алгебра підручник для 7 класу авт. мальований б. і. та ін.

Алгебра
Підручник для 7 класу
загальноосвітніх
навчальних закладів
ТЕРНОПІЛЬ
НАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН
2015
Ю.І. Мальований
Г.М. Литвиненко
Г.М. Бойко
Алгебра

Мальований Ю.І.
М21 Алгебра : підручник для 7 кл. загальноосвітн. навч.
закл. / Ю.І. Мальований, Г.М. Литвиненко, Г.М. Бойко. —
Тернопіль : Навчальна книга – Богдан, 2015. — 256 с : іл.
+ 1 електрон. опт. диск (CD). — Електрон. версія. — Ре-
жим доступу: http://www.bohdan-digital.com/edu.
ISBN 978-966-10-4110-2
Пропонований підручник відповідає програмі з алгебри
для 7-го класу й передбачає готовність учнів до широкого
і свідомого застосування математики. Цю орієнтацію за-
безпечують зміст курсу, характер викладення навчального
матеріалу, добір ілюстрацій і приклади застосувань, запи-
тання для перевірки знань, задачі і вправи на повторення,
а також письмові роботи, призначені для самоконтролю.
Для учнів і вчителів загальноосвітніх навчальних за-
кладів.
УДК 512(075.3)
ББК 22.14я72
М21
Охороняється законом про авторське право.
Жодна частина цього видання не може бути відтворена
в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва
Рецензенти:
доцент кафедри математики і методики викладання математики
Тернопільського національного педагогічного університету ім. В. Гнатюка
В.Д. Галан,
вчитель математики Червоноградської ЗОШ № 11, вчитель-методист
О.Г. Лапій
ISBN 978-966-10-4110-2
© Мальований Ю.І., Литвиненко Г.М.,
Бойко Г.М., 2015
© Навчальна книга – Богдан,
оригінал-макет, 2015
УДК 512(075.3)
ББК 22.14я72
Піктограмою у підручнику позначено ті його складові, які можна
відкрити у pdf-файлі або скориставшись CD, що входить у комплект.
У зв’язку з великим обсягом електронної складової підручника у pdf-
файлі активною є тільки її частина. Для завантаження всіх матеріалів
треба перейти за посиланням:
http://www.bohdan-digital.com/edu.

Слово до учнів 3
Алгебра щедра, вона часто дає більше,
ніж у неї просять.
Ж. Д’Аламбер,
французький математик
Слово до учнів
Дорогі семикласники!
Перед вами підручник, за яким вам доведеться вивчати новий
навчальний предмет з курсу математики ― алгебру. До цього часу ви
мали справу в основному з обчисленнями, які виконували з конкрет-
ними числами. Ви ознайомилися з правилами і прийомами таких
обчислень, навчилися виконувати чотири математичні дії (операції)
з цілими і дробовими числами. Ці та інші відомості, що стосуються
чисел, вивчає галузь математики, яка називається арифметикою.
На відміну від арифметики, в алгебрі числа записують не лише
за допомогою цифр, але в багатьох випадках позначають буквами.
Алгебра вивчає правила перетворення виразів, складених із чи-
сел, букв, знаків математичних дій. Вивчаючи алгебру, ви ознайо-
митеся з новими математичними операціями, а також поняттями,
без яких не можна уявити не лише математики, але й більшості
наук, навіть, здавалося б, далеких від неї. Протягом усієї історії
становлення і розвитку алгебри як самостійної галузі математики
важливим предметом її вивчення були рівняння. Вам уже відомі
найпростіші рівняння, і ви вмієте їх розв’язувати. У процесі ви-
вчення алгебри ваші знання про рівняння значно розширяться.
Ви ознайомитеся з багатьма новими видами рівнянь і способами
їх розв’язування, дізнаєтесь багато цікавого про функцію як мо-
гутній інструмент опису і дослідження реальних процесів навко-
лишнього світу.
Отже, попереду у вас захоплююча подорож у світ алгебри. Спо-
діваємось, що здолати всі труднощі цієї подорожі вам допоможе

4 Слово до учнів
підручник. Яким він буде помічником ― добрим чи не дуже ― за-
лежить і від вас. Ось декілька порад щодо роботи з ним.
Ніколи не намагайтеся виконувати вправи, не ознайомившись
із теоретичним матеріалом, поданим у відповідному пункті під-
ручника.
Щоб привернути вашу увагу до особливо важливих положень,
їх виділено відмінним від звичайного шрифтом. Означення та
властивості, які потрібно запам’ятати, виділено напівжирним
шрифтом і позначено . Основні формули записано на кольоро-
вій плашці. Послідовність виконання певних дій, перетворення
виразів, розв’язування задач надруковано курсивом. Курсивом
виділено й окремі терміни, які зустрічаються вперше.
Для зручності вивчення навчальний матеріал підручника розпо-
ділено за трьома розділами. Вони містять параграфи, які розбито на
пункти, а ті, у свою чергу, ― на підпункти. Кожна з цих складових
частин має заголовок і відповідний порядковий номер. Зокрема, но-
мер підпункту позначено цифрою всередині кружечка.
Зосередити увагу на найсуттєвішому вам допоможуть відпо-
відні запитання та завдання для самоперевірки, подані в кінці
кожного пункту, а також основні вимоги щодо засвоєння змісту
кожного розділу, які його завершують.
У тексті наведено приклади розв’язування ряду вправ із де-
тальними поясненнями і зразками відповідних записів. У рубриці
«Увага!» ви знайдете застереження від можливих помилок, яких
нерідко припускаються школярі.
Виконуючи завдання для самоперевірки, ви зможете оцінити
свої навчальні досягнення.
На рівень складності пропонованих задач і вправ указують умов-
ні позначки: знак º біля номера завдання позначає вправи, що відпо-
відають початковому і середньому рівням; знак * — вправи високого
рівня навчальних досягнень. Під номером без усіляких позначень
умішено вправи, що відповідають достатньому рівню.
У кінці підручника подано основні відомості з курсу математи-
ки 5–6-х класів, які допоможуть пригадати навчальний матеріал,
потрібний для вивчення певного пункту.
Що ж, тепер залишається поринути у світ невідомого. Успіхів
вам у його пізнанні!
Автори

Розділ І
Цілі
вирази

алгебра підручник для 7 класу авт. мальований б. і. та ін.

§1. Раціональні алгебраїчні вирази. Перетворення одночленів 7

§1.
Раціональні
алгебраїчні вирази.
Перетворення
одночленів
1.1. Вирази зі змінними.
Раціональні алгебраїчні вирази
Пригадайте
1. Наведіть приклади числового виразу і буквеного виразу.
2. Як знайти значення числового виразу?
3. Що необхідно знати, щоб знайти значення буквеного ви
разу?
4. До яких відомих вам формул входять букви? Поясніть їх
ній зміст.
 Що таке алгебраїчний вираз. У попередніх класах ви вже
неодноразово зустрічалися з числовими виразами, тобто такими,
де всі числа записані цифрами, а також із буквеними виразами,
в яких одне або декілька чисел були позначені буквами. До число-
вих належать, наприклад, вирази 6,8 – 3,5 · 4,
45 11
2
-
, 0,8 –
– 4· (13,1 + 14,9),
2
3
18 7 5 12−





 ⋅ +( , ), а до буквених — 2т – 3п, 0,5а2
,

8 Розділ І. Цілі вирази
2 · (3х + у),
2 1
3
b -
. Одне число, записане цифрами (6; 384; –3,12
тощо) також уважають числовим виразом, а число, позначене бук-
вою (т, х, с тощо), — буквеним виразом.
У буквеному виразі одна і та сама буква може позначати різні
числа залежно від конкретних умов. Наприклад, у виразі 2(a + b),
що є загальним записом правила обчислення периметра прямо-
кутника зі сторонами а і b, букви а і b позначають будь-які додат-
ні числа, якими можуть виражатися довжини відповідних сторін
прямокутника. Тобто вони можуть змінювати свої значення. Тому
їх називають змінними, а цей та інші буквені вирази — вираза-
ми зі змінними (або зі змінною, якщо змінна — одна).
Числові вирази і вирази зі змінними, які містять лише ариф-
метичні дії над числами, мають загальну назву раціональних
алгебраїчних виразів. Саме їх ми і будемо вивчати.
Якщо у вираз a2
– 5а + 4 підставимо, наприклад, замість змін-
ної а число 4 і виконаємо зазначені дії, то дістанемо числове зна-
чення, або коротше, значення цього виразу. Тобто,
якщо а = 4, то a2
– 5а + 4 = 42
– 5 ∙ 4 + 4 = 16 – 20 + 4 = 0;
якщо а = 2, то a2
– 5а + 4 = 22
– 5 ∙ 2 + 4 = 4 – 10 + 4 = –2;
якщо а = –3, то a2
– 5а + 4 = (–3)2
– 5 ∙ (–3) + 4 = 9 + 15 + 4 = 28,
і т. д.
0, –2, 28 — усе це значення виразу а2
– 5а + 4 за відповідних
значень а.
Бачимо, що для різних значень а дістаємо різні значення дано-
го виразу. Тому кажуть, що значення цього виразу залежить від
значення а.
Приклад 1. Розглянемо вираз (4х + 96) : 4 – х і знайдемо його зна-
чення для кількох різних значень х:
якщо х = 0, то (4х + 96) : 4 – х = (4 ∙ 0 + 96) : 4 – 0 = 96 : 4 = 24;
якщо х = 2, то (4х + 96) : 4 – х = (4 ∙ 2 + 96) : 4 – 2 = 104 : 4 – 2 =
= 26 – 2 = 24;
якщо х = –3, то (4х + 96) : 4 – х = (4 ∙ (–3) + 96) : 4 – (–3) =
= (–12 + 96) : 4 + 3 = 84 : 4 + 3 = 21 + 3 = 24.

Чи випадково числові значення виразу для різних значень х
виявилися однаковими?
Для відповіді на це запитання спростимо даний вираз, скорис-
тавшись правилом ділення суми на число. Маємо:
(4х + 96) : 4 – х = 4х : 4 + 96 : 4 – х = х + 24 – х = 24.
Тепер очевидно, що яким би не було значення х, значення
виразу дорівнюватиме 24. Тому кажуть, що значення виразу
(4х + 96) : 4 – х не залежить від значення х.
Приклад 2. Обчислюючи значення виразу
2
5
b
b -
, коли b = 5, діста-
немо числовий вираз
2 5
5 5
⋅
−
, який не має значення, бо знаменник
дробу дорівнює нулю. У такому разі кажуть, що, коли b = 5, вираз
2
5
b
b -
не має смислу.
Вираз
3 4
12
a
a
+
−
не має смислу, коли а = 1 та а = –1. Поясніть, чому.
Алгебраїчний вираз, який не містить ділення на змінну, нази-
вається цілим виразом. Далі ми розглядатимемо перетворення
цілих виразів.
 Як назвати вираз. Обчислюючи значення виразу (а – 2)(а + 4),
слід виконувати дії в такій послідовності:
1) віднімання в перших дужках;
2) додавання у других дужках;
3) множення першого результату на другий.
Назву результату дії, яку в процесі знаходження значення ви-
разу виконують останньою, поширюють на назву самого виразу.
У даному випадку остання дія ― множення, її результатом є до-
буток. Тому даний вираз є добутком виразів а – 2 і а + 4. У свою
чергу, а – 2 — це різниця чисел а і 2, а а + 4 ― сума чисел а і 4.
Отже, остаточна назва виразу (а – 2)(а + 4) така: добуток різниці
чисел а і 2 та суми чисел а і 4.

При обчисленні значення виразу (140 + 10) : (52 – 22) останньою
дією є ділення, а її результатом ― частка, що й визначає назву да-
ного виразу: частка суми чисел 140 і 10 та різниці чисел 52 і 22.
Вирази виду m : n, або
m
n
, називають ще відношенням m і n.
Отже, попередній вираз (140 + 10) : (52 – 22) можна назвати
ще й так: відношення суми чисел 140 і 10 та різниці чисел 52 і 22.
Вираз 3 ∙ 8 є добутком чисел 3 і 8. Використовують також іншу
назву цього виразу ― потроєне число 8. Вираз 2ab називають по-
двоєним добутком чисел a і b;
7 4
2
+
— півсумою чисел 7 і 4;
1
3
5 10⋅ ⋅( ) — третиною добутку чисел 5 і 10.
Історична довідка
Перший крок до створення буквеної символіки зробив дав-
ньогрецький математик Діофант (ІІІ ст.), який використовував
скорочений запис слів.
Основоположником застосування
буквеної символіки в алгебрі вважають
французького математика Франсуа Ві-
єта (1540–1603). Його буквена символі-
ка відрізняється від сучасної. Проте її
використання дало змогу Вієту зробити
важливі відкриття в математиці.
Спростив і узагальнив алгебраїчну
символіку видатний французький уче-
ний Рене Декарт (1596–1650). Запрова-
дженими ним позначеннями послугову-
ються і сучасні математики.
Запитання для самоперевірки
1. Які вирази належать до раціональних алгебраїчних? На
ведіть приклади.
Франсуа Вієт

2. Як знайти значення раціонального алгебраїчного виразу,
якщо він є: а) числовим; б) виразом зі змінною?
3. Який алгебраїчний вираз називають цілим? Наведіть при
клади.
4. Як утворити назву алгебраїчного виразу? Поясніть на
прикладах.
Задачі та вправи
Знайдіть значення виразів (1–2):
1°. а) 92 ∙ 5; б) 103 ∙ 12; в) –98 ∙ 7;
г) 27
7
8
8⋅ ; ґ) 34,3 : 7; д) 0,25 ∙ 7.
2°. а) 1 5
2
3
1
5
8
, ;⋅ − б) 2,6 + 3,4 : 1
1
16
;
в) 2
1
49
1
1
55
1 16 0 56⋅ − , : , ; г) 51 8 44 3 48 2 24 3
1
3
, , , , : .+ + −( )
3. Чи правильні рівності:
а) 4
2
3
1
4
1
7
9
4
9
5+ ⋅ −





 = ; б) 5
1
7
1
7
1
3
4
1
4
3− ⋅ +





 = ;
в) 90 9 3 03
1
3
5
6
1, : , ;⋅ −





 = г)
2
5
2
3
5
12 4 3 1 12+





 ⋅( ) =, : , ;
ґ)
12 5 4 1
4
1 7 0 6
, ,
, , ;
−
= + д)
0 75 0 15
2
0 15 0 25
, ,
, , ?
−
= +
4°. Значення якого з виразів дорівнює 4:
а) 5 3
2
7
2
7
8− + ⋅ −( ); б) 12
1
2
1
2
2
⋅ −





 + −( ) ;
в) − ⋅ − ⋅3
1
3
0 9
2
5
2
1
2
, ; г) 2
2
3
1
3
4
8
4
21
13+ ⋅ − ?
5º. Знайдіть значення виразів:
а) 2k, якщо k = 103; б) 2k + 1, якщо k = 103;
в) 2k – 1, якщо k = 28; г) 3k + 1, якщо k = 25;
ґ) 3k – 1, якщо k = 29; д) 5k + 1, якщо k = 35;
е) vt, якщо v = 48,5, t = 2,6.

6. Складіть і запишіть числовий вираз, який не має смислу.
Знайдіть значення виразів (7–9):
7°. а) 3а + 7,4, якщо а = 12; б) 0,5х + 14, якщо х = –3;
в) 24,5 – 4m, якщо m = 6; г) –k + 17, якщо k = –7.
8°. а) 14а + 15b, якщо а = 1,5 і b = 0,5;
б) 15а – 14b, якщо а = 2,5 і b = 0,5;
в) х(0,5а – 4), якщо а = 42 і х = 0,2;
г) 84а + 12b, якщо а = 0,25 і b = -
3
4
.
9. а) 2(а + b), якщо а = 6,4 см, b = 0,045 м;
б) а + b + с, якщо а = 3,4 см, b = 0,4 дм, с = 0,05 м;
в) аh, якщо а = 0,028 км, h = 18,5 м;
г) 4(а + b + с), якщо а = 4,3 дм, b = 30 см, с = 0,27 м.
10*. Запишіть вирази для обчислення периметрів фігур, зобра-
жених на рисунку 1. Яка з фігур має найбільшу площу?
11º. Нафтопровід перекачує 7 тис. т нафти за годину. Скіль-
ки тонн нафти можна перекачати нафтопроводом за 3 год?
За 2,5 год? За t год? За добу? За 2 доби? За k діб?
12º. Для яких значень змінної y не мають смислу вирази:
а)
3
5y -
; б)
y
y + 3
; в)
7
12
y +
; г)
13
6 4
y
y -
; ґ)
y
y
+ 5
2
?

13*. Знайдіть, якщо це можливо, пару значень змінних а і b, для
яких не мають смислу вирази:
а)
17
a b-
; б)
5
a b+
; в)
a
a b
2
2 2
+
; г)
a b
a b
+
+ +2 2
4
.
14. Чи може значення виразу –2х бути додатним числом? Якщо
може, то наведіть приклади.
15. Чи може вираз 1 + a2
набувати від’ємних значень? Відповідь
поясніть. Укажіть найменше значення цього виразу.
16*. Задумайте ціле число, помножте його на 3, від одержаного
результату відніміть 27, різницю поділіть на 3 і від частки
відніміть задумане число. Яке число ви дістали? Доведіть,
що одержаний результат не залежить від задуманого числа.
17. Заповніть таблицю (рух рівномірний прямолінійний):
Шлях, км 200 s s s
Швидкість, км/год 50 v 60 v
Час, год 4 t 5 10
18. Заповніть таблицю:
Урожайність, ц з 1 га 4,1 P 25 P
Площа ділянки, га 8,5 8 6,5
Валовий збір урожаю, ц 500 m m
Запишіть вирази для розв’язування задач (19–22):
19. Зошит коштує а коп., ручка ― вдвічі дорожча. Скільки ко-
штують п’ять зошитів і три ручки?
20. Учні посадили х саджанців дуба, саджанців сосни —
в 1,4 разу більше, а саджанців клена — на 80 штук менше,
ніж саджанців сосни. Скільки саджанців сосни і клена по-
садили учні?
21. Турист ішов 5 год зі швидкістю а км/год і 3 год зі швидкістю
b км/год. Яку відстань подолав турист?
22. Яку відстань пройде моторний човен проти течії за 2,4 год,
якщо власна його швидкість 7,5 км/год, а швидкість течії
х км/год?

23. Із двох населених пунктів А і В вирушають одночасно назу-
стріч один одному пішохід та велосипедист і зустрічаються че-
рез t год. Складіть вираз для визначення відстані між цими
населеними пунктами, якщо швидкість пішохода 5 км/год,
а швидкість велосипедиста 12 км/год. Знайдіть цю відстань,
якщо: а) t = 2,5 год; б) t = 4 год.
24. Периметр прямокутника 48 дм, основа а дм. Складіть вираз
для обчислення площі прямокутника. Знайдіть площу пря-
мокутника, якщо: а) а = 7 дм; б) а = 11,5 дм; в) а = 14 дм.
25. Запишіть чотири натуральні числа, кратні числу 3. Подай-
те кожне з них у вигляді добутку числа 3 на відповідне на-
туральне число. Запишіть вираз зі змінною, який позначає
натуральне число, що ділиться на 3 без остачі.
26*. Складіть за рисунком 2 вираз для обчислення довжини від-
різка CD.
Запишіть у вигляді виразу і обчисліть (27–29):
27°. а) Суму чисел 27,29 і 72,71;
б) різницю чисел 68,1 і –31,3;
в) добуток чисел 1
3
8
і -1
3
5
;
г) частку чисел 0,01 і –0,002;
ґ) подвоєну суму чисел 37,29 і 62,71;
д) потроєну різницю чисел 68,1 і –41,9;
е) подвоєний добуток чисел 7,5 і 0,4;
є) третину суми чисел 5,8 і 3,5;
ж) піврізницю чисел 9 і 15.
ba
c
A C D B
и . 2

28°. а) Суму чисел m i n, якщо m = 4
1
4
, n = –5,3;
б) різницю чисел m i n, якщо m = 0,6, n = −2
2
5
,
в) подвоєну суму чисел m i n, якщо m = 10,7, n = 5,3.
29*. а) Різницю частки чисел
11
15
і 3
2
3
та числа 0,5, зменшену на
число, протилежне числу –0,3;
б) суму добутку чисел 5
1
3
і 0,75 та числа 2,4, збільшену на
число, протилежне числу –0,6.
30°. Від суми чисел -15
1
4
і 7
3
4
відніміть 0,25.
31°. Від добутку чисел 3
1
2
і -5
3
4
відніміть суму чисел 10,7 і –3,3.
32. На скільки:
а) різниця чисел 65,71 і – 24,3 більша від їх суми;
б) добуток чисел 14,6 і –1,5 менший від суми чисел 47,89 і
–28,7?
33*. Що більше і на скільки: різниця числа 2 та добутку чисел
0,25 і 7
1
5
, поділена на 1
2
3
, чи сума числа 3 та добутку чисел
-2
1
2
і 0,4, помножена на
1
3
?

1.2. Тотожно рівні вирази.
Тотожності
 Що таке тотожність. Два числові вирази, сполучені зна-
ком «=», утворюють числову рівність.
Якщо значення лівої і правої частин рівності одне й те саме
число, то рівність називають правильною.
Наприклад, рівність (56 + 24) ∙ 2 = 160 правильна, оскільки
(56 + 24) ∙ 2 = 80 ∙ 2 = 160. Правильною є також рівність 3 ∙ (15 – 9) =
= (41 – 5) : 2, бо 3 ∙ (15 – 9) = 3 ∙ 6 = 18 і (41 – 5) : 2 = 36 : 2 = 18.
Приклад 1. Розглянемо три вирази з однією і тією самою змінною:
2х + 2, 0,5 + 0,5х, 2(х + 3) – 4.
Знайдемо їхні значення, якщо х = 2. Маємо:
2х + 2 = 2 ∙ 2 + 2 = 6;
0,5 + 0,5х = 0,5 + 0,5 ∙ 2 = 1,5;
2(х + 3) – 4 = 2 ∙ (2 + 3) – 4 = 2 ∙ 5 – 4 = 6.
Числа 6; 1,5; 6 називають відповідними значеннями даних
виразів.
Знайдемо відповідні значення даних виразів для кількох ін-
ших значень змінної х і порівняємо їх між собою. Для зручності
результати обчислень занесемо до таблиці:
х 1 0 –1 –2 –3
2х + 2 4 2 0 –2 –4
0,5 + 0,5х 1 0,5 0 –0,5 –1
2(х + 3) – 4 4 2 0 –2 –4
Як бачимо, відповідні значення всіх виразів рівні між собою,
якщо х = –1. Відповідні значення першого і третього виразів рівні
між собою для всіх наведених у таблиці значень х.
Цікаво, чи будуть вони рівними і для інших значень змінної х?
Щоб відповісти на це запитання, перетворимо третій вираз, ско-
риставшись розподільним законом множення. Маємо:
2(х + 3) – 4 = 2х + 6 – 4 = 2х + 2.

Отже, рівність 2(х + 3) – 4 = 2х + 2 правильна для будь-яких
значень змінної х. Таким чином, відповідні значення цих виразів
дорівнюють одне одному при всіх значеннях змінної х. Про такі
вирази кажуть, що вони тотожно рівні, або тотожні.
Вирази називають тотожно рівними, якщо всі
їхні відповідні значення дорівнюють одне од-
ному.
Два тотожно рівні вирази, сполучені знаком рівності, назива-
ють тотожністю.
Наприклад, рівності 2(х + 3) – 4 = 2х + 2, а + b = b + а, аb = bа,
(а + b) + с = а + (b + с) є тотожностями.
Очевидно, які б значення змінних не підставляти в тотожність,
дістанемо правильну рівність.
Тотожність — це рівність, правильна за всіх
значень змінних, що входять до неї.
Заміну виразу тотожно рівним йому називають тотожним
перетворенням виразу.
Тотожні перетворення виразів виконують на основі законів
і властивостей арифметичних дій, правил тощо. Так, заміну вира-
зу k(а + b) на тотожно рівний йому вираз kа + kb зроблено з вико-
ристанням розподільного закону множення відносно додавання.
Тотожне перетворення виразу 3а – (а – 2b) можна виконати,
послідовно застосувавши правила розкриття дужок і зведення по-
дібних доданків. Маємо: 3а – (а – 2b) = 3а – а + 2b = 2а + 2b.
 Як довести тотожність. Довести тотожність ― означає вста-
новити шляхом логічних міркувань, що дані два вирази тотожно
рівні. Для цього один із виразів або обидва тотожно перетворюють
так, щоб звести їх до однакового вигляду.

Приклад 2. Встановити тотожну рівність виразів 3х + 6 і 1,5 ∙ (4 + 2х).
Розв’язання. Перетворимо другий вираз у тотожно рівний йому
на основі розподільного закону множення:
1,5 ∙ (4 + 2х) = 6 + 3х.
За переставним законом додавання маємо: 6 + 3х = 3х + 6.
Після цього тотожність виразів 3х + 6 і 1,5 ∙ (4 + 2х) не викликає
сумніву.
Приклад 3. Встановити тотожність виразів (b + d)а + dс і (а + с)d + аb.
Розв’язання. Зведемо обидва вирази до однакового вигляду:
1) (b + d)а + dс = ab + ad + dc;
2) (а + с)d + аb = ad + dc + ab = ab + ad + dc.
Отже, (b + d)а + dс = (а + с)d + аb. Таким чином, дані вирази
теж тотожні.
Завдання встановити тотожну рівність двох виразів може бути
сформульоване інакше: довести тотожність. У цьому випадку
процес перетворень залишається тим самим.
Приклад 4. Довести тотожність 2а + 5(7 + а) – 40 = 7а – 5.
Доведення. 2а + 5(7 + а) – 40 = 2а + 35 + 5а – 40 = 7a – 5.
Отже, 7а – 5 = 7а – 5. Тотожність доведено.
Для доведення тотожностей можна використати ще й такий
спосіб: записують різницю лівої та правої частин даної рівності
і одержаний вираз спрощують. Якщо в результаті дістали нуль,
то тотожність уважають доведеною. Доведіть таким способом по-
передню тотожність.
Тотожні перетворення виразів, тотожності та їх доведення ле-
жать в основі курсу алгебри і постійно зустрічатимуться у процесі
розв’язування задач і вправ.
УВАГА! Щоб довести тотожність двох виразів, недостатньо порівняти
між собою лише кілька відповідних значень цих виразів і переконатися,
що вони дорівнюють одне одному. Адже йдеться про рівність усіх відпо-
відних значень виразів, що шляхом обчислень перевірити неможливо, бо
таких значень безліч. Тому застосовують розглянуті вище способи дове-
дення.

А от для того, щоб установити, що дані вирази не є тотожно рівними,
достатньо назвати хоча б одне значення змінної, при якому відповідні
значення їх не дорівнюють одне одному.
1. Які значення двох виразів називають відповідними?
2. Які вирази називають тотожно рівними (тотожними)?
3. Що таке тотожність? Наведіть приклади.
4. Що таке тотожне перетворення виразу?
5. Які способи доведення тотожності двох виразів ви знаєте?
34°. Запишіть відомі вам тотожності, що виражають властивості
арифметичних дій.
35°. Чому дані вирази тотожно рівні:
а) 3а + 2 і 2 + 3а; б) 3(х + 4) = 3х + 12;
в) а(2b) = 2аb; г) 3 + (4 – 5х) = 7 – 5х?
36°. Які вирази тотожно рівні:
а) 3(х + у) і 3х + 3у; б) 5,7(х + у) і 5,7х + 5,7у;
в) 4,8(а + b) і 4,8а + b; г) (а – b) ∙ 8 + а і 7а – 8b;
ґ) 4(m – 3) i 4m – 3; д) 1 – a + b i 1 – (a – b)?
37. Доведіть тотожності:
а) –5(4 + а) + 28 = 8 – 5а; б) –0,8(–2 + 0,75а) = 1,6 – 0,6а;
в) (х + 3,5) ∙ 4 – 3х = х + 14; г) 4,2(х – 5) – 3,2х = х – 21.
х 0 1 –1 2 –2 2,5
3(2х – 1) + 4
6х + 1
Чи тотожні вирази 3(2х – 1) + 4 і 6х + 1? Відповідь обґрунтуйте.

х 0 1 2 3 4 –1 –2 0,1
x + 3
х + 3
Чи тотожні вирази x + 3 і х + 3? Обґрунтуйте відповідь.
40. Складіть вирази для обчислен-
ня площі фігури, зображеної на
рисунку 3, спочатку доповнивши
фігуру до прямокутника, а потім
розбивши її на два прямокутники.
Доведіть тотожність утворених
виразів.
41*. У тотожності 3х + 4х = 7х замініть змінну х виразом а – 6. Чи
є тотожністю утворена рівність? Обґрунтуйте відповідь.
42*. У тотожності 2y + 8y = 10y замініть змінну y виразом а – b.
Доведіть, що утворена рівність є тотожністю.
43. Доведіть, що значення виразів не залежить від а:
а) 6(3 – 2а) + 12а; б) –1,5(а – 8) + 3,5 ·
3
7
a.
44*. Доведіть тотожність виразів:
а)
1
2
mn – 0,5kn i kn +
1
2
(m – k)n;
б) y(x – m) + m(y – n) i xy – nm.
45*. Запишіть замість «*» такий вираз, щоб утворилася тотож-
ність:
а) 4x(m + 0,5n) – 2xm = *(m – n);
б) *(x – y) = 3kх – 3ky.

1.3. Степінь з натуральним
показником
1. За якими формулами обчислюють площу квадрата зі сто
роною а і об’єм куба з ребром b?
2. Як ви розумієте записи: а2
; а3
?
3. Обчисліть: 52
; 23
; 0,52
; 43
.
 Що таке степінь з натуральним показником. Ви вже
відновили в пам’яті, що а2
= а ∙ а, а3
= а ∙ а ∙ а. Тобто в цих виразах
числа 2 і 3 вказують відповідно на кількість множників а, з яких
утворено добуток.
Аналогічно вважають, що вираз а5
— це добуток п’яти множни-
ків а: а5
= а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а.
Відповідно добуток шести однакових множників b записують
так: b6
. Отже, b6
= b ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b.
У виразі а5
число а називають основою степеня, 5 — показ-
ником степеня, а весь вираз а5
— степенем.
Читають вираз а5
так: а в п’ятому степені або п’ятий степінь
числа а.
Аналогічно: b6
― шостий степінь числа b або b в шостому степе-
ні. Основою степеня тут є число b, а показником степеня число 6.
Степенемчислаазнатуральнимпоказником
n (n ≠ 1) називають добуток n множників,
кожний з яких дорівнює а:
аn
= .
В означенні обумовлено, що n ≠ 1. Це природно, адже немає
смислу говорити про добуток, що складається з одного множника.

Втім, домовилися першим степенем будь-якого числа вважати
саме це число. Тобто а1
= а. Показник степеня 1, як правило, у за-
пису пропускають.
Нагадаємо, що другий степінь числа називають його квадра-
том, а третій — кубом цього числа.
УВАГА! Для правильного вживання терміна «степінь» не забувайте,
що це іменник чоловічого роду.
Зазначимо, що основою степеня може бути будь-яке число або
вираз.
Наприклад, (–7,3)3
= –7,3 ∙ (–7,3) ∙ (–7,3);
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4





 = ⋅ ⋅ ⋅ ;
(6mn)2
= 6mn ∙ 6mn; (x – 3y)3
= (x – 3y) ∙ (x – 3y) ∙ (x – 3y).
Зверніть увагу на відмінність між виразами (6mn)3
і 6mn3
.
У першому виразі показник степеня стосується всього добутку, що
стоїть у дужках, а в другому ― лише множника n. Тобто (6mn)3
=
= 6mn ∙ 6mn ∙ 6mn, а 6mn3
= 6m ∙ n ∙ n ∙ n.
Корисно знати, що:
степінь додатного числа з будь-яким натуральним показни-
ком є число додатне;
степінь від’ємного числа з парним показником є додатним
числом, а з непарним ― від’ємним;
0 у будь-якому степені з натуральним показником дорівнює 0;
будь-який степінь 1 дорівнює 1.
Спробуйте обґрунтувати ці твердження самостійно.
Варто пам’ятати і таке правило: щоб піднести до степеня дріб,
треба піднести до цього степеня чисельник дробу і його знамен-
ник та записати перший результат у чисельнику, а другий —
у знаменнику нового дробу.
Це правило випливає з означення степеня з натуральним по-
казником і правила множення звичайних дробів. Зокрема
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2 2 2
3 3 3 3
2
3
4 4
4





 = ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= . Взагалі
a
b
a
b
n n
n





 = , b ≠ 0.

 Як правильно обчислювати. Вам відомо, що додавання кіль-
кох рівних між собою чисел замінюють множенням, наприклад,
5 5 5 5
4
+ + +
а
1 244 344 = 5 ∙ 4.
Аналогічно, множення рівних між собою множників замінюють
новою дією, яку називають піднесенням до степеня.
Ви знаєте, що додавання і віднімання — це дії першого ступе-
ня, множення і ділення — другого ступеня. Піднесення до степе-
ня належить до дій третього ступеня. Під час обчислень і пере-
творення виразів спочатку виконують (з урахуванням дужок) дії
третього ступеня, потім — другого і нарешті — першого, в тому
порядку, як вони записані.
Наприклад, 3 ∙ (42
+ 56) : 22
= 3 ∙ (16 + 56) : 4 = 3 ∙ 72 : 4 = 54.
Піднесення числа до степеня за допомогою мікрокалькулятора
замінюють дією множення.
Наприклад, 4,23
можна обчислити за такою програмою:
4,2 × 4,2 × 4,2 = 74,088, або 4,2 × = 74,088, тобто після на-
бору 4,2 натиснути клавішу × , а потім двічі на = .
1. Як ви розумієте запис: bn
, де n ― натуральне число, від
мінне від 1? Яку назву в цьому випадку мають b, n i bn
?
2. Який порядок виконання дій у процесі обчислення зна
чення виразу 4 ∙ 32
– 8(63
+ 72
)?
Обчисліть значення виразів (46–47):
46°. а) 22
, 42
, 52
, 0,12
, 0,13
,
1
2
2





 ,
3
5
2





 ,
4
5
2





 ,
6
7
2





 ,
1
2
3





 ,
3
5
3





 ;
б) (–2)2
, (–2)3
, (–3)2
, (–3)3
, (–0,5)2
, (–0,5)3
, (–0,6)2
.
47. а) 1,52
, 2,52
, 1
1
2
2





 , 2
1
3
2





 , 1
1
2
3





 , 2
1
3
3





 , 1
2
5
2





 , 1
2
5
3





 ;
б) 82
, (–8)2
, 112
, (–11)2
, 1,22
, (–1,2)2
, 2,12
, –32
, –0,32
.

48°. Обчисліть площу квадрата зі стороною:
а) а = 5 см; б) а = 7
1
2
см; в) а = 2,5 дм; г) а = 3
1
4
дм.
49°. Обчисліть об’єм куба з ребром:
а) а = 4 см; б) а = 1,5 дм; в) а = 2
1
2
дм; г) а = 3 м.
50°. Запишіть вирази у вигляді степеня:
а) −





 ⋅ −





 ⋅ −






3
4
3
4
3
4
;
б) 2а ∙ 2а ∙ 2а ∙ 2а;
в) (x – y) ∙ (x – y) ∙ (x – y) ∙ (x – y) ∙ (x – y);
г) 4m2
n ∙ 4m2
n.
51. Поясніть відмінність між виразами, записавши кожний із
них у вигляді добутку без показника степеня:
а) 2а4
і (2а)4
; б) 3ху2
і (3ху)2
;
в) 5(m – n)3
і (5(m – n))3
; г) 2c2
d2
і (2cd)2
.
52. Випишіть вирази, які слід піднести до відповідного степеня:
а) 3b5
; б) 5mn3
; в) (2ху)4
; г) (3b)5
;
ґ) 4х3
у; д) 0,1ху2
; е) (1,2х3
у)2
; є) (4х2
)3
.
53. Серед даних виразів знайдіть ті, що є степенями, і запишіть їх:
а) 0,4а2
; б) х9
; в) 25у2
; г) (–3х2
у)4
;
ґ)
1
27
; д) х2
у2
; е) (с – d)3
; є) (–а)4
.
54°. Які з виразів є тотожними:
а) (–а)6
і –а6
; б) (–а)3
і –а3
;
в) х – 2а і –2а + х; г) рр3
і р4
?
55°. Серед даних виразів знайдіть тотожно рівні та запишіть їх:
а) (–m)7
; б) (–а)4
; в) 2а2
b2
; г) –m7
; ґ) m7
;
д) (2ab)2
; е) а4
; є) –а4
; ж) 2аb2
.
56°. Вкажіть порядок дій при обчисленні значень виразів:
а) 2 ∙ 34
; б) (2 ∙ 3)4
; в) (10 – 2)2
; г) 102
– 22
;
ґ) 7аb4
; д) (7аb)4
; е) 2 ∙ (3 – 4)2
; є) (2 ∙ (3 – а))2
.
57°. Обчисліть значення виразів:
а) 0,25 ∙ 22
; б) (0,25 ∙ 2)2
; в) (–5)2
∙ (–2)2
; г) –52
∙ (–22
).

58°. Спростіть вирази:
а) х ∙ х ∙ х + у ∙ у; б) а ∙ а – b ∙ b ∙ b;
в) m ∙ m + n ∙ n; г) с ∙ с ∙ с – р ∙ р;
ґ) r ∙ r + x ∙ x ∙ x; д) p ∙ p ∙ p + r ∙ r.
59°. Запишіть вирази:
а) квадрат числа х;
б) квадрат суми чисел x i у;
в) різниця квадратів чисел x і у;
г) квадрат різниці чисел x і у;
ґ) куб числа а;
д) куб суми чисел а і b;
е) сума кубів чисел а і b;
є) різниця кубів чисел а і b.
60. Обчисліть:
а) суму квадратів чисел 3 і –2;
б) квадрат різниці чисел 25 i 8;
в) різницю куба числа –3 і квадрата числа 5;
г) суму куба числа –2 і різниці кубів чисел 4 і –1.
61. Значення якого з числових виразів дорівнює 5:
а) (–1)8
+22
+ 0,4 ∙ 3
1
3
–
1
3
; б) 32
+ 0,5 ∙ 23
– 23
;
в) 1
1
3
1
2
3
1
2
5
1 7
+ + + −( ) ; г) −





 ⋅ −





 + ⋅ +
1
2
5
1
2
3 2
1
2
2
2
2
?
а) −





 − +
1
2
4 3
2
2
; б) −





 + ⋅( )
2
3
3 0 5
2
2
, ;
в) –(–5)3
∙ 0,5 + 102
; г) –5 ∙ (–2)3
+
2
3
6 2
⋅ −( ) .
63. Чи тотожні вирази:
а) –х2
і (–х)2
; б) –х3
і (–х)3
;
в) 3(–х)2
і 3(–х2
); г) 4(–х)3
і 4х2
(–х)?
64. Запишіть у вигляді степеня з основою 10 такі числа: 100;
1000; 100 000; 10 000 000.

65*. Куб, об’єм якого дорівнює 1 м3
, розрізали на кубічні сантиметри і
розклали їх упритул в один ряд. Яку довжину матиме ряд (у сан
тиметрах)? Запишіть результат у вигляді степеня числа 10.
66*. Швидкість світла дорівнює 300 000 000 м/с. Запишіть це чис-
ло з використанням степеня числа 10.
67*. Відстань від Землі до планети Нептун дорівнює 4,5 мільярда
кілометрів. Запишіть значення цієї відстані, використавши
степінь числа 10.
68*. У Київському інституті кібернетики створено суперкомп’ютер,
який виконує 1 млрд операцій за 1 с. Запишіть за допомогою сте-
пеня числа 10, скільки операцій він виконає за 1 год; за 10 год.
69*. Назвіть порядок дій, які слід виконати у даних виразах, і за-
пишіть назву кожного з них:
а)
a b
a b
+
−( )
2
; б) (m + n)3
– x2
; в) 2(a2
– b2
); г) 2x2
y +
x
y2
.
70*. Знайдіть х:
а) х4
= 81; б) х3
= –8; в) x2 9
16
= ;
г) 2х
= 8; ґ) 0,3х
= 0,027; д)
1
5
1
25





 =
x
.
1.4. Властивості степеня
з натуральним показником
 Швидка лічба. Спробуйте без калькулятора миттєво обчис-
лити добуток 128 ∙ 256. На перший погляд, зробити це неможливо.
Тим часом, завдання не є таким безнадійним.
Запишемо перші п’ятнадцять натуральних чисел, а під кожним із
них — відповідний степінь числа 2. Дістанемо таку таблицю:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2n
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768

Знайдемо добуток 128 ∙ 256 на калькуляторі або письмово. Ді
станемо 32768. Як бачимо, це число теж стоїть у рядку степенів
числа 2, і йому відповідає показник степеня 15, тобто 32 768 = 215
.
У свою чергу, 128 = 27
, 256 = 28
. Помічаємо, що 15 = 7 + 8. Отже,
27
∙ 28
= 27 + 8
= 215
.
Щоб обчислити добуток 32 ∙ 64, знайдемо у верхньому рядку та-
блиці відповідні цим множникам показники степенів 5 і 6, додамо
їх і під сумою 11 прочитаємо результат ― 2048. Множення 32 на 64
звичайним способом показує, що результат дістали правильний.
Для обчислення частки 8192 : 512 знайдемо різницю відповід-
них показників степенів: 13 – 9 = 4. Під показником 4 шукаємо
потрібний результат — 16. Перевірте правильність відповіді.
Обчисліть аналогічно: 8192 : 1024; 16 384 : 512.
Ці обчислення виявилися можливими на основі властивостей
степеня з натуральним показником, з якими ви зараз ознайо-
митесь. Зауважимо, що далі поряд зі словосполученням «степінь
з натуральним показником» буде вживатися просто «степінь», що
означатиме те саме поняття.
 Властивості степеня.
Властивість 1. Добуток степенів однієї основи дорівнює
степеню цієї самої основи, показник якого
дорівнює сумі показників множників:
am
∙ an
= am + n
. (1)
Доведення. Скористаємось означенням степеня з натуральним
показником. Маємо:
am
∙ an
= a a a a
m
⋅ ⋅ ⋅ ⋅...
а
1 244 344 ∙ a a a a
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅...
а
1 244 344 = a a a a
m n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
...
а
1 244 344 = am + n
.
На основі цієї властивості можна сформулювати таке правило:
щоб помножити степені однієї основи, треба показники сте-
пенів додати, а основу залишити ту саму.
Наприклад: 1) 25
∙ 29
= 25 + 9
= 214
; 2) b13
∙ b4
= b17
.
Цю властивість називають основною властивісю степеня
з натуральним показником. Вона має місце для трьох і більше сте-
пенів. Наприклад, 52
∙ 54
∙ 56
= 52 + 4 + 6
= 512
.

Властивість 2. Частка степенів однієї основи дорівнює
степеню цієї самої основи, показник яко-
го дорівнює різниці показників діленого
і дільника:
am
: an
= am – n
(m > n, a ≠ 0). (2)
Доведення. Ви знаєте, як перевірити правильність виконання
ділення. Для цього треба частку помножити на дільник. У резуль-
таті маємо дістати ділене. Скористаємось цим у даному випадку.
Помножимо частку ат – п
на дільник ап
і результат знайдемо за
основною властивістю степеня. Маємо:
ат – п
∙ ап
= ат – п + п
= ат
.
Дістали ділене. Отже, ат
: ап
= ат – п
.
Зверніть увагу на застереження у формулюванні властивості 2:
m > n і а ≠ 0. Вони не випадкові. Адже коли т = п або m < n, тоді
різниця т – п не буде натуральним числом, а йдеться про степінь
з натуральним показником; а ≠ 0, бо на нуль ділити не можна.
Наприклад: 1) 69
: 67
= 69 – 7
= 62
; 2)
c
c
c
16
12
4
= .
З цієї властивості випливає правило:
щоб поділити степені однієї основи, треба від показника сте-
пеня діленого відняти показник степеня дільника, а основу за-
лишити ту саму.
Властивість 3. Степінь добутку двох множників дорівнює
добутку степенів множників:
(ab)n
= an
∙ bn
. (3)
Доведення. Для перетворення виразу (ab)n
скористаємося озна-
ченням степеня з натуральним показником, а також переставним
і сполучним законами множення. Маємо:
(ab)n
= ab ab ab a a a b b b
n n n
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅... ... ...
а а а
= an
∙ bn
.
Ця властивість має місце і для добутку більше двох множників.
Отже, правило піднесення добутку до степеня з натуральним
показником таке:

щоб піднести добуток до степеня, треба кожний множник
піднести до цього степеня і записати добуток отриманих ре-
зультатів.
Наприклад: 1) (3 ∙ 4)2
= 32
∙ 42
; 2) (3ab)3
= 33
∙ a3
∙ b3
= 27a3
b3
.
Властивість 4. Степінь степеня дорівнює степеню тієї са-
мої основи, показник якого є добутком да-
них показників степенів:
(am
)n
= amn
.
(4)
Доведення. За означенням степеня з натуральним показником
маємо:
(ат
)п
= a a am m m
n
⋅ ⋅ ⋅...
а
.
За основною властивістю степеня маємо:
ат
∙ ат
∙ ... ∙ ат
= a
m m m
n
+ + +...
а
= атп
.
Отже, (ат
)п
= атп
.
Відповідне правило піднесення степеня можна сформулювати
так:
щоб піднести степінь до степеня, треба основу степеня зали-
шити ту саму, а показники степенів перемножити.
Наприклад: 1) (23
)2
= 23 ∙ 2
= 26
= 64; 2) (b6
)5
= b6· 5
= b30
.
Усі розглянуті властивості степеня обґрунтовано для натураль-
них показників, більших за 1. Якщо показник степеня дорівнює
1, то ці властивості очевидні. Переконайтеся у цьому самостійно.
 Спрощуємо обчислення. Кожну з розглянутих тотожнос-
тей можна використовувати, помінявши місцями ліву і праву їхні
частини.
Наприклад, обчислення виразу 25
∙ 55
можна суттєво спростити,
скориставшись тотожністю (3): (а ∙ b)n
= an
∙ bn
, прочитаною справа
наліво: an
∙ bn
= (а ∙ b)n
. Маємо:
25
∙ 55
= (2 ∙ 5)5
= 105
= 100 000.

Аналогічно, скориставшись тотожністю
a
b
a
b
n
n
n
=





 , одержаною
з розглянутої на с. 22 тотожності
a
b
a
b
n
n
n
=





 ,=
a
b
a
b
n
n
n
=





 ,, спрощуємо обчислен-
ня виразу
32
16
4
4
:

32
16
32
16
2 16
4
4
4
4
=





 = = .
1. Якими властивостями степеня з натуральним показником
скористалися у перетворенні виразів:
а) 32
∙ 33
= 35
; б) (7ab3
)2
= 49a2
b6
;
в) 323
: 162
= (25
)3
: (24
)2
= 215
: 28
= 27
?
2. Яка з рівностей правильна:
а) 24
∙ 34
= 68
; б) 24
∙ 34
= 616
; в) 24
∙ 34
= 64
?
71°. Виконайте множення:
а) х4
∙ х6
; б) а12
∙ а7
; в) y4
∙ y6
; г) m ∙ m2
;
ґ) b3
∙ b2
∙ b; д) c ∙ c; е) с3
∙ с2
∙ с; є) 2а2
∙ а3
;
ж) 3b4
∙ b5
; з) 25
∙ 22
; и) 33
∙ 33
; і) 7,8 ∙ 7,82
;
ї) an
∙ a2
; й) b3
∙ bk
; к) сm
∙ сn
.
Піднесіть до степеня (72–73):
72°. а) (а2
)3
; б) (b4
)2
; в) (x8
)3
; г) (m3
)3
;
ґ) (y10
)10
; д) (c7
)4
; е) (a5
)5
; є) (p8
)8
;
ж) (xn
)3
; з) (m4
)p
.
73°. а) (а2
b2
)2
; б) (x3
y3
)3
; в) (2m2
n4
)2
; г) (3xy5
)2
;
ґ) (0,1p3
n)3
; д) (аn
x2
)4
; е) (а2
xm
)n
; є) (bm
cn
)p
.

Виконайте ділення (74–75):
74°. а) y8
: y4
; б) а6
: а3
; в) m12
: m4
; г) c16
: c8
;
ґ) x24
: x12
; д) b36
: b6
; е) n18
: n3
; є) p25
: p5
;
ж) x14
: x7
; з) y30
: y15
.
75°. а) x16
: x8
; б) x16
: x2
; в) x16
: x10
; г) a8
: a5
;
ґ) a18
: a2
; д) a18
: a9
; е) a18
: a12
; є) b17
: b15
;
ж) 27
: 25
; з) c4
: c3
; и) 516
: 515
; і) yn
: y5
;
ї) x7
: xp
; й) mn
: mk
.
76*. Спростіть вирази:
а) mp – 2
∙ m3 – p
; б) a2k
∙ a1 – k
; в) b3n
∙ bn
; г) xn
∙ xn
;
ґ) y3p
: y2p
; д) yp + 1
: yp
; е) сk + 3
: сk + 2
; є) mk – 1
: mk – 3
.
77. Замість крапок запишіть відповідні множники, щоб утвори-
лися тотожності:
а) х8
∙ … = х16
; б) m12
∙ … = m24
; в) … ∙ 26
= 212
;
г) … ∙ 33
= 36
; ґ) … ∙ x5
= x5
; д) a8
∙ … = a10
;
е) b4
∙ … ∙ b5
= b11
; є) y ∙ y2
∙ … = y6
; ж) n ∙ … ∙ n3
= n5
.
Знайдіть і виправте допущені помилки (78–79):
78°. а) х3
∙ х2
= x6
; б) х5
∙ х4
= x9
; в) (y4
)2
= y6
;
г) (p3
)4
= p12
; ґ) (a2
)2
= a4
; д) c27
: c9
= c3
;
е) a15
: a5
= a10
; є) а3
∙ b2
= ab5
; ж) (ab2
)3
= ab6
;
з) (ab2
)3
= ab5
; и) (ab2
)4
= a4
b6
; і) (ab2
)4
= a4
b8
.
79. а) (4х3
у4
)2
= 8х6
у8
; б) (3х4
y)2
= 9х8
y2
;
в) (0,3х2
у2
)2
= 0,9х4
у4
; г) (2a3
b4
)4
= 16a12
b16
;
ґ) 5 ∙ 23
= (5 ∙ 2)3
= 103
= 1000; д)
75
15
5
2
2
= .
80°. Запишіть у вигляді степеня:
а) a2
b2
; б) х4
y4
; в) b6
c6
; г) 36m2
n2
;
ґ) х6
y2
; д) 4m4
n6
; е) c12
d9
; є) 8x6
;
ж) –p3
; з) –55
.
Обчисліть (81–84):
81°. а) 0,2510
∙ 410
; б)
1
8
16
4
4




 ⋅ ; в) 1
1
8
8
9
10 10





 ⋅





 ;
г)
1
3
6
7
7




 ⋅ ; ґ)
1
2
4
5
5




 ⋅ ; д) 0 125 8
6 6
, .( ) ⋅

82. а)
1
2
2
5
7




 ⋅ ; б) 0 2 5
8 9
, ;( ) ⋅ в) 1 25 8
4 6
, ;( ) ⋅ г) 0 5 4
9 8
, .( ) ⋅
83. а)
2 3
6
4 5
6
⋅
; б)
2
4
9
4
; в)
9
3
5
9
; г)
27
9
4
6
;
ґ)
4
8
10
6
; д)
27
81
10
7
; е)
6
2 3
10
9 9
⋅
; є)
2 5
100
5 5
2
⋅
.
84*. а)
4 5
2 25
2 3
5
⋅
⋅
; б)
−( ) ⋅
⋅
2 49
7 8
6 2
5 2
; в)
5 9
3 25
3 4
9 2
⋅
⋅
; г)
2 10 100
1000
3 2
2
⋅ ⋅
.
85*. Порівняйте:
а) 48
і 85
; б) 97
і 274
; в) 1020
і 2010
; г) 65
і 310
.
Розв’яжіть рівняння (86–88):
86. а) 42
∙ х = 43
, 24
∙ х = 26
, 32
∙ х = 37
,
б) а : 23
= 22
, 53
: х = 52
, 36
: х = 92
.
87. а)
x
2
22
3
= ; б)
4
4
5
3
x
= ; в)
4
4
4
5
2
4⋅
=
x
; г)
−( ) =
3
3
3
2
3
t
.
88*. а) (2х
)3
= 26
; б) (32
)х
= 36
; в) (22
)х
= 28
;
г) х3
= 1; ґ) (х – 3)2
= 0; д) (х – 3)2
= 1.
89*. Заповніть порожні клітинки таблиць числами так, щоб добу-
ток усіх чисел по кожній вертикалі, горизонталі та діагона-
лі дорівнював одному й тому самому числу. Числа, записані
в клітинках, розставте у порядку зростання. Визначте зако-
номірність розміщення чисел.
90*. Обчисліть за допомогою калькулятора і результати округ
літь до десятих:
а) 4,22
∙ 5,63
; б) 8,83
: 43
; в)
6 1 2
3 1
2 3
2
,
,
;
⋅
г)
7 48 3
2
2 2
3
,
.
⋅
а) )
26
2
5
24
23
–32
16 –8 2
8

91*. Для якого значення х вирази мають найменше або найбіль-
ше значення? Які саме?
а) х2
+ 3; б) 2 – х2
; в) x + 3;
г)
4
2
2
+ x
; ґ)
4
2
2
- x
; д)
4
22
x +
.
1.5. Одночлен.
Перетворення одночленів
 Що таке одночлен. Розглянемо відомі формули, що стосу-
ються зображених на рисунку 4 чотирьох фігур.

Вирази, що містяться у правих частинах формул, є добутками
чисел (4, 2, π), змінних (a, r) або їхніх степенів. Такі вирази нази-
вають одночленами.
Вираз, що є добутком чисел, змінних та їхніх
степенів, називають одночленом.
Приклади одночленів: 2a2
b, –3x3
y4
, 4c8
d2
∙ 0,1m.
Одночленами вважають також числа, змінні та їхні степені.
Наприклад: 5, 22
, а3
.
Вираз
5
2
2 4
m n
за означенням не є одночленом (бо містить дію ді-
лення на 2), але його можна записати у вигляді одночлена, виконав-
ши нескладне перетворення:
5
2
2 4
m n
=
5
2
2 4
m n , де
5
2
— число.
Вирази 2(a + b), (x – y)2
, 3ab – 4c3
не є одночленами, бо, крім мно-
ження і піднесення до степеня, містять додавання або віднімання.
 Стандартний вигляд одночлена. Трапляється, що од-
ночлен містить кілька числових множників або степенів однієї
змінної. У такому разі їх, як правило, замінюють одним числовим
множником і одним степенем відповідної змінної.
Розглянемо для прикладу таку задачу.
Задача 1. Знайдіть масу товару, що може вмістити рефрижера-
тор (рис. 5), якщо маса 1 м3
товару дорівнює 0,12 т.
и . 5

Розв’язання. Оскільки рефрижератор має форму прямокутного
паралелепіпеда, то його об’єм дорівнює: 3a ∙ 2a ∙ b (м3
).
Отже, маса товару в рефрижераторі буде: 0,12 ∙ 3a ∙ 2a ∙ b (т).
Одержаний вираз легко перетворити, скориставшись перестав-
ним і сполучним законами множення:
0,12 ∙ 3a ∙ 2ab = (0,12 ∙ 3 ∙ 2) ∙ (аа)b = 0,72а2
b.
Аналогічно можна перетворити одночлени:
а) –0,3x ∙ 5xy; б) 4a2
b ∙ (–2,4a3
b4
).
Маємо:
а) –0,3x ∙ 5xy = –0,3 ∙ 5xxy = –1,5x2
y;
б) 4a2
b ∙ (–2,4a3
b4
) = 4 ∙ (–2,4)a2
a3
bb4
= –9,6a5
b5
.
Зверніть увагу на те, що в кожному з одержаних одночленів
числовий множник стоїть на першому місці і кожна змінна вхо-
дить до них тільки один раз.
Одночлен, який містить тільки один число-
вий множник, що стоїть на першому місці, і до
якого кожна змінна в певному степені вхо-
дить тільки один раз, називають одночленом
стандартного вигляду.
Перетворення, внаслідок якого з даних одночленів дістають од-
ночлени стандартного вигляду, називають зведенням одночле-
нів до стандартного вигляду.
Числовий множник одночлена стандартного вигляду назива-
ють коефіцієнтом.
Наприклад, коефіцієнти одночленів
1
2
ah, 6a2
, 4a, –1,5x2
y до-
рівнюють відповідно
1
2
, 6, 4, –1,5.
В одночлені а3
коефіцієнтом уважають 1, бо а3
можна записати
як 1 ∙ а3
. Одиниці дорівнюють і коефіцієнти в таких одночленах:
ab2
, m5
, x4
y7
тощо. Аналогічно коефіцієнт одночлена –х3
у4
дорівнює
–1, бо –х3
у4
= –1 ∙ х3
у4
.
УВАГА! Не забувайте про це в майбутньому і не припускайтеся по-
милки, вважаючи, наприклад, що у виразі ab коефіцієнта немає!

 Як звести одночлен до стандартного вигляду. Ми роз-
глянули кілька прикладів зведення одночленів до стандартного
вигляду. Так само слід підходити до виконання більшості вправ:
їхні умови можуть бути сформульовані по-різному, але суть зали-
шається тією самою.
Наприклад:
а) виконайте множення 4x4
∙ 2x4
y;
б) виконайте дії: 4x4
∙ 2x4
y;
в) спростіть вираз 4x4
∙ 2x4
y;
г) знайдіть добуток 4x4
∙ 2x4
y.
Усі ці формулювання, по суті, означають одне: потрібно звести
одночлен 4x4
∙ 2x4
y до стандартного вигляду.
Для виконання цього завдання достатньо скористатися відпо-
відними законами арифметичних дій і властивостями степеня:
4x4
∙ 2x4
y = 4 ∙ 2x4
x4
y = 8x8
y.
Зводячи одночлен 4x4
∙ 2x4
y до стандартного вигляду, ми фактич-
но замінили добуток двох одночленів 4x4
і 2x4
y одним одночленом.
Якщо потрібно перетворити в одночлен стандартного вигляду сте-
пінь одночлена, застосовують правило піднесення до степеня добутку.
Наприклад: (3a2
b4
)2
= 32
(a2
)2
(b4
)2
= 9a4
b8
.
 Як записати одночлен у вигляді добутку двох одночле-
нів. Інколи доводиться виконувати перетворення, обернене до
попереднього, — записувати одночлен стандартного вигляду як
добуток двох одночленів.
Наприклад, одночлен 6x4
y8
потрібно записати у вигляді добут-
ку двох одночленів, один із яких дорівнює 3xy2
. Щоб знайти дру-
гий одночлен, порівнюють відповідні множники даних одночленів
і з’ясовують, на який вираз слід помножити один із них, щоб діс-
тати потрібний. У даному випадку такими множниками є 6 і 3; x4
і х; y8
і y2
. Щоб дістати 6, потрібно 3 помножити на 2; щоб дістати x4
,
треба х помножити на х3
; щоб дістати y8
, слід y2
помножити на y6
.
Отже, шуканий одночлен дорівнює 2x3
y6
. Тобто 6x4
y8
= 3xy2
∙ 2x3
y6
.
 Степінь одночлена. Одночлен 3х2
містить змінну х у друго-
му степені, а одночлен 2,4х5
— у п’ятому. В такому разі кажуть,

що одночлен 3х2
— другого степеня, а одночлен 2,4х5
— п’ятого
степеня.
Степінь одночлена з кількома змінними дорівнює сумі показ-
ників степенів цих змінних.
Наприклад, вираз 4x3
y2
z є одночленом шостого степеня, бо
сума показників степенів змінних, що входять до нього, дорівнює
3 + 2 + 1 = 6. Одночлен 7xy — другого степеня, оскільки до нього
входять змінні x та y в першому степені: 1 + 1 = 2.
1. Який вираз називають одночленом? Наведіть приклади.
2. Які з одночленів є одночленами стандартного вигляду:
a) 3a3
ba; б) 4xy3
; в) –4,5m4
n ∙ 2;
г) a2
b7
c4
; ґ) 3ddd?
Відповідь поясніть.
3. Яку неточність допущено в означенні: числовий множник,
який стоїть в одночлені на першому місці, називається
його коефіцієнтом?
4. Як звести одночлен до стандартного вигляду? Поясніть на
прикладі.
92°. Які з виразів є одночленами:
а) 3с3
d2
; б)
5
8
4
x ; в)
3
4
3
mn
; г)
a
-1 3,
;
ґ) -
c
6
; д) (х – 4)3
; е) 1; є) (8а3
)2
?
Які з них можна записати у вигляді одночлена? Зробіть це.
93°. Зведіть одночлени до стандартного вигляду і назвіть коефі-
цієнти утворених одночленів:
а) ab3
∙ (–3b4
); б) –8х2
∙ (–4х3
у4
); в) 4m ∙ 0,25n;
г) –5с2
d3
∙ 0,2cd; ґ) 2
1
3
1
7
mn mn⋅ .

94°. Знайдіть добуток одночленів:
а) 17а2
і 5а; б) –6аb і 2а; в) –9аb і –8ab;
г) –0,5а2
і 9ab; ґ) -
4
7
2
a b і
5
9
a; д) –0,8а3
b і
4
7
2
ab ;
е) –0,6а -
3
4
ab; є)
7
8
3
a b і –0,2аb; ж) -
4
9
ab і –18а3
b.
95°. Спростіть вирази:
а) (3ах)2
; б) (2ах)3
; в) (0,4аb)2
;
г) (–0,2ab)3
; ґ) (–0,5ab)2
; д) (–0,4a2
b)3
;
е) (–0,6а3
b)2
; є) (–0,3а2
b)3
; ж)
3
4
2 3
2
a b





 .
Піднесіть одночлени до степеня (96–97):
96°. а) (3ху)2
, (4xy)3
, (–4х2
)2
, (–7ху2
)2
, (2х2
у)3
;
б) (0,1х)2
, (0,1x)3
, (0,4х3
)2
, (–0,4х2
)2
, (–0,6х2
у)3
.
97. а)
3
7
3
2
x





 ; б) −






3
7
2
2
x y ; в) −






7
9
2
2
x y ;
г)
12
17
2
xy





 ; ґ)
15
17
2
2
x y





 .
Виконайте дії (98–99):
98°. а) 2х ∙ (3х)2
; б) 0,8х ∙ (–4х)2
; в) (–2х)3
∙ (–0,8х);
г)
4
3
2 1⋅ , ;x ґ) 4х2
∙ (–4х)2
; д) 7xy ∙ (–3x2
)3
.
99°. а)(–3x)2
∙ (–2x)3
; б)(–0,8x2
)2
∙ 1
2
7
xy;
в) 1
3
4
3
7
2
3
x x y





 ⋅ −





.
100. Перетворіть вирази в одночлени стандартного вигляду, а по-
тім, якщо можливо, запишіть їх у вигляді степеня:
а) 2а3
b4
∙ 8аb2
; б) 0,7x3
у ∙ 6ху2
; в)
1
2
х2
y ∙ 2х4
y3
;
г) 8cd2
∙ 2c3
d2
; ґ) (–3xy4
) ∙ (–12ху2
); д) 8m2
n5
∙ (–8mn).

101*. Знайдіть помилки, виправте їх і поясніть, порушення яких
правил призвело до них:
а) х ∙ х = 2х; б) 5 ∙ 22
= 102
; в) х3
∙ х2
= х6
;
г) (х3
)2
= х9
; ґ)(х4
)3
= х7
; д) 42
∙ 32
= 124
;
е) (–3х)4
= –12х4
; є) а2
b3
= (ab)5
; ж) –а4
∙ 2а3
= 2а7
.
Заповніть пропущені місця відповідними множниками
так, щоб утворилися тотожності (102–104):
102. а) 8х3
= 4х2
∙ ... ; б) 25х2
у = ... ∙ у;
в)16х2
у3
= 4х2
у ∙ ... ; г) 9х3
у2
= –3х2
у ∙ ... ;
ґ) 64х4
у2
= ... ∙ 4х2
у; д) –7b2
c ∙ … = 63b5
c4
.
103. а) 4m2
n ∙ … = m5
n3
; б) … ∙ (–5х2
у) = x4
у;
в) 5a2
b4
∙ … = –5a2
b4
; г*) 3a3
b ∙ … =
1
9
3 3
a b ;
ґ*) 16m3
n4
= (2mn)2
∙ …; д*) 36x5
y2
= … ∙ (3x2
y)2
.
104*. а) 200х5
у5
= (5...)2
∙ (...)3
; б) 2х7
у5
= (...)3
∙ (0,5...)2
;
в)
9
8
3
2
1
2
5 5
2
3
x y =





 ⋅ ( )... ... ; г)
2
27
2
3
5 5
3
2
x y =





 ⋅( )... ... .
105. Вантажним автомобілем привезли 50 дощок завдовжки а м,
завширшки b дм, завтовшки 0,2b дм кожна. Запишіть у ви-
гляді одночлена стандартного вигляду вираз для обчислен-
ня маси всіх дощок, якщо 1 м3
деревини має масу 0,8 т.
106*. Розставте в порожніх клітинках таблиць одночлени так, щоб
їхній добуток у кожній вертикалі, горизонталі та діагоналі
дорівнював a12
b15
:
Одночлени, записані в клітинках, розмістіть у порядку зрос-
тання степенів букви b. Визначте закономірність розміщен-
ня одночленів, записаних у клітинках.
)а)
ab6
a b6
a b2 9
a b4 5
a b5 6
b

107*. Розставте в порожніх клітинках таблиць одночлени так, щоб
добуток усіх одночленів кожної вертикалі, горизонталі та
діагоналі був одночленом однакового степеня:
Розмістіть одночлени в порядку:
а) спадання степеня у;
б) зростання степеня а.
Завдання для самоперевірки
І – ІІ рівні
а) (–3)2
; б) (–6)3
; в)
2
3
2





 ; г) (5 – 3)3
;
ґ) 33
– 5; д) 1,52
; е) –33
; є)
3
3
3
2
.
2. Знайдіть значення виразу х2
– 3х + 7, якщо:
а) х = –4; б) х =
2
3
; в) х = 1,2; г) х = 0.
3. Виконайте дії:
а) а4
: а3
; б) х2
∙ х ∙ х5
; в) 3m8
: m4
; г) у3
∙ 2у ∙ у5
.
4. Розв’яжіть рівняння:
а) 53
∙ х = 56
; б) х : 33
=
1
3
; в) 55
: х = 52
; г) 32
∙ х = 27.
5. Для яких значень змінної х не мають смислу вирази:
а)
4
3x -
; б)
x
x + 4
; в)
2
42
x
x -
; г)
x
x
+ 3
.
)а)
x y2 6
x y4 2
x y5 5
x y6 8
a b3 5
a2
b2
a b7 7

6. Які з виразів тотожно рівні:
а) х5
; б) (х3
)2
; в) х6
; г) х2
∙ х3
?
7. Спростіть вирази:
а) х3
· х2
; б) х6
: х2
; в) (х3
)2
; г) х4
: х2
?
8. Запишіть одночлени у стандартному вигляді і назвіть їхні
коефіцієнти:
а) 3х4
∙ х; б) –2а3
∙ 3а;
в) –5а2
х ∙ 0,1ах3
; г) 0,25mn ∙ 4m2
n.
9. Допишіть замість крапок такі множники, щоб утворилися то-
тожності:
а) a4
b2
= a2
b2
... ; б) x5
y6
= x3
y2
... ;
в) 3m4
n4
= 3mn3
... ; г) 12x3
y5
= ... 2xy2
.
10. Запишіть вирази:
а) половина різниці чисел х і у;
б) чверть добутку чисел а і b;
в) подвоєна сума чисел m і n;
г) потроєна частка чисел с і d.
ІІІ рівень
а)
2 4
8 16
4 8
5
⋅
⋅
; б)
27 3
81 9
2 6
3
⋅
⋅
; в)
3 64
2 9
5
3 2
⋅
⋅
; г)
125 4
128 5
2
6
⋅
⋅
.
а) квадрат різниці чисел 8 і –3;
б) різницю квадратів чисел 9 і –4.
а) 93
: х = 272
; б) х : 33
=
1
3
;
в) 85
∙ х = 164
; г) (–0,5)3
∙ у = 0,25.
4. Знайдіть помилки, якщо вони допущені, та виправте їх:
а) а8
: а4
= а2
; б) х3
х2
= х5
; в) b8
c8
= bc8
;
г) b8
c8
= (bc)16
; ґ) (mр2
)3
= m3
p5
; д) (m4
n)4
= m16
n4
.
5. Запишіть вирази у вигляді степеня:
а) 32
а3
а5
; б) a3
b2
∙ ab6
; в) 2x2
∙ 24
x3
y5
; г) c2
d3
∙ c2
d5
.

6. Запишіть одночлени у стандартному вигляді:
а) –mn ∙ 0,5m2
n4
∙ 2m; б) 2с2
∙ (–3с2
d)3
;
в) (–8a2
b3
)3
∙ 2a2
b3
; г) –3ху3
∙ (3х2
у2
)2
.
7. Запишіть вирази, якщо це можливо, як одночлени стандарт-
ного вигляду:
а)
xy2
2
; б)
a b+
3
; в) 2m + 5m; г)
3ab
c
.
8. Допишіть замість крапок одночлени так, щоб утворилися то-
тожності:
а) 12a4
bc3
= 4abc ... ; б) 15m8
n6
р3
= ... ∙ 3m4
n2
р;
в) 36x5
y2
= ... (3xy)2
; г) –18k3
l4
m5
= 6kl2
m5
... .
а) половина добутку суми чисел х і у та їх різниці;
б) квадрат третини добутку чисел а і b;
в) різниця квадратів чисел m і n;
г) куб половини різниці чисел k і l.
10. Спростіть вираз:
а) 42п
· 43п – 1
· 45п + 1
; б) 4п
· 22п – 1
· 23п
.
IV рівень
1. Запишіть вираз зі змінною m, який не має числового значен-
ня, якщо:
а) m = 2 і m = –1; б) m = 4; в) m = –3 і m = 0.
а) 3
5
9
3 375
2
3




 ( ). , ; б)
5 4 6 2 7 5
25
27 28
13
⋅ + ⋅, ,
;
в)
8 1000
2 53 3
⋅
⋅
n
n n
; г)
1000
2 53 1 3 2
n
n n+ +
⋅
.
3. Виконайте дії:
а) (–0,5xn
y)3
∙ 2xy4n
; б) (0,3an + 1
b)2
∙
5
9
(ab3
)3
;
в)
2
3
92 3
3
4 2
2
x y x y





 ⋅ −( ) ; г) −( ) ⋅ −






−
4
3
4
3 5
3
3 2 1
2
c d c dm m
.

4. Запишіть, якщо це можливо, вирази у вигляді степеня:
а) 27х2
у3
∙ х4
; б) 4m2
n4
∙ 8m4
n6
;
в) 12аb2
∙ 3а2
b; г) сn – 1
d2k – 1
∙ 9cn + 3
d.
5. Допишіть замість крапок одночлени так, щоб утворилися то-
тожності:
а) 24a2
b3
d7
= 2ab3
∙ 3d2
∙ ... ;
б) 100x7
y4
= (...)2
∙ 4x;
в) -
24
49
m6
n5
p3
= 6mn2
∙ ... ∙
2
7
m2
р;
г) 32c5
d4
n6
= –4с2
n3
∙
2
3
dn2
∙ ... .
6. За якого значення х вираз набуває найбільшого або наймен-
шого значення і якого:
а) (4 – х)2
+ 7; б) 10 – (3 – х)2
;
в) (2,5 – х)2
+ 3
2
3
; г) 3,6 – 2
3
4
2
−





x ?
7. Знайдіть число, 60 % якого:
а) більші за його третину на 24;
б) менші від його третини на 24.
а) потроєний добуток квадрата суми чисел a i b та їх різниці;
б) різниця куба суми виразів 3m і 2n та квадрата їх різниці.
9. Запишіть словами назви виразів:
а) 2(a2
– b2
) + (a – b)2
; б) 3ху – (х3
+ у3
).
а) (х – 7)2
= 0; б)(4 + х)2
= 0;
в) (х – 4)2
= 1; г) |х|2
= 4.


§2.
Многочлен.
Перетворення
многочленів
2.1. Поняття многочлена
та його стандартного
вигляду
1. Які доданки називають подібними? Наведіть приклади.
2. Поясніть, як зводять подібні доданки, виконавши зведен
ня їх у виразах:
а) 4а + 3а + а; б) 7b – 3с + 4b – 2b.
 Що таке многочлен. Розглянемо рисунок 6. Місткість реф-
рижератора з причепом, зображеного на ньому, дорівнює ac2
+ bch.
Вираз ac2
+ bch ― це сума двох одночленів: ac2
― місткість реф-
рижератора; bch ― місткість причепа.
Площа зафарбованої фігури, зображеної на рисунку 7, дорівнює
ab – πr2
– с2
,
де ab ― площа прямокутника, πr2
і с2
— площі відповідно круга
і квадрата, вирізаних із даного прямокутника.

§2. Многочлен. Перетворення многочленів 45
Оскільки різницю двох виразів завжди можна записати у ви-
гляді суми (наприклад, а – b = а + (–b), то вираз ab – πr2
– с2
теж
можна розглядати як суму одночленів:
ab – πr2
– с2
= ab + (–πr2
) + (–с2
).
Такі вирази називають многочленами.
Многочлен — це сума кількох одночленів.
Одночлени, які утворюють многочлен, називають членами
многочлена.
и . 6

Зокрема, многочлен ac2
+ bch має два члени: ac2
і bch; членами
многочлена ab – πr2
– с2
є вирази ab, –πr2
, –с2
.
Многочлен, що складається з двох членів, називають двочле-
ном, многочлен, що містить три члени, — тричленом.
 Подібні члени многочлена та їх зведення. Вирази 4а +
+ 3а + а і 7b – 3c + 4b – 2b є многочленами, тому подібні доданки, що
входять до них, називають подібними членами цих многочленів.
Подібні члени у многочлені відшукати неважко: це такі одночлени,
які відрізняються між собою лише коефіцієнтом або нічим не від-
різняються.
Наприклад, у многочлені 4a2
b – 3a2
b + 5a2
b + 4a2
b всі члени по-
дібні; у многочлені 3mn – 4y2
+ 5mn + 1 + 3y2
подібними є перший
і третій, а також другий і п’ятий члени.
Перша пара подібних членів підкреслена однією рискою, а дру-
га ― двома рисками.
Подібні члени, як і подібні доданки, можна зводити. Таке зве-
дення виконують на основі розподільного закону множення:
a(b + c) = ab + ac.
Якщо поміняти місцями ліву і праву частини цієї рівності, то
дістанемо: ac + bc = a(b + c).
Скориставшись останньою тотожністю, вираз 5ay + 8ay можна
перетворити так: 5ay + 8ay = ay(5 + 8) = 13ay.
Оскільки розподільний закон множення стосується будь-якої
кількості доданків, то зводячи подібні члени многочлена 4a2
b –
– 3a2
b + 5a2
b + 4a2
b, маємо: 4a2
b – 3a2
b + 5a2
b + 4a2
b = a2
b(4 – 3 + 5 +
+ 4) = 10a2
b.
Зведення подібних членів многочлена застосовують для його
спрощення. Для виконання цього перетворення користуються та-
ким правилом:
щоб звести подібні члени многочлена, потрібно знайти суму
їхніх коефіцієнтів і до одержаного результату дописати спіль-
ний буквений множник.

Приклад. Звести подібні члени многочлена 2х2
– 3xy – 5х2
+ 6xy.
Розв’язання. Многочлен має дві пари подібних членів: 2х2
і –5х2
та –3xy і 6ху. Коефіцієнти першої пари подібних членів дорівню-
ють 2 і –5, а їхня сума: 2 + (–5) = –3.
Коефіцієнти другої пари дорівнюють –3 і 6, а їхня сума відпо-
відно дорівнює: –3 + 6 = 3.
Отже, в результаті зведення першої пари подібних членів діс-
танемо –3х2
, а другої пари — дістанемо 3xy. Записують таке пере-
творення так:
2х2
– 3xy – 5х2
+ 6ху = (2 – 5)x2
+ (–3 + 6)xy = –3x2
+ 3xy.
Згодом підкреслений проміжний запис можна пропускати.
 Зведення многочлена до стандартного вигляду. Поряд
із поняттям одночлена стандартного вигляду існує поняття мно-
гочлена стандартного вигляду.
Многочленом стандартного вигляду називають
многочлен, що містить лише одночлени стан-
дартного вигляду, серед яких немає подібних.
Наприклад, 5a2
b – 3a і 4x2
y – 5xy + y2
― многочлени стандарт-
ного вигляду. А многочлени 0,3a2
– 6b2
b + 1 чи 8x2
– 2xy + x2
– 3 не
є многочленами стандартного вигляду, оскільки у першому з них
другий член не є одночленом стандартного вигляду, а в другому
не зведено подібні члени 8х2
та х2
.
Таким чином, щоб звести многочлен до стандартного вигля-
ду, потрібно записати кожний член цього многочлена у стан-
дартному вигляді і звести подібні члени.
Наприклад: 2а2
а + 3xy – 5a3
= 2a3
+ 3xy – 5a3
= –3a3
+ 3xy.
Записувати члени у многочлені можна в різній послідовності.
Інколи їх упорядковують за спадними степенями певної змінної,
тобто розміщують члени з цією змінною у порядку поступового
зменшення показника степеня даної змінної.
Наприклад, многочлен 4ах + 2х3
– 3 + 5х2
, упорядкований за
спадними степенями змінної х, має вигляд: 2х3
+ 5х2
+ 4ах – 3.

Цей самий многочлен, упорядкований за зростаючими степенями
х, матиме такий вигляд: –3 + 4ах + 5х2
+ 2х3
.
Як і для одночлена, існує поняття степеня многочлена.
Його визначають за найвищим степенем одночлена з усіх одно-
членів, що утворюють даний многочлен. Наприклад, серед членів
многочлена 7т2
п – 4т4
+ 5т3
п2
– 6 найвищий степінь має член
5т3
п2
; він дорівнює 5 (3 + 2 = 5). Тому кажуть, що даний многочлен
п’ятого степеня. Многочлен х4
– 15х2
у + у3
— четвертого степеня
(найвищий степінь його члена х4
дорівнює 4); многочлен a2
– 4ab +
+ 3b2
— другого степеня, а многочлен 9х – 2 — першого степеня.
1. Що таке многочлен? Наведіть приклади.
2. Які члени многочлена називають подібними? Наведіть
приклади.
3. Як звести подібні члени многочлена? Проілюструйте прик
ладом.
4. Який многочлен називають многочленом стандартного
вигляду?
5. Які перетворення многочлена слід виконати, щоб звести
його до стандартного вигляду?
6. Як визначити степінь многочлена?
108°. Назвіть і запишіть члени многочленів:
а) 3а + 4b – c; б) 4,2а2
–
3
4
b + с;
в) –2,5а2
+ 2а – 1; г) 4,5а2
– 3а + b;
ґ) 8а2
–
4
7
b –
2
3
; д) –4,5а + 2,7а2
– 5b3
.
109°. Запишіть многочлени у вигляді суми одночленів:
а) 3ab – 4a2
+ 3,5b2
+ 3,5ab; б) –1,5х4
+ 3х2
– 12х – 0,4;
в) -
4
7
xy – 1,2х2
–4,5у2
; г) 2,5х3
– 2х3
– 2х2
+ 4х – 7.

Зразок. 4,8х2
–
1
3
xy – 2х = 4,8х2
+ −






1
3
xy + (–2х).
110°. Запишіть суму одночленів:
а) 4а і 0,8b; б) –4а2
і 2b; в) 3,5а і
1
2
2
a ;
г)
3
4
a і
1
2
b; ґ) –3,5а2
і 3а; д) 7,5а і
3
2
b;
е) 5m2
, –6mn і –8; є) 2,1х3
, –7х2
, 0,9ху2
і –у.
111°. Утворіть многочлени з таких одночленів:
а) а2
, –2аb, 3; б) 5х2
, 4х2
у, –6х2
, –1;
в) –0,2с, 9,2d2
, –5cd3
, 1; г) –2m, 4m3
n, –3n2
, –8m2
n4
.
112. Упорядкуйте два останні многочлени із вправи 111 спочатку за
спадними, а потім за зростаючими степенями кожної змінної.
113. Які з виразів є многочленами:
а) х + 3; б) m2
– 8m + n; в) а(а – 3);
г) (4 – х)2
; ґ) р3
– 3р + g + 1; д) b2
+ 2(b – c);
е)
x
2
+ у2
– 1; є) 3x2
m – 2(1 – mx)?
114°. Зведіть подібні члени многочленів:
а) 18а – 15а; –12а + 18а; 14а2
– 29а2
; 8,9а3
– 1,9а3
;
б) 7,5а2
– 14а2
; 4πr2
– 3πr2
; 2πr + 8πr; πr2
+ 2πr2
;
в) 7а3
– 2а3
– 1,5а3
; 4,5ху – 2,6ху; 3ху – 5х – 1,8ху;
г) 8,4а2
h – 4,7а2
h + а2
h; 3πr2
– 1,5πr2
; πr2
h – 0,5πr2
h.
115. Знайдіть допущені помилки і виправте їх:
а) х + х = x2
; б) 3а + 7а = 10а; в) 7а – 3а = 4;
г) 12х – х = 12; ґ) x5
– x2
= x3
; д) 2а + 3b = 5ab;
е) 2ab + 3ab = 5ab; є) 12х – х = 11х.
Зведіть подібні члени многочленів (116–117):
116°. а) 0,3с3
– 3с2
– 0,5с3
+ с2
; б) 4x2
– 7у2
– 6у2
+ 3x2
;
в) 5ab + 4a2
b2
+ 8a2
b2
– 3ab; г) 2у2
– 3у + 2у – у2
.
117. а) 11m2
+ 4mn – m2
– 4mn; б) –с3
– d3
+ 2с3
– d3
;
в)
2
5
ху – 0,2х2
у +
5
6
ху + 4,5х2
у; г) 6πr2
h – 1,5πr2
h + πrh.

алгебра підручник для 7 класу авт. мальований б. і. та ін.

Related slideshows

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to алгебра підручник для 7 класу авт. мальований б. і. та ін.

Similar to алгебра підручник для 7 класу авт. мальований б. і. та ін. (20)

More from Гергель Ольга

More from Гергель Ольга (20)

алгебра підручник для 7 класу авт. мальований б. і. та ін.