Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.
1
0,841471
0,1
0,998334
0,01
0,999983
Хотя функция в нуле не определена, однако когда приближается к нулю, её значение становится сколь угодно близко к 1. Иными словами, предел функции в нуле равен 1.
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен .
Преде́лом фу́нкции (предельным значением функции) в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности. Изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности значений функции: , соответствующих последовательности элементов области определения функции , сходящейся к точке . Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в любой окрестности данной точки существуют точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. При этом предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо конкретно указывать способ сходимости функции, для чего вводят так называемую базу подмножеств области определения функции, и тогда определение предела функции формулируют по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Также благодаря рассмотрению расширенной вещественной прямой (на которой базу окрестностей можно построить и для бесконечно удалённой точки) можно определить такие понятия, как предел функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также стремление самой функции к бесконечности. Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента) как раз представляет собой пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции в точке означает, что для любого заданного значения области значений можно подобрать такую окрестность этого значения, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке.
Энциклопедичный YouTube
1/5
Просмотров:
257 745
744 727
60 966
41 242
19 172
Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline Математика
Рассмотрим функцию и точку стремления являющуюся предельной точкой для области определения но не обязанную ей принадлежать. Существуют несколько равносильных определений предела функции — среди них есть сформулированные Гейне и Коши.
Предел функции по Гейне
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности), последовательность значений функции сходится к [1].
Предел функции по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке если для любого положительного числа можно подобрать соответствующее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию выполняется неравенство: то есть [1].
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке если для любой окрестности точки существует проколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье «Предел вдоль фильтра».
Предел по базе множеств
Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).
число называется пределом функции по (при) базе , если для всякого найдётся такой элемент базы, что для любого выполнено .
Если — предельная точка множества , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве не пуста, а значит, существует база проколотых окрестностей в точке . Эта база имеет специальное обозначение «» и читается «при , стремящемся к по множеству ». Если область определения функции совпадает с , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «» и читается «при , стремящемся к ».
При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:
, где ;
, где .
Соответственно этому вводятся две базы:
«», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «»;
«», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «».
Односторонний пределчисловой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция вещественной переменной имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.
Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.
Пределы на бесконечности
Предел функции на бесконечности описывает поведение значений функции, когда по модулю её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.
Предел на бесконечности по Гейне
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором может находиться сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного найдётся элемент множества лежащий за границами отрезка. В этом случае число называется пределомфункциина бесконечности, если для всякой последовательности точек которая начиная с некоторого номера n будет по модулю неограниченно расти, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для всякой последовательности точек которая начиная с некоторого номера n будет неограниченно расти в положительную сторону, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности только при условии, что для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
Предел на бесконечности по Коши
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором найдётся сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, превышающих по абсолютному значению, справедливо неравенство.
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих правее , справедливо неравенство .
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих левее , справедливо неравенство .
Окрестностное определение по Коши
Пусть функция определена на множестве , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка называется пределом функции на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся такая достаточно большая окрестность нуля, что все значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки .
Частичный предел
Для функции, как и для последовательности, можно ввести понятие частичного предела. Число называется частичным пределом функции в точке если существует такая бесконечная подпоследовательность последовательности «проходя» по которой с неограниченным увеличением номера функция стремится к Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом функции в точке и обозначается наименьший из частичных пределов называется нижним пределом функции в точке и обозначается Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы [2].
Обозначения
Если в точке у функции существует предел, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к , и пишут одним из следующих способов:
или
Если у функции существует предел на бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
или
Если у функции существует предел на плюс бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
или
Если у функции существует предел на минус бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
Доказательство
Доказательство методом от противного. Пусть существует и и .
Предположим . Возьмём и запишем определения:
.
.
Пускай , тогда : и
но тогда
то есть Противоречие. Значит предел единственный.
Сходящаяся функция сохраняет знак только локально и никак иначе. Более общо́:
где — проколотая окрестность точки радиуса
В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
Строгие неравенства при переходе к пределу могут не сохраниться. Пример: В близкой окрестности нуля но их пределы в нуле совпадают.
Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.