Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.
Энциклопедичный YouTube
1/5
Просмотров:
16 174
2 095
8 741
15 398
3 104
Численное решение уравнений, урок 4/5. Метод касательных (Ньютона)
62 Численное решение дифференциальных уравнений
Численное решение уравнений, урок 1/5. Локализация корня
Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хорд
Лекция 22: Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (часть 1)
Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений:
или
Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Последним посвящена статья Градиентные методы.
Численные методы решения уравнений
Покажем, как можно решить изначальную систему уравнений, не прибегая к оптимизационным методам. В случае, если наша система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса или метод Ричардсона. Однако мы всё же будем исходить из предположения, что вид функции нам неизвестен, и воспользуемся одним из итерационных методов численного решения. Среди большого разнообразия таковых выберем один из наиболее известных — метод Ньютона. Этот метод в свою очередь основывается на принципе сжимающего отображения. Поэтому сначала будет изложена суть последнего.
Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если
Тогда справедлива следующая основная теорема:
Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Если — сжимающее отображение на , то:
Уравнение имеет единственный корень в ;
Итерационная последовательность сходится к этому корню;
Для очередного члена справедливо .
Из последнего пункта теоремы вытекает, что скорость сходимости любого метода на основе сжимающих отображений не менее линейной.
Поясним смысл параметра для случая одной переменной. Согласно теореме Лагранжа имеем:
Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы
Общий алгоритм последовательных приближений
Уравнение преобразуется к уравнению с тем же корнем вида , где — сжимающее отображение.
Задаётся начальное приближение и точность
Вычисляется очередная итерация
Если , то и возврат к шагу 3.
Иначе и остановка.
Применительно к общему случаю операторных уравнений этот метод называется методом последовательных приближений или методом простой итерации. Однако уравнение можно преобразовывать к сжимающему отображению , имеющему тот же корень, разными способами. Это порождает ряд частных методов, имеющих как линейную, так и более высокие скорости сходимости.
Применительно к СЛАУ
Рассмотрим систему:
Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:
Метод будет сходится с линейной скоростью, если
Двойные вертикальные черты означают некоторую норму матрицы.
Решение уравнения cos(x)=x по методу простой итерации, очередная итерация: xn+1=cos xn, начальное приближение: x1 = −1
Решение уравнения f(x)=0 по методу Ньютона, начальное приближение: x1=a.
Оптимизация преобразования исходного уравнения в сжимающее отображение позволяет получить метод с квадратичной скоростью сходимости.
Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации выполнялось . Будем искать решение данного уравнения в виде , тогда:
Воспользуемся тем, что , и получим окончательную формулу для :
С учётом этого сжимающая функция примет вид:
Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
Многомерный случай
Обобщим полученный результат на многомерный случай.
Выбирая некоторое начальное приближение , находят последовательные приближения путём решения систем уравнений: