Уравнение Д’Аламбера

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle y=x\varphi (y')+f(y'),}$

где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle f}$ — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при ${\displaystyle \varphi (y')\equiv y'}$ называется уравнением Клеро^[1].

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

${\displaystyle y'=p.}$

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

${\displaystyle y=x\varphi (p)+f(p).}$

Дифференцирование по x даёт:

${\displaystyle p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}}$

или

${\displaystyle p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}.}$

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной ${\displaystyle y'=p=p_{0}}$, удовлетворяющей алгебраическому уравнению

${\displaystyle p_{0}-\varphi (p_{0})=0,}$

так как для постоянного ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}\equiv 0.}$

Если ${\displaystyle y'=p_{0}}$, то ${\displaystyle y=p_{0}x+C_{0}}$, постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

${\displaystyle p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),}$

так как в рассматриваемом случае ${\displaystyle p_{0}=\varphi (p_{0})}$, то

${\displaystyle C_{0}=f(p_{0})}$.

Окончательно можем написать:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle y = x \varphi(p_0) + f(p_0) } .

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к ${\displaystyle p=y'}$, тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

${\displaystyle {\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)}}={\frac {f'(p)}{p-\varphi (p)}}}$.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

${\displaystyle x=w(p,C).}$

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

${\displaystyle {\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases}}}$.

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

${\displaystyle \Phi (x,y,C)=0}$.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 11 декабря 2021 в 08:32.