Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Если же, начиная с некоторого номера, , при этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.
то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится.
Замечание 1. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Замечание 2. Если , и последовательность стремится к своему пределу сверху, то про ряд всё-таки можно сказать, что он расходится.
Доказательство
Пусть, начиная с некоторого номера , верно неравенство , где . Тогда можно записать , , …, , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим , откуда . Это означает, что ряд меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые членов (последовательности ) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
Пусть (начиная с некоторого N): тогда можно записать . Это означает, что модуль членов последовательности не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
Пусть , начиная с некоторого . При этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда и удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда верно для любого натурального . В то же время, поскольку , это означает, что для любого , можно подобрать такое число , что , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности , где , будут находиться на интервале , то есть . А это и означает, что не существует такого , , что для всех . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.
Примеры
Ряд абсолютно сходится для всех комплексных , так как
Ряд расходится при всех , так как
Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда и удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе:
Ссылки
d'Alembert, J. (1768), Opuscules, vol. V, pp. 171—183.