Вложение

Вложение (или включение) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$.

Для заданных ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения ${\displaystyle X}$ с образом ${\displaystyle f(X)\subset Y}$, такую что ${\displaystyle X\subseteq Y}$.

Геометрия и топология

Общая топология

Отображение топологических пространств ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется вложением ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, если ${\displaystyle f:X\to f(X)\subset Y}$ — гомеоморфизм^[1] (на ${\displaystyle f(X)}$ рассматривается топология, индуцированная с ${\displaystyle Y}$). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства ${\displaystyle X}$ существование вложения ${\displaystyle X\to Y}$ — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в ${\displaystyle Y}$, а другое нельзя.

Дифференциальная топология

Пусть ${\displaystyle M,N}$ — гладкие многообразия и ${\displaystyle f:M\to N}$ — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал ${\displaystyle df}$ отображения ${\displaystyle f}$ всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).^[2]

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки ${\displaystyle x\in M}$ существует окрестность ${\displaystyle U\subset M,x\in U}$, такая что ${\displaystyle f:U\to N}$ — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rⁿ. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении^[3] утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

Алгебра

Теория колец

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец ${\displaystyle f\colon A\to B}$. Так как ${\displaystyle f(A)}$ является подкольцом кольца ${\displaystyle B}$, то вложение ${\displaystyle f}$ устанавливает изоморфизм между кольцами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle f(A)}$.

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: A → B, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: C → B, то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.

См. также

• Погружение (топология)

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 26 мая 2021 в 15:15.