo entre y el eje vale
La ecuación polar de la estrofoide se deduce entonces de y según las fórmulas precedentes:
es una sectriz de Maclaurin de polos y cuando es de la forma . En este caso, y tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriz de Maclaurin, o bien una pareja de sectrices. Se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en el punto simétrico de respecto de .
Casos particulares
Estrofoides oblicuas
Sea una recta que pasa por . Entonces, en las notaciones precedentes, (donde es una constante); y y . Las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente con el origen en , denominada estrofoide oblicua, toman la forma
y
Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.
Tomando el origen en (véase el artículo sobre la sectriz de Maclaurin) y reemplazando por , se obtiene
El resultado es una cúbica unicursal según su ecuación polar. Posee una singularidad en , y la recta es una asíntota.
Estrofoide recta
Estrofoide recta
Poniendo en
se obtiene
Esta curva se denomina estrofoide recta, y corresponde al caso donde es el eje , es el origen, y es el punto .
Su ecuación cartesiana es
y su representación paramétrica unicursal es:
La curva se asemeja al folium de Descartes, y la recta es asíntota de las dos ramas infinitas. La curva posee dos asíntotasimaginarías más en el plano complejo, dadas por
Estrofoides de circunferencias que pasan por puntos fijos
Sea una circunferencia que pasa por y por . Tomando por origen y en , con las notaciones precedentes (donde es una constante), se tiene que y que . Entonces, las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son
y
Son las ecuaciones de dos circunferencias que pasan también por y , y forman ángulos de con en estos puntos.