Душа риманова многообразия — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом.
Обычно предполагается, что — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.
Примеры
- Любое компактное многообразие является своей душой.
- У евклидова пространства Rn любая точка является его душой.
- У параболоида M = {(x,y,z) : z = x2 + y2}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.
- У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} с фиксированной z является душой M.
История
Термин душа введён Чигером[англ.] и Громолом[англ.] в 1972 году[1] в статье, где они, в частности, доказали теорему о душе. Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера[2]. В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе. Короткое доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом[3] в 1994 году.
Свойства
Ниже предполагаем, что — это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.
- Теорема о душе утверждает:
- Всякое (M, g) имеет душу S. Более того, многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению над S.
- Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны. Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году[4], построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-липшицев деформационный ретракт .
- Ретракция Шарафутдинова является римановой субмерсией. В частности, если имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.
Связанные открытые вопросы
- Гипотеза о двойной душе утверждает[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.
Примечания
- ↑ Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), "On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature", Annals of Mathematics. Second Series, 96: 413–443, doi:10.2307/1970819, ISSN 0003-486X, MR: 0309010
- ↑ Gromoll, Detlef; Meyer, Wolfgang (1969), "On complete open manifolds of positive curvature", Annals of Mathematics. Second Series, 90: 75–90, doi:10.2307/1970682, ISSN 0003-486X, MR: 0247590
- ↑ Perelman, Grigori (1994), "Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll" (PDF), Journal of Differential Geometry, 40 (1): 209–212, ISSN 0022-040X, MR: 1285534, Архивировано из оригинала (PDF) 23 июля 2011, Дата обращения: 23 июля 2011 Источник. Дата обращения: 23 июля 2011. Архивировано из оригинала 23 июля 2011 года.
- ↑ Шарафутдинов, V. A. (1979), "О выпуклых множествах в многообразии неотрицательной кривизны", Матем. заметки, 26 (1): 129—136
{{citation}}: Внешняя ссылка в|title= - ↑ K. Grove, Geometry of and via symmetries
Эта страница в последний раз была отредактирована 2 августа 2024 в 21:15.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.