Трёхмерная топология

Трёхмерная топология — раздел топологии, посвященный изучению трёхмерных многообразий. Относится к маломерной топологии.

Многие математические явления в размерности три могут разительно отличаться от явлений в других размерностях. По этой причине в трёхмерной топологии преобладают довольно специализированные методы. Эта особенность привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, теория чисел, теория Тейхмюллера, топологическая квантовая теория поля^[англ.], калибровочная теория^[англ.], гомологии Флоера^[англ.] и дифференциальные уравнения в частных производных.

Ключевой идеей трёхмерной топологии является рассмотрение поверхностей, вложенных в трехмерные многообразия. Такие поверхности можно привести в специальные положения, что порождает идею несжимаемости^[англ.] и теорию многообразий Хакена. Кроме того, их дополнение можно выбрать как можно более красивым, что приводит, например, к разбиению Хегора, которое является полезным инструментом для описания многообразия. Также плодотворной идеей является рассмотрение вложенных в трехмерные многообразия двумерных полиэдров, которое приводит к теории спайнов.

Фундаментальные группы трехмерных многообразий отражают многие их геометрические и топологические свойства. Таким образом, наблюдается взаимодействие между теорией групп и топологическими методами.

В целом, вместе с фундаментальной группой стандартные топологические инварианты, такие как группы гомологий и когомологий, дают много информации о структуре трёхмерных многообразий. Кроме того, в трёхмерной топологии полезными оказываются и характеристики иной природы, например квантовые инварианты^[англ.], такие как инварианты Тураева — Виро.

Во многих случаях на трёхмерных многообразиях можно ввести дополнительную структуру в виде одной из восьми модельных геометрий. Наиболее распространенной геометрией является гиперболическая. Часто оказывается плодотворным использование геометрии вместе с другими методами, таким как метод несжимаемых поверхностей.

Согласно теореме Мойза^[⇨], в размерности три гладкие, топологические и кусочно-линейные^[англ.] категории эквивалентны, поэтому обычно не заостряют внимание на разнице между топологическими, гладкими и кусочно-линейными трехмерными многообразиями, а также соответствующими типами отображений.

Теорема Мойза гласит, что в размерности три гладкие, топологические и кусочно-линейные^[англ.] категории эквивалентны^[1]. Доказана Эдвином Мойзом^[англ.].

Из теоремы следует, что любое топологическое трёхмерное многообразие обладает единственными кусочно-линейной и гладкой структурами. В связи с этим в трёхмерной топологии обычно не заостряют внимание на разнице между топологическими, гладкими и кусочно-линейными многообразиями, а также соответствующими типами отображений.

Одним из следствий теоремы Мойза является возможность триангулировать произвольное трёхмерное многообразие. Наличие триангуляции, в свою очередь, гарантирует наличие разбиения Хегора у произвольного компактного трёхмерного многообразия.

Многообразие называется простым или примарным, если в любом его разложении в виде связной суммы двух многообразий одно из них является им самим, а второе — сферой той же самой размерности.

Теорема о примарном разложении для трёхмерных многообразий гласит, что любое компактное ориентируемое трёхмерное многообразие может быть единственным образом представлено в виде связной суммы простых. Доказана Хельмутом Кнезером^[англ.] и Джоном Милнором.

Принцип конечности гласит, что для любого компактного трёхмерного многообразия существует такая константа, что любой набор из замкнутых, существенных, двусторонних поверхностей в нём, число которых превосходит эту константу, содержит параллельные элементы. Кроме того, если многообразие замкнуто, в качестве такой константы подойдёт удвоенное число тетраэдров в любой триангуляции многообразия.

Из данного принципа, в частности, следует существование примарного разложения для компактных трёхмерных многообразий.

Теорема доказана Хельмутом Кнезером^[англ.] и Вольфгангом Хакеном.

Теоремой о петле называется утверждение об отображениях дисков в трёхмерные многообразия.

Первая её часть гласит, что если простая замкнутая кривая в крае трёхмерного многообразия ограничивает в этом многообразии диск с особенностями, то она ограничивает и вложенный, несингулярный диск^[2]. Данное утверждение называется леммой Дена в честь предложившего его доказательство Макса Дена.

Вторая часть теоремы о петле, тесно связанная с первой, гласит, что если к краю ориентируемого многообразия можно прикоснуться диском с особенностями вдоль нестягиваемой по краю петли, то можно прикоснуться и вложенным диском с тем же свойством.

Данная теорема является полезным техническим инструментом в трёхмерной топологии. Например, из неё следует, что отличная от сферы и диска собственная ориентируемая поверхность в ориентируемом трёхмерном многообразии является несжимаемой тогда и только тогда, когда индуцированный вложением этой поверхности в многообразие гомоморфизм фундаментальных групп инъективен. Кроме того, из её первой части, то есть леммы Дена, следует, что если группа узла является бесконечной циклической, то такой узел тривиален.

Теорема о сфере предоставляет условия, при которых элемент второй гомотопической группы трёхмерного многообразия может быть представлен вложенной сферой.

Теоремы о петле и о сфере были доказаны Христосом Папакирьякопулосом в 1956 году.

Теорема о кольце гласит, что если две непересекающиеся простые замкнутые кривые на границе трёхмерного многообразия гомотопны, то они ограничивают собственно вложенное кольцо.

Многообразие называется неприводимым, если любая двумерная сфера в нём ограничивает шар по одну из сторон.

Теорема о торе гласит, что если компактное неприводимое трехмерное многообразие с непустым краем допускает негомотопное нулю отображение тора, то оно допускает существенное вложение либо тора, либо кольца^[3].

• Граф многообразия^[англ.]
• Многообразия Хакена
• Гомологические сферы
• Гиперболические многообразия^[англ.]
• Расслоения на отрезки^[англ.]
• Дополнения узлов и зацеплений
• Линзовое пространство
• Расслоения Зейферта, расслоения на окружности
• Сферические многообразия^[англ.]
• Расслоения над окружностью^[англ.] и торические расслоения^[англ.]

• Трёхмерное многообразие

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
• Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. — М.: Наука, 1998. — ISBN 5-211-01743-9.
• Савельев Н. Н.. Лекции по топологии трехмерных многообразий (рус.). — МЦНМО, 2004. — 216 с. — ISBN 5-94057-118-2.
• Hempel, John (2004), 3-manifolds, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/chel/349, ISBN 0-8218-3695-1, MR 2098385
• Jaco, William H. (1980), Lectures on three-manifold topology, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1693-4, MR 0565450
• Rolfsen, Dale (1976), Knots and Links, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-914098-16-0, MR 1277811
• Bing, R. H. (1983), The Geometric Topology of 3-Manifolds, Colloquium Publications, vol. 40, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. x+238, ISBN 0-8218-1040-5, MR 0928227

Эта страница в последний раз была отредактирована 24 мая 2024 в 16:42.