Как звучит число ПИ

 

ДЕФОРМИРОВАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ГЛУБОКИХ И ПРОЧНЫХ ЗНАНИЙ

Под деформированным упражнением в дальнейшем обычно понимают упражнение, в котором требуется восстановить некоторые части или элементы правильно решенных задач. В чем преимущество деформированных упражнений по сравнению с обычными?

Постараюсь раскрыть содержательную суть деформированных упражнений на примере, посвященном применению распределительного закона умножения относительно сложения.

Одно дело просто применять распределительный закон умножения, например, решая достаточно большое количество упражнения типа:

При этом в процессе долгого закрепления этого правила посредством многократного повторения однообразных упражнений ученик попадает в фазу автоматического выполнения действий по образцу, а не на основе сознательного применения ранее полученных теоретических знаний. Действительно, в дальнейшем после забывания распределительного закона умножения относительно сложения даже при напоминании соответствующей формулировки некоторые учащиеся не могут понять, о чем идет речь. Но стоит им показать только один иллюстративный пример, как все встает, казалось бы, на свои места.

Нужны ли такие знания подрастающему поколению - вопрос, конечно, риторический.

Совсем иное иная картина наблюдается тогда, когда учащимся предлагают восстановить пропущенные числа в следующей записи на тоже применение распределительного закона умножения: 2222 Это и есть деформированное упражнение.

Чтобы выполнить это задание ученик должен сначала внимательно прочитать условие примера. При этом если он не будет вникать в каждую деталь задания, то он не сможет его выполнить. Согласитесь, абсолютное большинство наших учеников "за лесом не видят деревьев". Общая структура, схема задания ими как-то осознается, но конкретные элементы задания, их особенности, как правило, не становятся объектами их внимания. А ведь привычка быть внимательным и не пропускать ни одной мелочи - очень важная привычка, которую не удается отработать до автоматизма даже за 11 лет обучения.
В процессе выполнения данного деформированного упражнения вырабатываются навыки сравнения и умения ставить наводящие вопросы. Действительно, почему дробь 7/12 заменена на дробь 35/12. В процессе ответа на этот вопрос часть задания будет выполнена: 33333333 и станется найти значения еще двух пропущенных элементов.

На следующем шаге становится ясно (даже путем простого перебора), что сразу восстановить первый знак вопроса не удастся, но зато легко реконструировать второй пропущенный элемент: 444444

Теперь уже нетрудно воссоздать и весь пример: 55555555555

Даже обычный, житейский анализ процесса решения этой задачи убеждает нас в том, что деформированное упражнение требует значительных умственных напряжений со стороны учащихся. В этом можно наглядно убедиться, если наблюдать за временем, затрачиваемым учеником, натренированным на выполнение обычных упражнений рассмотренных выше и на выполнение соответствующих деформированных упражнений. Как правило, на выполнение деформированных упражнений затрачивается значительно больше времени.

Но ведь количества письменных знаков в формулировке обычного и деформированного упражнений отличаются незначительно. На что же тратит дополнительное время ученик, выполняя деформированное упражнение? Ответ прост: "Не на автоматическое вспоминание соответствующих образцов, а на продуктивное мышление (сопоставление, сравнение, анализ, выдвижение гипотез и т. д.). А не это ли самое основное в обучении учащихся?

Есть еще один аргумент, говорящий в пользу применения деформированных упражнений в процессе обучения математики. Ведь для того чтобы ученик сознательно, на теоретическом, а не механическом уровне освоил содержание и особенности применения распределительного закона умножения относительно сложения достаточно выполнить небольшое количество деформированных заданий. Наверное, в такой ситуации не потребуется многократного однообразного повторения соответствующего правила.

Используются ли деформированные упражнения в современных школьных учебниках? Конечно, да. Но даже визуальное сравнение позволяет сделать вывод о том, что деформированные упражнения - редкость, исключение, а не правило в школьных учебниках.

В связи с этим, скажут некоторые учителя нужно срочно запасаться соответствующим дидактическим материалом, закупать их в книжных магазинах. Ничего этого делать не нужно. Каждый учитель должен уметь сам создавать себе дидактические материалы исходя из своих вкусов возможностей и потребностей. Время, когда "добрые дяди" писали за учителей разнообразные, порой и ненужные методические пособия, закончилось.

А МОЖНО МЕТОДОМ ПЕРЕБОРА?

Долгое время метод перебора в школьном курсе математики относили к методам "второго сорта". Однако ученые-математики относится к методу перебора совершенно иначе. Известно много серьезных задач, которые математики не могут пока решать иначе, чем методом перебора. Поэтому необходимо уделять больше внимания этому методу и в современном школьном курсе математики.

При этом, на мой взгляд, изучение этого метода не потребует больших затрат времени на уроках, так как, как правило, при решении задач при помощи уравнений имеет смысл рассматривать и этот метод как альтернативу общепринятому методу.
Рассмотрим некоторые примеры, заимствованные из учебников математики для общеобразовательных школ.

Задача 1. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение. Очевидно, что 187 = 1·187 = 11·17. Это все представления числа 187 в виде произведения двух натуральных чисел с точностью до порядка следования множителей. При этом только произведение 11·17 полностью удовлетворяет условию задачи.

Понятно, что приведенное выше решение намного рациональнее решения при помощи составления уравнения.

Более интересными являются задачи, связанные с многозначными числами.

Задача 2. Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то в частное будет равно 6, а остаток - 2. Если же это же число разделить на произведение его цифр, то неполное частное будет 5, а остаток - 2. Найдите это двузначное число.

Решение. Понятно, что искомое число должно содержаться среди двузначных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2, то есть среди чисел: 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 80, 86, 92, 96. Из этих чисел первому условию удовлетворяет только числа: 32 и 84. При этом только 32 при делении на произведение своих цифр дает неполное частное 5, а остаток - 2.

При решении задач на нахождение многозначных чисел методом перебора важно найти то условие, которое позволяет сократить количество переборов.

Задача 3. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число на 3 меньше удвоенного первоначального числа.

Решение. Понятно, что число 7 можно представить только в виде сумму двух цифр так: 7 = 7 + 0 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4. При этом если первая цифра больше 2, то разность между удвоенным первоначальным числом и числом, которое получится, после прибавления к каждой цифре искомого число по 2 будет больше 10. Поэтому первая цифра искомого числа 1 или 2. Значит, искомое число равно 16 или 25. Так как 2·16 - 38 ? 3, а 2·25 - 47 = 3, то искомое число - 25.

Здесь мы смогли значительно сократить количество переборов благодаря тому, что заметили, что первая цифра искомого числа не может быть больше 2.

Таким образом, не следует относить метод перебора к "некрасивым" методам, которое не развивает мышление учащихся. Дело не в том, что этот метод плохой или хороший, а в учителе, который не должен упускать возможности вооружать учащихся различными методами решения задач и при этом заботиться о том, чтобы эти методы применялись обдуманно, с учетом скрытых от внешнего взора условий, которые позволяют находить рациональные решения.

LI 5.09.15

КАЖДОЙ ЗАДАЧЕ НЕСКОЛЬКО РЕШЕНИЙ

При изучении любой математической дисциплины большинство задач и примеров можно решать различными способами. При этом происходит актуализация различных знаний и умений. Это в свою очередь способствует непроизвольному их запоминанию.

Поэтому решение одной задачи несколькими способами, даже без оценки их с точки зрения рациональности, имеет большое образовательное значение для развития мышления учащихся, чем решение многих задач, но одним и тем же способом.

Формирование у учащихся привычки решать одну и ту же задачу различными способами должно, на мой взгляд, проводиться на уроках со всеми учащимися, а не только с отдельными из них на кружковых и факультативных занятиях.

Не обязательно для этого готовить специальные задачи и упражнения. Многие обычные школьные задачи допускают несколько способов решения. Учителю математики не следует упускать соответствующего момента и конструировать их вместе с учащимися. В качестве иллюстрации этих мыслей приведу следующий пример.
Задача. Упростить выражение .

Решение 1. Как правило, учащиеся попытаются применить знания и навыки, полученные при решении предшествующих задач - формулу возведения двучлена в кадрат.
= = = 8 + 2· = 8 + 6 = 14.
Это вполне естественно и ожидаемо, так как многие предшествующие задачи решались по этой схеме. Однако данная задача имеет и другое решение.

Решение 2. Нетрудно заметить, что если оба подкоренных выражения 4 + и 4 - умножить на 2, то получим полные квадраты. Действительно, 4 ± = = . Поэтому данную задачу можно решить и так:
= = = = 14.
Понятно, что это решение в дидактическом плане предпочтительнее предыдущего, так как несет для учащихся больше знаний. Рассмотренный прием может быть применен и в дальнейшем при решении задач, не аналогичных данной задаче. Поэтому заложенные в данной задаче механизмы для развития мышления учащихся не должны упускаться учителем математики.
Решение 3. Вот еще одна идея решения этой задачи. Так как (4 + )(4 - ) = 16 - 7 = 9, то 4 - = . Тогда = = = = = 14.
Таким образом, полезность и целесообразность решения одной и той же задачи различными способами налицо. И упускать такую возможность учителю математики не следует. Соответствующий же для этого дидактический материал находится практически на каждой странице любого школьного учебника математики.

Природа в цифрах

Короткометражный фильм о числах, геометрии и природе. Красивое зрелище.

Язык чисел. Гематрия.

Почему Мавзолею место в Москве, Птице - в клетке, а Чехову в Крыму?  Кто автор «Тихого Дона»?  Правда ли женщина - «ребро Адама»?  Отчего  в «Джоконде» главное - «улыбка», а сама «Джоконда» - «Мона Лиза»?  Почему «Статуя Свободы» - Американский символ, а «Королева» в шахматах - это «Ферзь»?

    На все эти и ещё многие другие вопросы Гематрия отвечает так: «Потому что суммы букв, составляющих эти слова, - равны!»  ---------------------

 

Читать продолжение >>>>>>

Язык Чисел. Законы Вселенной.

 

Продолжение - Язык чисел в нумерологии и астрологии >>>>>>

Не верите? Попробуйте сами!

Серия сообщений "Технология исполнения желаний самореализация лично":

Психология

Технология исполнения желаний

самореализация личности

Часть 1 - КАК СТАТЬ РОКОВОЙ ЖЕНЩИНОЙ
Часть 2 - ПИРАМИДА ЖЕЛАНИЯ
...
Часть 98 - щастье, ну почему же ты такое?
Часть 99 - Повторное замужество: советы мага
Часть 100 - 53 ШАНСА начать новую жизнь в НОВОМ ГОДУ!

Серия сообщений "Ритуалы для привлечения любви":

Часть 1 - Магия денег
Часть 2 - Отвороты и привороты
...
Часть 87 - Пусть стебли Счастливого Бамбука долго радуют вас и ваших близких!
Часть 88 - Мир Успеха.
Часть 89 - Не верите? Попробуйте сами!
Часть 90 - кто хочет выйти замуж.
Часть 91 - исполнение желаний
...
Часть 94 - Любовные привороты
Часть 95 - Есть мечта!
Часть 96 - волшебство реальной жизни

Серия сообщений "Ритуалы для привлечения денег | Талисманы богатств":

Часть 1 - Магия Богатства!!!
Часть 2 - Фен-шуй для денег: как разбогатеть при помощи фен-шуй?
...
Часть 98 - денежная песня
Часть 99 - денежный шмель
Часть 100 - Хозяйка - денюжка

Детская задача

Дополните математическими знаками, чтобы получились равенства:

1        1       1    =   6

2        2       2    =   6

3        3       3    =   6

4        4       4    =   6

5        5       5    =   6

6        6       6    =   6

7        7       7    =   6

8        8       8    =   6

9        9       9    =   6

Мои загадки

1)  Разделите квадрат на 20 квадратов ... 48 ... 372 ...996 ... ... ...

2) Задумайте число (не ноль, естественно), умножьте его на 6, разделите на 2, прибавьте к результату такое же число, умножьте на 5, прибавьте 7, умножьте на 3, прибавьте такое же число, отнимите 5, (Ух ... не надоело еще? Тогда заканчиваем, хотя можно продолжать до бесконечности ...) умножьте на два, зачеркните все цифры, кроме последней. Получилось ... 4. Угадала?

 

Загадка

Говорят, люди с IQ более 120 с легкостью решают эту задачу.

3 + 4 ----> 21

5 + 3 ----> 40

6 + 2 ----> 48

7 + 5 ----> 84

8 + 9 ----> ?

P.S. У меня решение заняло две минуты ))))

 

 

ЦИФРЫ

карточки для запоминания цифр

Читать далее...

домино/математика



Читать далее...

геометрия - раскраски

Читать далее...

ФОРМЫ


Читать далее...

счет-цветок


Читать далее...

выбери цифру

Читать далее...

пазлы-геометрия


Читать далее...

фигуры-раскраска


Читать далее...

кружочек


Читать далее...