Алгебра підручник для 7 класу Бевз

Г. П. Бевз, В. Г. Бевз
АЛГЕБРА
Підручник для 7 класу
загальноосвітніх навчальних закладів
Київ
2015

УДК
ББК
Бевз Г. П.
Алгебра : підруч. для 7 класу загальноосвіт.
навч. закл. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. — К.: Видавництво
«Відродження», 2015. — 288 с.

Зміст
Дорогі семикласники!......................................................................5
Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗНІ
§ 1. Вирази зі змінними............................................................ 7
^ §2. Тотожні ви рази .................................................................14
§ 3. Вирази зі степенями........................................................20
§ 4. Властивості степенів........................................................29
§ 5. Одночлени.......................................................................... 36
Завдання для самостійної роботи.....................................43
Готуємося до тематичного оцінювання......................... 44
§ 6. Многочлени........................................................................46
§ 7. Додавання і віднімання многочленів..........................53
§ 8. Множення многочлена на одночлен............................60
§ 9. Множення многочленів.................................................67
Завдання для самостійної роботи.....................................74
Історичні відомості...............................................................75
Головне в р о з д іл і......................................................................76
Запитання для самоперевірки............................................77
Готуємося до тематичного оцінювання..........................78
Розділ 2. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ
НА МНОЖНИКИ
§ 10. Винесення спільного множника за д у ж к и 81
§ 11. Спосіб групування..........................................................88
§ 12. Квадрат двочлена..........................................................93
§ 13. Різниця квадратів........................................................102
Завдання для самостійної роботи...................................109
Готуємося до тематичного оцінювання....................... 110
§ 14. Використання формул скороченого множення. 112
§ 15. Різниця і сума к у б ів ...................................................119
§ 16. Застосування різних способів
розкладання многочленів на множ ники..............126
Історичні відомості............................................................ 135
Головне в р о з д іл і................................................................... 136
Запитання для самоперевірки..........................................137

Розділ 3. ФУНКЦІЇ
§ 17. Що таке ф ункція?........................................................141
§ 18. Графік ф у н к ц ії............................................................ 150
§ 19. Лінійна ф ун кц ія..........................................................161
Головне в р о з д іл і................................................................... 172
Розділ 4. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ
§ 20. Загальні відомості про рівн ян н я............................177
§ 21. Лінійні рівняння..........................................................185
§ 22. Розв’язування задач за допомогою рівнянь . . . 191
§ 23. Рівняння з двома зм інним и.....................................202
§ 24. Графік лінійного рівняння з двома змінними. . 208
§ 25. Системи р івн ян ь..........................................................215
§ 26. Спосіб підстановки..................................................... 221
§ 27. Спосіб додавання..........................................................227
§ 28. Розв’язування задач складанням
системи р ів н ян ь..........................................................235
Головне в р о з д іл і...................................................................246
Готуємося до тематичного оцінювання.......................248
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Цілі вирази...............................................................................251
Розкладання многочленів на м нож ники....................... 254
Ф ункції......................................................................................255
Рівняння і системи р ів н я н ь .............................................. 257
Задачі підвищеної складності............................................260
Відомості з курсу математики 5—б класів.....................263
Відповіді та вказівки до в п р а в ..........................................274
Предметний п окаж чи к........................................................286

г
Дорогі семикласники!
А л г е б р а —частина математики, яка разом з арифме
тикою та геометрією належить до найдавніших складових
цієї науки. У попередніх класах на уроках математики ви
опановували переважно знання з арифметики, засвоювали
розширені відомості про числа та дії над ними. Тепер по
чинаєте вивчати алгебру.
Знання алгебри необхідні не тільки тому, що вона дає
найкращі методи розв’язування найважчих задач, а й
тому, що в ній формується математична мова, яка вико
ристовується фахівцями різних галузей науки і техніки.
Алгебра досить багата за змістом і дуже потрібна. Ви
вивчатимете її до закінчення школи, а дехто — й у вищих
навчальних закладах.
Розпочати опанування курсу шкільної алгебри вам до
поможе цей підручник. Читаючи теоретичний матеріал,
основну увагу звертайте на слова, надруковані курсивом.
Це математичні терміни. Треба зрозуміти, що ці слова
означають, і запам’ятати їх. Виділені жирним шрифтом
речення — це правила або інші важливі математичні
твердження. їх треба пам’ятати й уміти застосовувати.
Кожен параграф підручника містить рубрику «Хочете
знати ще більше?», у якій пропонуються додаткові відо
мості для учнів, котрі особливо цікавляться математикою.
Відповідайте на запитання рубрики «Перевірте себе», і ви
зможете закріпити, узагальнити й систематизувати здо
буті знання, уміння та навички, одержані під час вивчен
ня теми. У рубриці «Виконаємо разом!» наведено зразки
розв’язання найважливіших видів вправ. Пропонуємо
ознайомитися з цими прикладами, перш ніж виконувати
домашні завдання (їх позначено
Підручник містить вправи різних рівнів складності —від
усних до досить важких. Номери останніх позначено зіроч
кою (*), і пропонуються вони тим учням, які згодом навча
тимуться у класах з поглибленим вивченням математики.
Добрепідготуватися до тематичного оцінювання й отримати
високі навчальні результати вам допоможуть матеріали
відповідної рубрики. «Історичні відомості» сприятимуть
розширенню кругозору кожного учня.
Бажаємо успіхів у навчанні!
---------
У

В и р а з и в математиці
відіграють приблизно таку
саму роль, як слова в мові або
як окремі цеглини в будинку.
Математична мова — це мова
виразів. Щобопануватиїї, треба
навчитися оперувати матема
тичними виразами, розуміти
їх зміст, уміти записувати в
зручному вигляді. Існуютьрізні
види математичних виразів.
У цьому розділі
ви дізнаєтеся про:
• вирази зі змінними;
• вирази зі степенями;
• одночлени;
• многочлени;
• дії над многочленами.
*
Розглянемо, наприклад, рівняння:
—(х - 5) + Зх = 17 - 2х.
З
Ліва і права його частини — вирази:
^ ( х - 5 ) + Зх і 17 - 2х.
Кожен із цих виразів містить одну змінну х. А бувають
вирази з двома, трьома і більшою кількістю змінних. Напри
клад, вираз 2ах + сх2містить три змінні: а, с іх .
У математиці вирази зі змінними відіграють дуже важливу
роль. Математична мова —це мова виразів. Невипадково знач
на частина шкільного курсу алгебри присвячена вивченню
виразів.
Бувають вирази і без змінних, наприклад:
97 • 17, : 45;
0,2-3-15:7
2(3,5 -1,8)
Такі вирази називають числовими.

Отже, вирази бувають числові та зі змінними (мал. 1). Далі
ми розглядатимемо переважно вирази зі змінними.
Мал. 1
Кожний числовий вираз (який не містить ділення на 0) має
одне значення. А вираз зі змінними при різних значеннях цих
змінних може набувати різних значень.
Для прикладу знайдемо значення виразу З а + 5, якщо
а дорівнює 1, 2, 3 і -4.
Якщо а = 1, то За + 5 = 3 • 1 + 5 = 8 ; ^
якщо а = 2, то За + 5 = 3 •2 + 5 = 11;
якщо а = 3, то З а + 5 = 3 3 + 5 = 14;
^якщ о а = -4 , то За + 5 = 3 •(-4) + 5 =-7.
Результати обчислень запишемо в таблицю.
а 1 2 3 -4
За + 5 8 11 14 -7
Якщо вираз містить кілька змінних, наприклад 2а - Зх, то
для знаходження його значення слід мати або надавати зна
чення для кожної змінної. Наприклад, якщо а = 7 іх = 5, то
2 а - 3 х = 2 - 7 - 3 - 5 = -1.
Якщо вираз не містить ніяких інших дій, крім додавання,
віднімання, множення, піднесення до степеня і ділення, його
називають раціональним виразом. Приклади раціональних
виразів:
( 2х + п, - —(х - 5), ———, а + —-— . ]
^ 3 2а+с х + с
Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз
зі змінною, називають цілим. Два перші з наведених вище
виразів — цілі, інші — дробові. У цьому розділі ми розгляда
тимемо тільки цілі вирази.

ЦІЛІ ВИРАЗИ 9
Вирази а + Ь, а - Ь, а ■Ь, а : Ь — відповідно сума, різниця,
добуток і частка змінних а і Ь. Читають їх і так: «сума чисел
а і Ь», «різниця чисел а і Ь» і т. д.
Математичними виразами вважають також окремі числа
або змінні, наприклад: 2, 0, х, -а. А записи, що містять знаки
рівності або нерівності, наприклад: 2 + 3 = 5,х<5, — не вирази.
Хочете знати ще більше'Р)
Раніше ви розрізняли числові вирази і буквені вирази, однак у
сучасній математиці буквами позначають не тільки невідомі числа.
Наприклад, буква п позначає відношення довжини кола до його
діаметра; його наближене значення дорівнює 3,14. Тому вираз
п + 2,5, хоч і містить букву п, є числовим виразом. Згодом ви озна
йомитеся з виразами /(х ), Р 4, С |, віпл та багатьма іншими, які
містять букви, але не такі, замість яких можна підставляти числа. Тому
далі ті букви, замість яких можна підставляти різні числа, ми назива
тимемо змінними, розуміючи, що їх значення можуть змінюватися.
Авирази, які містять такі змінні, називатимемо виразами зізмінними.
Словом вираз в українській мові часто називають і висловлення
(наприклад, крилатий вираз), і вияв настрою (вираз обличчя) тощо.
У математиці цим словом коротко називають математичний вираз.
А математичний вираз — це написані вякому-небудь зрозумілому
порядку математичні символи, включаючи числа, букви, знаки дій,
дужки, знаки відсотків, модуля тощо. Наприклад, старшокласники,
крім інших, розглядають і такі вирази:
1ІІП - / ( * .) , ± п2,
4ам0 Ах "-1 о
Що вони означають, ви згодом дізнаєтесь.
Перевірте себе
1. Наведіть приклад числового виразу.
2. Наведіть приклади виразів зі змінною, із двома змінними.
3. Які вирази називають раціональними?
4. Які вирази називають цілими?
5. Наведіть приклад виразу з модулями.
Виконаємо разом! ]
1. Напишіть у вигляді виразу число, яке має:
а) а сотень, Ьдесятків і с одиниць; б) пг тисяч і п десятків.
✓ Р о з в ’я з а н н я , а) 100а + 10Ь + с; б) 1000т + Юя.

К Б
2. Відомо, що а + Ь= 35. Знайдіть значення виразу 7а + 7 + 7Ь.
✓ Р о з в ’я з а н н я . Скористаємось переставним, сполуч
ним і розподільним законами:
7а + 7 + 7Ь = 7а + 7Ь + 7 =
={7а + 7Ь) + 7 = 7(а + Ь) + 7 =
= 7 - 3 5 + 7 = 252.
3. Знайдіть периметр многокутника,
зображеного на малюнку 2, якщо
АВ =а, ВС =Ь, ВЕ =с.
✓ Р о з в ’ я з а н н я . Оскільки
СВ + Е Р + К Р = А В , то
АВ + ВС + СВ +ВЕ +ЕР +РК+КР +РА =2АВ + 2ВС + 2РК=
=2а + 2Ь + 2с.
а
Мал. 2
В
Виконайте усно
1. Прочитайте вираз:
1 2
а) т + п; б) т - х; в) 1 + с; г) 2ах; ґ) —(х + у); д) —(х - 2).
2 З
2. Який із записів є виразом:
а ) 2 а х - х 2; б)а + Ь=Ь+ а; в)Зх + 5 = 7; г) 2(3 - 0,7) - 3,5?
3. Який із виразів — числовий, а який — зі змінними:
а) 37х - 2,4; б) 2,5; в) 48 - 3,7(2 - 3,5); г) 24% ?
4. Довжини сторін прямокутника — а і Ь. Що означають
вирази: аЬ; 2(а + Ь); а + Ь?
5. Запишіть у вигляді числового виразу:
а) суму чисел 5 і 7; б) різницю чисел 8 і -3;
в) добуток чисел 15 і -4; г) відношення чисел 12 і 4.
Знайдіть значення виразу (6—8).
6. а)
2 З
2,5; 6 ) 2 , 7 - — -7;
105 4
7. а) 3 0 , 5 : 0 , 5 - 1976:32,5;
8. а)
3 5 6
6)3,85-5
7
( 2 5^1 ( 7
1.75: о '- 1 - • 16; 6) 5 - 1 1 —:2,5
1 3 8 У V 8 ,
69,25 : 27,7.
0,0625.
0 9. Напишіть суму, різницю, добуток і частку виразу:
а) 2 і с; б) 2х і с - х.

10. Напишіть:
а) суму чисел а і х;
в) півдобуток чисел cid;
ґ) піврізницю чисел а і х;
11. Знайдіть значення виразу:
а) 0,5х - 3, якщо х = 10;
в) х(х + 2), якщо х = 0,5;
а)а + с - 3 , якщо а =2 і с = 7,5;
б) 2х - 3z + 1, якщо х = 1 і z = —;
З
в) 2х у ( х - у ) , якщо х = 2 і у = 5;
г) За (х + і/ - 4), якщо а = —, х = 7 і у = 5.
З
13. Заповніть таблицю.
б) добуток чисел к іп ;
г) півсуму чисел х і у;
д) подвоєний добуток а і х.
б) х + 9,7, якщо х = -10;
г) Зх(5 - х), якщо х = -2,5.
п -2 -1 0 1 2 3 4 5
5 - 2 п
а 3 4 5 6 7 8 9
п 0 1 -1 2 -2 3 -3
2а + Ьп
15. Для яких значень х значення виразів дорівнюють одне
одному:
а) 2х + 5х і 2(х + 5); б) 1 + 3(х - 5) і (1 + Зх) - 5х?
а) а десятків і б одиниць; б) 5 десятків і Ьодиниць;
в) т десятків і п одиниць; г) а сотень і с одиниць.
17. Знайдіть суму і різницю значень виразів:
а) 65 •27 і 35 •27; б) 3,6 • 103і 2,4 • 103.

12 Р о з д і л 1
рз 18. Запишіть у вигляді виразу:
а) подвоєний добуток чисел 74 і 0,5;
б) піврізницю чисел 38 і 7,6;
в) добуток суми чисел 35 і 12 на їх різницю.
Знайдіть значення виразу (19—22).
19. а) 2,37 + 4 , 2 3 - 13,7 0,1;
в) ( 2 , 7 5 - 0 , 6 5 : 2 , 6 ) - 4 - 1;
® 20. а) 3,18 - (0,13 + 4,27 : 1,4);
ґ л л о
6)8,21 •3 ,1 4 -8 ,1 1 •3,14;
г) 5 - ( 0 , 8 + 15,15 : 7,5).
б) 5 , 9 - ( 6 , 3 : 3 , 5 - 5 , 6 ) ;
в)
21. а)
22. а)
б)
1 1 ю 2—і------ь12—
ч5 10 15
ґ 2 ^ 2
З, З
1_
15
•5;
г)
б)
2 __3_
5 10 + 20
7 1
8 2
5:
1 2 + 3
З 4
' 1 _ 1'
З 8
7,344:0,36 + 16—: 5 -0 ,5 0,2
4
•0,08;
0,02 0,5 + 7 ,9 0 4 :0 ,3 8 -2 1 :1 0 -
2
а -2 0 3 5 5 6 10 -10
Ь 1 3 0 7 -2 2 7 -7
2а(а - Ь)
Мо 24. Заповніть таблицю.
X
Зх + 8 23 38 41 68 8 2 1 0
25. Для яких значень х дорівнюють одне одному значення
виразів:
а) 3(х + 1) - 7 і 2х - 9; б) 8 - 2(3 - х) і 5 - 3(3 - 2х);
в) 0,5х + 2(7 - х) і 1 ,5 х -5 (х + 2);
2 7 1
г) - х - 1 + 5 іх - —(2 - 6х)?
3 9 6
а) а одиниць, Ъдесятків і с сотень;
б) а одиниць, с сотень і сі тисяч;

в) а одиниць, п десятих і т сотих;
г) с десятків, а одиниць, п десятих і т сотих.
27*. Складіть формулу числа:
а) кратного 5; б) кратного 5 і парного;
в) кратного 5 і непарного; г) кратного 5 і 3 одночасно.
28*. Визначте периметри многокутників, зображених на
малюнках 3—5.
а
Мал. З
а
Мал. 4
а
Мал. 5
29. Відомо, що х - у = 12. Знайдіть значення виразу:
У - 6 - х . 4(х +у ) - 8 у
9 ’ 15
ЗО. Відомо, що а =-5 , Ъ- с = 4. Знайдіть значення виразу:
а) - ( х - у ) ; б) 4у - 4х; в)
г., г. ~ а с - а Ь . З а ( Ь - с + 1) , 6 с - 6 Ь а + 6
а) За + 2Ь - 2с; б ) ; в) — ---------- ;г ) -------------------- .
10 75 5 4
31. Трицифрове число має а сотень, Ь десятків і с одиниць. За
пишіть у вигляді виразу суму даного числа і числа, запи
саного тими самими цифрами, але в зворотному порядку.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
32. Розв’яжіть рівняння:
а) (2х + 3) + (4х - 8) = 37; б) 5 - Зг - (3 - 4г) =42;
в) 0,7 + х - (-0,7 + 4х) = -37; г) -7,2 - (3,6 - 4,5х) = 2,7х.
33. Переможці інтерактивного конкурсу отримали для своїх
шкіл 120 нетбуків. Скільки нетбуків дісталося кожній
школі, якщо за перше місце вручили удвічі більше нет
буків, ніж за друге?
34. Довжини сторін трикутника пропорційні числам 9, 10 і
11. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр
дорівнює ЗО см.
35. Знайдіть суму всіх дільників числа: а) 8; б) 18; в) 28; г)38.
V________________________________________________________ '

§ 2.ТОТОЖНІ ВИРАЗИ
0^ Д в а в и р ази , відповідні зн ачен н я яких рівні
при будь-яких значеннях змінних, називають
т о т о ж н о р і в н и м и , або т о т о ж н и м и .
Наприклад, тотожно рівними є вирази 5а + 8а і 13а, бо при
кожному значенні змінної а ці вирази мають рівні значення
(за розподільним законом множення). Тотожно рівними є
також вирази 7х - 2х і 5х, с + 2с + Зс і бс.
Два тотожно рівні вирази, сполучені знаком рівності, утво
рюють тотожність.
Наприклад,
І 5а + 8а = 13а, 2 ( х - 3 ) = 2 х - 6 .
І Тотожністю є кожна рівність, що виражає закони дій:
—^ а + Ь = Ь + а, а + (Ь + с) = (а + Ь) + с,
аЬ =Ьа, а(Ьс) =(аЬ)с, а(Ь + с) =аЬ + ас.
Тотожностями також прийнято вважати правильні числові
рівності, наприклад З2 + 42= 52, 1 + 3 + 5 + 7 = 42. Однак ми
говоритимемо тільки про тотожності зі змінними.
Зам іну даного виразу інш им , тотожним йому,
називаю ть т о т о ж н и м п е р е т в о р е н н я м
в и р а з у .
Кожна рівність — це твердження, яке може бути правиль
ним або неправильним. Говорячи «тотожність», розуміють,
що вона правильна. Щоб переконатися в цьому, її доводять,
як у геометрії теореми. Щоб довести правильність (істинність)
числової тотожності, наприклад З2+ 42= 52, досить обчислити
її ліву і праву частини і показати, що вони рівні:
З2+ 42= 9 + 16 = 25 і 52= 25, отже, З2+ 42= 52.
Тотожності, які містять змінні, найчастіше доводять, по
силаючись на закони дій і на вже відомі правила зведення
подібних доданків, розкриття дужок тощо. Щоб довести
тотожність, як правило, перетворюють одну з її частин (ліву
або праву) так, щоб одержати іншу її частину.

Приклад 1. Доведіть тотожність:
9х - 18 + 3(1 - 2х) = З х - 15.
Д о в е д е н н я . Спростимо ліву частину тотожності.
9х -1 8 + 3(1 -2х) = 9 х - 18 + 3 - б х = 9 х - б х - 18 + 3 = 3х - 15.
Ліва частина доводжуваної рівності тотожно дорівнює
правій. Отже, тотожність доведено.
Інколи для доведення тотожності доцільно перетворити
кожну з її частин.
Приклад 2. Доведіть тотожність:
а - 3(3 + а) = 4(1 - а) - (13 - 2а).
Д о в е д е н н я . Спростимо кожну частину тотожності.
а - 3(3 + а) = а - 9 - З а = -2 а - 9,
4(1 - а) - (13 - 2а) = 4 - 4а - 13 + 2а = -2 а - 9.
Права й ліва частини тотожності дорівнюють одному і тому
самому виразу -2 а - 9. Тотожність доведено.
Існують й інші способи доведення тотожностей. З ними ви
ознайомитеся пізніше.
С Хочете знати ще більше?
Кажучи, що якийсь вираз тотожний, обов’язково слід зазначити,
якому саме виразу він тотожний. Ідеться про відношення тотожності
двох виразів (як про відношення перпендикулярності прямих, від
ношення рівності кутів тощо).
Відношення тотожності виразів має такі в л а с т и в о с т і :
1) кожний вираз тотожний самому собі;
2) якщо виразАтотожнийвиразуВ, той вираз В тотожнийвиразуА;
3) якщо вираз Атотожний виразу В, а вираз В тотожний виразу
С, той вираз А тотожний виразу С.
Подібні властивості мають також відношення рівності чисел або
фігур, паралельності прямих тощо.
Якщо в тотожності замість змінної скрізь написати один і той
самий вираз, дістанемо нову тотожність. Наприклад, якщо в то
тожності 4(а - 2) + 8 = 4а змінну а замінити виразом г + 3, то
дістанемо рівність 4(2 + 1) + 8 = 4(2 + 3), яка також є тотожністю.
1. Які два вирази називають тотожно рівними?
2. Що таке тотожність?
3. Що таке «тотожне перетворення виразу»?
! 4. Чи кожна рівність є тотожністю?

1. Доведіть тотожність 2а + б = б - 4(а - 5) + 2(3а - 10).
✓ Д о в е д е н н я , б - 4(а - 5) + 2(3а - 10) = б - 4а + 20 +
+ ба - 20 = 2а + б. Права частина рівності тотожно дорівнює
лівій, тому ця рівність — тотожність.
2. Чи завжди правильна рівність |а2|= а2?
✓ Р о з в ’я з а н н я . Яким би не було значення а, значення
виразу а2додатне або дорівнює нулю. Модуль невід’ємного
числа дорівнює цьому самому числу. Отже, рівність |а2|= а2
правильна для кожного значення а.
^£0 Р о з д і л 1
▼
36. Чи тотожні вирази:
а) 2а + а і За; б) х + 2х - Зх і 0; в) 8с - Зс і 5с;
г) 4а + п і 5ап; ґ ) 7 х у - 2 х і 5 у; д) -Зс + 9 і 9 - Зс?
37. Які з виразів: 2х - у, у - 2х + 3, 4(у - 2х), - у + 2х тотожні
виразу 2х - у ?
а)р 2р і р г; б) х + х2+ х3+ х4і х5; в) а - с і с - а;
г) - а 2і (-а)2; ґ) ах + ах + ах і Зах; д) х - 2а і -2 а + х?
39. Порівняйте відповідні значення виразів х2 і х, якщо
х =- 1 , х = 0 і х = 1. Чи тотожні ці вирази?
40. Запишіть у вигляді тотожності твердження:
а) сума двох взаємно протилежних чисел дорівнює нулю;
б) добуток двох взаємно обернених чисел дорівнює 1;
в) добуток двох чисел дорівнює добутку протилежних
до них чисел.
Спростіть вираз (41—42).
41. а) 2с + Зс - 5; б) Зх - 4х + х; в ) 1 2 я - 1 7 - 2 я ;
г ) 1 9 с - З с + 8; ґ ) 6 3 - 2 3 р + 32р; д)4х + 6 5- 10 х.
Й ї 42. а) -4ас + За - 7а; б) 9 - 23х + 40х; в ) - 4 - 1 2 + 8ас.
Доведіть тотожність (43—45).
43. а) 5х + Зх + х = 9х; б) 5х - Зх - х = х; в) т + 2т + 3т =бт.
44. а) 2х + Зх = х + 4х; б) -а + 7а = 7а - а; в) 5 - 2а - 3 = 2 - 2а.

Рг
Нг
45. а) 7х - 5х + х = Зх; б) 5х - 9х = 2х - бх; в) а =2а + 4а - 5а.
46. Запишіть у вигляді тотожності твердження: а) квадрати
протилежних чисел — рівні; б) куби протилежних чисел —
протилежні числа; в) квадрат будь-якого числа дорівнює
квадрату модуля цього числа; г) модуль куба будь-якого
числа дорівнює кубу модуля цього числа.
47. Складіть усі можливі тотожності з виразів:
- р р ; -р-(-р); р 2; -р 2; -(-р )2; (-1)2 р
48. а) 19х - 4(х + 5); б) 7(2 - Зх) + 21; в)2,5 + 5(а- 1,5);
г) 0,1х + 3(1 - х); ґ) -3(2у + 1) + 4; д) -2 - (7а - 5).
49. а) 35 + 7(х - 1); б) 2(с - 3) - 5(2 - 4с); в )-(9 - 2х) + 4х;
г) -4 + 4(5 - х); ґ) -2(х + 5) + 3(х - 7); д) -1 3 -3 (5 -6 х ).
50. а) 12(х +2) - (2х - 4); б) 1,5(5 - 2х) + 5(1,1 + х);
в) -3(а - 2) + 7(2а - 1); г) 0,2(х + 2) - 3(2х - 0,4).
51. а) Зс -3(с -1) = 3; б) 2ху + 2(3 - ху) = 6;
в) 15х = 9 - 3(3 - 5х); г) 1 - 2х = 5 - 2(х + 2).
52. а) 8х = б + 2(4х - 3); б) 5(2х + у) = 10(х + у) - 5у;
в) 7 = 12х - (-7 + 12х); г) Зс - 3(1 + с - х) = Зх - 3.
53. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
а) 12(а - 3) + 3(а + 12), якщо а = 0,2;
б) х2(2 - х) - 2(х2- 3), якщо х = -0,3.
54. У тотожності 2х - Зх = 5х замініть змінну х виразом
а - Ь. Чи є утворена рівність тотожністю?
ЦІЛІ ВИРАЗИ у ]
55. а) 2х + 4 + 2(х + 4) + 4(х - 8); б) -(5а - с + 2) + За - с + 2;
в) 0,5(а + Ь+ с) - 0,5(а - Ь+ с) - 0,5(а + Ь - с).
56. а) 5(12а - 23х) - 8(6х - 13а); б) -6(ас - 4) + 3(7 - 2ас).
57. а) 2(х2- 3) - 4(17 - 4х2); б) 4(х2- 3) - х(4х - 5);
в) с(3 - 2с) + 3(с - 2с2); г) 2у - 3 - 2(а + у - 1).

58. а) 2(х - 3) - 5(х - 4) = 14 - Зх; б) 3(2а - 1) - 2(3а - 1) = -1;
в) 5(0,5+ 2х) - 5(1,1 - х) = 15х - 3; г) 9(х - 1) - 3(2х - 3) = Зх.
59. а) 9х - 4(х + 5) - 1 = 7(х - 3) - 2х;
б) -2(2а + 5) = 5(2а - 9) - 7(2а - 5).
60. а) 3(а + с + х) - 2(а + с - х) - (а - с + х) = 2(с+ 2х);
б) 2х + 2 = 2(х2+ х + 1) - (х2- х + 1) - (х2 +х - 1);
в) п - (1 - (п - (1 - я))) = Зп - 2.
а) 1 - (1 - (1 - с)) і 1 - с; б) 0,5(х + у) - 0,5(х - у ) - у і 0;
в) а - Ь + 1 - 2(Ь + 1) і 2(а - 6 - 1 ) - ( а + 6 - 1)?
X -2 -1 0 1 2
х5- 5х3+ 5х
Чи тотожні вирази х5- 5х3+ 5х і х?
63. Складіть усі можливі тотожності з виразів:
а)ас(-х), ах(-с), сх(-а);
б) асх, а(-с)(-х), (-а)(-с)х, (-а)(-х)с.
а -2 -1 0 1 2 3 4 5
2(х2- 4) + б
2х2- 2
Чи тотожні вирази 2(х2- 4) + б і 2х2- 2?
а 0 1 2 3 4 5 100 100000
а + 1
а + 1
Чи правильна тотожність |а| + 1 = |а + 1|?

66. Чи є тотожністю рівність:
а) |х + 3| = х + 3; б) х2+ 5| = х 2+ 5; в) |а - Ь •Ь- а| = (а - Ь)2;
т)х-у =х - у ; ґ)|а + б| = |а| + |б|; д) |х| - у = у - |х|?
67. Замініть у тотожності х2 - 2 = 2(х2 - 1) - х2 змінну х
виразом: а) с + 3; б ) а с - 1 ; в)х + 5.
68. У тотожності 5х + Зх = 8х замініть змінну х виразом
а2- ас + с2. Чи є тотожністю одержана рівність?
69. Довжина прямокутника дорівнює а см, а ш ирина —
на ссм менша. Запишіть у вигляді виразу периметр пря
мокутника.
70. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а см, а бічна
сторона — на 2 см довша. Чому дорівнює периметр три
кутника?
71. Із 150 випускників економічного коледжу 10 % було на
правлено на роботу в банки, 20 % — у заклади торгівлі,
а ЗО % продовжили навчання в університеті. Скільки
випускників ще не працевлаштовано?
72. Укажіть координати точок, відмічених на малюнку 6.
Знайдіть координати середини кожної зі сторін трикут
ника АВС.
а) 31(2 - х) = 93; б) 15(1 - 2х) = 45; в)8,5(3-4х) = 17;
г) 4,7(3 - 5х) = 94; ґ) 44 = 4(2 + Зх); д) 26 = 2(10 - Зх).
V________________________________________________________ '

г
§ 3 . ВИРАЗИ 31 СТЕПЕНЯМИ
V________________
В алгебрі часто доводиться мати справу з виразами, що
містять степені чисел чи змінних.
Ок С т е п е н е м називають добуток кількох рівних
І множників.
Наприклад,
3 -3 — другий степінь (або квадрат) числа 3;
ххх — третій степінь (або куб) змінної х;
сссссс — шостий степінь змінної с.
Ці степені позначають: 3 •3 = З2, ххх = х3, сссссс =с6.
Піднести число 2 до десятого степеня — це означає пере
множити десять двійок:
210= 2 ■2 ■2 ■2 ■2 ■2 ■2 ■2 ■2 ■2.
Отже, 210= 1024. Тут 2 — основа степеня, 10 — показник
степеня, а 1024, або 210, — десятий степінь числа 2.
0^ Число, яке підносять до степеня, називають
о с н о в о ю с т е п е н я .
Число, яке показує, до якого степеня підносять
основу, називають п о к а з н и к о м с т е п е н я .
• а — степінь;
• а — основа степеня;
• п — показник степеня.
Степені а2і а3називають квадратом і кубом тому, що для
знаходження площі квадрата довжину його сторони підносять
до другого степеня, а для знаходження об’єму куба довжину
його ребра підносять до третього степеня.
Першим степенем будь-якого числа домовилися вважати
саме це число: а1 — те саме, що й а. Показник степеня 1 не
прийнято писати.

а1= а,
ап =а-а-а-...а,
__________ п разів
де п — натуральне число, пФ 1.
Основою степеня може бути і дробове число, і від’ємне.
Наприклад,
4
2 2 2 2 16
З З 3 3 _ 81’
(-0,2)3= (-0,2) •(-0,2) •(-0,2) = -0,008.
Щоб піднести до степеня від’ємне число, треба під
нести до такого самого степеня модуль цього числа
і перед результатом поставити знак «плюс», якщо
показник степеня парний, або «мінус», — якщ о
показник степеня непарний.
Г Якщо а > 0, то ап> 0.
і Якщо а < 0, то а2п > 0 і а2"-1 < 0.
Не плутайте слова «степінь» і «ступінь». Додавання і
віднімання вважаються діями першого ступеня, множення
і ділення — другого ступеня, піднесення до степеня — дія
третього ступеня. Обчислюючи значення виразу, спочатку
виконують дії вищого ступеня, потім — нижчого. Дії одного
й того самого ступеня виконують у тому порядку, в якому
вони записані. Але коли вираз містить ділення на добуток,
то спочатку знаходять значення добутку. Наприклад якщо
х =7, у =5, то 70 : ху = 70 : 35 = 2. Якщо вираз містить дужки,
спочатку знаходять значення виразу в дужках.
Приклад. Знайдіть значення виразу
5а2+ 27 : (а - І)3, якщо а = -2.
Р о з в ’ я з а н н я . Підставимо замість а його значення -2
та виконаємо дії відповідно до їх ступеня.
П е р ш и й с п о с і б . 5 •(-2)2+ 27 : (-З)3= 5 •4 + 27 : (-27) =
= 2 0 - 1 = 19.
Д р у г и й с п о с і б . (-2)2 = 4, (—З)3 = -27, 5 • 4 = 20,
27 : (-27) = -1 . Отже, 5 •(-2)2+ 27 •(-З)3= 20 - 1 = 19.
За допомогою калькулятора можна підносити число до
степеня, помноживши це число на себе кілька разів. Напри
клад, п’ятий степінь числа 3,7 можна обчислити за такою
програмою:

або коротше:
( м ) © © © © ©
Калькулятори, які мають клавіші ® і (]/') , дають змогу
спростити обчислення — 20-й степінь числа 1,2 можна об
числювати за такою програмою: 1,2 ® © 20 © .
У математиці, фізиці, астрономії, біології та інших науках
часто використовуються степені числа 10 для запису чисел у
стандартному вигляді.
Будь-яке число А, більше за 10, можна записати у вигляді
А = а - 1 0 " , д е 1 < а < 1 0 і я — натуральне число. Такий запис
числа А називається стандартним, а показник п називають
порядком числа А.
Наприклад, в астрономії за одиницю довжини приймається
1 парсек (скорочено — пк).
1 пк ~ 308 0 00 0 00 0 00 0 0 км = 3,08 • 1013км.
Хочете знати ще більше? ]
Ви вже знаєте, як записувати в стандартному вигляді великі
числа. Щоб записати в стандартному вигляді малі додатні числа,
наприклад, швидкість руху равлика (0,000003 м/с), використовують
степені числа 10 із цілими від’ємними показниками. Покажемо, як
слід розуміти степені числа 10 із цілим показником:
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
103 102 10і 10° 10 1 10 2 10 3 10 4.
А взагалі вважають, що 10 ", де я — число натуральне, позначає
десятковий дріб 0,0000...01 з п десятковими знаками.
Наприклад, 10 5= 0,00001, 10 10= 0,0000000001.
Використовуючи степені числа 10 із цілим показником, у
стандартному вигляді можна записати будь-яке число:
А = а ■10", де 1 < а < 10 і п — ціле число.
Швидкість руху равлика в стандартному вигляді записують так:
0,000003 м/с = 3 10 6м/с.
Якщо числоА велике, його порядок — додатне число, а якщо до
датне число А дуже мале, то його порядок — від’ємне число.
С

Го
і 1. Що таке степінь числа?
2. Що таке квадрат числа, куб числа?
] 3. Що таке основа степеня, показник степеня?
і 4. Як інакше називають другий і третій степені?
2 5. Чи одне й те саме означають слова степінь і ступінь?
! 6. Що таке стандартний вигляд числа? А порядок числа?
Виконаємо разом! j
1. Запишіть число 6,7 • 108без показника степеня.
✓ Р о з в ’я з а н н я . 6,7 • 108= 6,7 • 100000000 = 670000 000.
2. Запишіть число 2 000 000 000 в стандартному вигляді.
✓ Р о з в ’я з а н н я . 2000000000 = 2-1000000000 = 2-Ю9.
3. Знайдіть значення виразу: Зх2- 2х3, якщо х = -0,2.
✓ Р о з в ’я з а н н я . Якщо х = -0,2, то 3 •(-0,2)2- 2 •(-0,2)3=
= 3 •0,04 - 2 •(-0,008) = 0,12 + 0,016 = 0,136.
4. Доведіть, що:
а) 11111+ I I 111ділиться на 2;
б) 1010+ 1020+ ІО30ділиться на 3.
✓ Д о в е д е н н я , а) Останні цифри чисел 11111 і I I 111 —
одиниці, а тому остання цифра суми цих чисел — двійка.
Отже, число 11111 + I I 111ділиться на 2.
б) Кожний із доданків — це число, яке можна записати у
вигляді одиниці з наступними нулями. Сума цифр трьох та
ких чисел дорівнює трьом, тому саме число ділиться на три.
5. Скільки коренів має рівняння х5= 0; х5= 1; х4= 1?
✓ Р о з в ’я з а н н я . Рівняння х5= 0 має тільки один корінь:
х = 0, оскільки О5= 0 •0 •0 •0 •0 = 0, і не існує такого числа х,
відмінного від 0, щоб виконувалась рівність ххххх = 0.
Так само можна переконатися, що рівняння х5 = 1 має
тільки один корінь х = 1, а рівняння х4=1 має два корені:
х = 1 і х = -1.
6. Запишіть у стандартному вигляді число:
а) 0,00000005; б) 0,00123.
✓ Р о з в ’я з а н н я . а) 0,00000005 = 5 • 10 8;
6)0,00123 = 1,23 - 10 3.
^ Перевірте себе

24 Р о з д і л 1
74. Знайдіть квадрати чисел:
9; 10; 11; 20; ЗО; 40; 500; 0,2; 0,03.
75. Знайдіть куби чисел:
1; 2; 3; 10; 100; 0,1; 0,01; - і | ; | ; .
76. Знайдіть четвертий степінь чисел:
77. Прочитайте вираз:
а) а2+ Ь2; б) (а + Ь)2; в) (х + у)3; г) а2- Ь2; ґ) (а - Ь)2.
а )х 7= 0; б)х8= 0; в)15х6= 0; г)х8= 1; ґ ) х 3= 1.
Обчисліть (79—82).
79. а) 52, 25, 103, 1003, 252; б) (0,2)3, (0,3)2, (0,04)3;
в) 1,22, 2,32, З ,І3, 1,0072; г) (-2)4, (-13)2, (-2)5;
ґ) (-3)4, -(З 4), -З 4, (-0 ,5)2, -0 ,5 2, (-1)150, (-1)105.
80. а) І 2+ 22+ З2+ 42+ 52+ б2; б) З2- 42+ 52- б2+ 72;
в) (-2)2+ (-2)3+ (-2)4+ (-2)5+ (-2)6.
84.
а) (0,3)3• 104;
г) (-0,1)5 : ( 0,01)2;
( ї ї
3
з Л
-2-
4
; в) 5 •
. 5 ,
б) 11, 2 : 102;
ґ) -0 ,2 4 •(-1)15;
2
в) 2400 (0,1)4;
д)(-1 )12:(0,5)3.
; г) -З 2•2; ґ) (5,6 - 4,5)3:
Стародавня єгипетська задача.
У семи людей по сім кішок, кожна
кіш ка з’їдає по сім мишей, кожна
миша з’їдає по сім колосків, із
кожного колоска може вирости по
сім мірок ячменю. Які числа цього
ряду та їх сума?
Чи правильна рівність:
а) З2+ 42= 52; б) 152+ 162= 172; в)352
г) З3+ З2= б2; ґ) 4 б2= 102; д) 972- 962= 97
0,1.
362= 372;
96?

85. Доведіть, що:
9 = 45 .
86
а) 102+ I I 2+ 122= ІЗ 2+ 142; б) І 3+ 23+
Обчисліть площу квадрата, сторона якого дорівнює:
а) 3 см; б) 10 м; в) 8,5 км.
87. Подайте число у вигляді степеня з показником, більшим
за 1, і найменшою за модулем основою:
а) 125; б )-32; в) 2401;
27 ’
ґ) 0,729; д) 0,4096; е)
г) 243;
є) 2—
625
а) (~7)2- (-1)9 •З4; б) (0,02
в) 63 -
2
4- •6 г)(-1)
0,28)'
/ 6
• 105;
(-3)5;
0,42) - 0,52.ґ ) (5,6 - 4,5) : 0,1; д)(0,3"
а) За4- 2а2, якщо а =-3; б) 5с3- 2с2+ с, якщо с =0,5;
в) я3+ (п - З)2, якщо п =-2;г) (2т - І)2: т4, якщо т =-0,1.
Розв’яжіть рівняння (90—91).
90. а) 5х4= 5; б)4х2= х2; в) 16(х + 5)2= 0; г ) - 2 х 3= 2.
91. а )х 3+ 1=0; б)х6- 1 = 0; в)2х7= 2; г) х 3- 6 = 2.
92. Запишіть у стандартному вигляді значення величин:
швидкість світла — 300 000 км/с;
маса Землі
маса Місяця
об’єм Землі
— б 000 000 000 000 000 000 000 т;
— 73 500 000 000 000 000 000 т;
— 1 083 000 000 000 км3.
93. Запишіть у стандартному вигляді числа:
а) 20 000; б) 7 530 000; в) 10 500 000; г) 909 900 000;
ґ) 33 000; д) 105; е) 1 000 000 000; є) 12345,67.

94. Запишіть у звичайному вигляді числа:
а) 5,2 • 104; б) 1,31 • 103; в ) 7 , 1 1 0 5; г) 4,44 • 102;
ґ) 2,05 • 104; д) 3,125 Ю 6; е) 9 • 109; є) 6,75 Ю 5.
98.
ш 95. Чи правильна рівність:
а) 22+ 22+ б2+ 102= 122; б) 22+ 42
в) 22+ б2+ 82+ 252= 272; г) 13+ 23+ <
& 96. Обчисліть значення виразу:
а) 3,24 • 102; б) (34+ 19)5;
2
.3
97. Спростіть вираз:
а) (35 - 25)4; б) 4000 •0,23
б2+ 132= 152;
+ 43= (1 + 2 + 3 + 4)2?
г) (-0,3)4 • 10 , ґ)
/ о 3 / з 2
4 /
г) (-1,1) : 0,11; ґ) (2 - 5 - 4 ) 15.
в) (0,875 + 0 ,53)10;
д) (44- З5- ІЗ)12.
в) (0,33- 0,017)6;
д) ( I і ]
5
' 2 "
V 2 У V 3 У
Знайдіть значення виразу:
а) (4х2- у2)2 : (2х - у)2, якщо х = 0,6, у =-0,2;
б) 2х5+ (х + 2у)3+ у2, якщо х = -2 , у = 3;
в) ((1 + Ь)2- (а - І)2)3- ( а + Ь)2, якщо а = 1,1, Ь=0,1;
г) (2т - гі)2- (4 т 2+ п2- Атп), якщо т = 1, 3, п = 2,5.
99. Заповніть таблиці.
а)
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2х2
б)
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(2х)2
100. Складіть таблицю значень виразу х4- Зх3+ 2х2для х, що
дорівнює: -3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3, 4.
101. Обчисліть, користуючись калькулятором:
а) 3,45; б) 5,754+ 57; в) 47,2 •2,843; г)3,7 + 2,74.

ці лі в и р а з и 27
102. Обчисліть і порівняйте:
а) суму квадратів чисел 3 і 5 та квадрат їх суми;
б) різницю квадратів чисел 10 і б та квадрат їх різниці.
103. Обчисліть і порівняйте:
а) суму кубів чисел 3 і 2 та куб їх суми;
б) різницю кубів чисел 5 і 2 та куб їх різниці.
104. На скільки: а) квадрат півсуми чисел 2, 3, 4 і 5 більший
за півсуму їх квадратів; б) куб півсуми чисел 2, 3, 4 і 5
більший за півсуму їх кубів?
105. На картині художника М. П. Богданова-Бєльського «Усна
лічба» зображено урок математики в школі XIXст. Учитель
запропонував школярам усно скоротити дріб
102 + I I 2 + 122 + ІЗ 2 + 142
365
Спробуйте виконати це завдання і ви.

f 7 + 3l
f 7^1
2
(зЛ— + —
1 2 J U J І2)
106. Значення якого з трьох даних виразів найбільш е,
а якого — найменше:
72 + З2
а) — ^—
б)
в)
107. Доведіть, що рівняння не має розв’язків:
а) х4+ 3 = 0; б) Зх2+ 8 = 0;
Розв’яжіть рівняння (108—109).
72 - 52
f7“ 5]
2
f71
2
Г5
2 ’ 1 2 J>
UJ U J
53+ З3
f5+3l
3 3
(3)----------------- — + —
2 1 2 J U J U J
в) (у - 3) + 1 = 0.
б) (х2+ 1)2= 0;
ґ) (8 - Зг)3= -1;
б) 3(z4- 1) = 0;
г) 0,2(1 + z 3) =0,4; ґ) (х + 2)3= -1;
108. а) (х - 5) = 1;
г) (2х - З)5= 1;
109. а) 2(у2- 1) = 0;
в) (х2+ І)3= 8;
д) (х4+ 3)2=1.
в) 0,5(х3 -
Д) (5 - у)7
110. Запишіть у стандартному вигляді числа:
а) 287 287 000; 17 530 000; 220 500; 90,99;
б)0,0003; 0,235; 0,05; 0,0000000041;
1 # 3 73 999
' 20 '
2) = 1
2 = 1.
в)
2 20 200 5000 500 000 1000000 000
111. Запишіть у звичайному вигляді числа:
а) 1,2 • 103; 3,47 Ю 5;
б) 2 - Ю 4; 1,1 10 3;
112*. Доведіть, що:
7,3 - 104;
9 • 10 5;
14,23- 105;
6,75- 10Л
а) 1012+ 2 ділиться на 3; 6) 1 +10іи + 10іииділиться на 3;
в) 1015+ 8 ділиться на 9; г) ІО10-1 ділиться на 9.
113*. Доведіть, що для будь-якого натурального п значення
дробу є натуральним числом:
10 ЛІ00
а)
6"-1
б)
10"+ 5
в)
10" -1 З4"+ 4
г)
5 3 9 5
114*. Замініть букви цифрами так, щоб була правильною
рівність:
а) куб = еє; б) степінь = ееє.

V *
а)2а + а + а і 4 а ; б) х + х + х і х3; в) 2Ь - 2а і-2 (а - Ь);
г) 5 + 5 + 5х і 15х; ґ) Зу + 2у + у - б і у; д) а3- а і а2?
116. За якої умови правильна пропорція:
а ) 3 : х = х:2 7 ; б) у : 4 = 16 : у2?
117. Якщо відкрити меншу лиш трубу —
басейн наповниться водою за добу;
коли ж відкрити разом дві труби,
він вщерть наповниться за чверть доби.
Як довго наповнявся б він водою
одною тільки більшою трубою?
118. Бічна сторона рівнобедреного трикутника на 3 см
довша за основу. Знайдіть їх довжини, якщо периметр
трикутника: а) 54 см; б) б см; в) а см.
§4. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНІВ
Далі розглянемо найважливіші тотожні перетворення ви
разів зі степенями. Почнемо з основної властивості степеня.
Яке б не було число а і натуральні показники степенів
т і ті, завжди
І І
Д о в е д е н н я
ат ап=а т+п.
ат■ап=аа... а а а ... а= аа...а =ат+п.
т разів п разів (т+п) разів
Тотожність ат■ап=ат+пназивають основною властивістю
степеня. З неї випливає, що при множенні степенів одного
й того самого числа показники степенів додають, а основу
лишають ту саму.

ЗО Розділі
Наприклад,
З2■З5= З7; 1,34 - 1,Зб= 1,3е; х3х5= х8.
Яке б не було число а (а -ф-0) і натуральні показники
степеня т і п (т > п), завжди
ат: ап =ат~п.
Д о в е д е н н я . За правилом множення степенів
~т -п „п „ т-п+п „т . „л „т~п
а а —а —а , тому а : а =а
Щоб поділити степені з однаковими основами (за умови,
що показник степеня діленого більший від показника степеня
дільника), потрібно основу залишити без змін, а від показника
степеня діленого відняти показник степеня дільника.
Наприклад,
• J
75: 73= 72; (-1 3 )11: (-1 3 )7= (-1 3 )4.
Яке б не було число а і натуральні показники степеня
т і п , завжди
(ап)т=апт.
Д о в е д е н н я .
(а'!) = а” -а” -...-а” = а"+'!+- +" = апт.
т разів
Щоб піднести степінь до степеня, потрібно показники
степенів перемножити, а основу залишити ту саму.
Наприклад,
(23)4= 212; (0,72)5= 0 ,7 10; (с7)3= с21.
Для будь-яких чисел а і Ь та натурального по
казника степеня п
(аЬ)'1= а'1■Ь'
Д о в е д е н н я .
( аЬ)п= аЬ аЬ ■... • аЬ = аа...а ЬЬ...Ь = ап ■Ьп.
' " разів " разів
Отже,
п.-й степінь добутку дорівнює добутку п.-х степенів
множників.

Наприклад,
(2 •3) = 2 •3 ; (Зто) = З т о .
Можна довести (спробуйте зробити це самостійно), що для
будь-яких чисел а і Ь(Ь-ф-0) і натурального показника степеня
п правильна рівність:
и/
Отже, за вказаних умов:
а
V і
І а а = а а : а =а ( а Т = а"
(аЬ)'1=
а"
6"
Хочете знати ще більше?^)
Розглянуті властивості степенів з натуральними показниками можна
поширити і на степені з цілими від’ємними показниками. Наприклад,
10 5 10 3 = 10 5+ ( 3)= 10 8;
(10 2) 3= 106.
Використовуючи властивості степенів з цілими показниками,
можна спростити виконання дій з будь-якими числами, записаними
у стандартному вигляді. Знайдемо, для прикладу, добуток і частку
чисел а і Ь, якщо а = 3,5 •107, Ь=4 10 3.
а ■Ь= 3,5 107 4 10 3= 3,5 4 107 10 3= 14 104= 1,4 105;
а : Ь=(3,5 107) : (4 10 3) = (3,5 : 4) (107: 10 3) =
=0,875 107 ( 3)= 0,875 Ю10= 8,75 109.
І
1. Сформулюйте основну властивість степенів.
2. Сформулюйте правило піднесення до степеня добутку.
3. Як підносити до степеня степінь?
4. Як підносити до степеня дріб?
1. Обчисліть: а) 0,510 •4°; б) 0,2й• 5й; в) 9°
ґ 8
Vй/
✓ Р о з в ’я з а н н я. а) 0,510•45= (0,52)5•45=(0,25 •4)5= 15= 1;
б) 0,28 •56= 0,22•0,26• 56= 0,04 •(0,2 •5)6= 0,04 • І 6= 0,04;

32 Р о з д і л 1
в) 95
ґ 1'
8
= 95•
'1 '
п
со
со
ґ 1'
со
v9y ,9 ,
= 9 1 = 9 .
в) 81 •З5-27.
5+3+1 _ 9.
—и ,
В і д п о в і д ь , а) 1; 6)0,04; в) 9.
2. Розв’яжіть рівняння 2х2■х = 2.
✓ Р о з в ’я з а н н я . Поділимо обидві частини рівняння
на 2 і подамо ліву частину у вигляді степеня з основою х:
2х2•х = 2, х2•х = 1, х3= 1, звідси х = 1.
В і д п о в і д ь . х = 1.
3. Запишіть у вигляді степеня вираз:
а) а5■а3■а ; б) (х - 2у)(х - 2у)2;
✓ Р о з в ’я з а н н я. а) а5■а3■а =а
б) (х - 2у)(х ~ 2у)2= (х - 2у)1+2= (х - 2у)3;
в) 81 •З5•27 = З4 •З5•З3= 34+5+3= З12.
В і д п о в і д ь , а) а9; б) (х - 2у)3; в) З12.
4. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел
а = 1,2 • 105 і с = 2 - Ю 4.
✓ Р о з в ’я з а н н я , а + с = 1,2 • 105+ 2 • 104=
= 12 • 104+ 2 • 104= 14 • 104= 1,4 • 105;
а - с = 1,2 • 105- 2 • 104= 12 • 104- 2 • 104= 10 • 104= 105;
а •с = 1,2 • 105•2 • 104= 1,2 •2 • 105• 104= 2,4 • 109;
а : с =(1,2 • 105): (2 • 104)= (1,2 : 2) •(105 : 104)= 0,6 • 10 = 6.
В і д п о в і д ь . 1,4 • 105; 105; 2,4 • 109; 6.
119. а) З5-З7; б) 124 : 123; в)
^ 1 Л
4 3
v 2 y v 2 y
? г) (~4)2•(-4)3.
120. а) х5•х8; б) т 3 тп7; в ) / 4 :/; г)с3 с4 с5; ґ ) г 2-г5-г.
121. Подайте вираз у вигляді степеня:
а) 625; б) (х3)5; в )х 2 у2; г) 8 •З3; ґ) 64 •49; д) х4 •у6.
а )г32 = 0; б)4х5х6= 0; в )у 5у2=1; г)хх3= 1.

Подайте добуток у вигляді степеня (123—124).
123. а) З13•З6; б) 18 • 1814; в) (-11)5•(-11)4;
2 7 10
' 2"
9
" 2"
іб
; ґ ) і 1 ; д)
V V V 5 У V 5 У
е) 0,55•0,55; є) (-1,2) (-1,2).
124. а) а5•а3; б) х4•х4; в) т •т 8; г) х •х2•х3; ґ) у7■у ■у7■у;
д) г ■г2•23•25; е) (а + Ь)2•(а + Ь)5; є) (х - у) •(х - у).
а)45-47; б) а7 а4; в) х2•х4•х5; г)0,25 0,23; ґ)с 10:с8;
д) с8 •с3•с; е) ІЗ8 : ІЗ 7; є) п5■я 12; ж) а5•а7■а4.
Виконайте піднесення до степеня (126—127).
126. а) (а2)3; б) (х3)2; в)(у7)2; г) (-х 5)6; ґ) ((-а)31 ;
д) ((-&)3) ; е ) ^ х 5)4^ ; є ) ( - х 3)3; ж) (-а 4)9; з) |(-х )41 .
127. а) ( т 8) ; б) (х10) ; в) (а5) ; г) (г”1) .
128. Знайдіть:
а) другий, третій і четвертий степені числа 24;
б) другий, третій і п’ятий степені числа (-2)3.
129. Додатне чи від’ємне значення виразу:
а) (-5)21: (-5)13; б) (-8)8•(-8)10; в) (-3)5-(-3)7-(-3)4?
Порівняйте значення виразів (130—131).
130. а) (-2)3•(-2)10і (-2)8; б) (-3)7: (-3)5і (-3)75;
в) (-1)5•(-10)35і (-100)91; г) (-2,5)32: (-7)31і (-2,5): (-7).
131. а) (-б)21•(-6) і (-б)30; б) (-4)12: (-4)7 і (-4)16;
в) (-2)9•(-2)15 і (-2)25; г) (-5)6•(-5)5 і (-5)13.
132. Обчисліть значення виразу:
а) 213 0,513; б)0,518-218; в)257 0,047; г) 533 0,233.
а) 27- 57; б) 0,2510•410; в) (-8)11 •0,125й ;

34 Р о з д і л 1
г)0,28 0,58; ґ ) б 6- д)
/ оЛ16 / с 163) 5
8
Ш 134. Чи має розв’язки рівняння:
а)х2х4= -1; б)х3х6= -1; в )х 7 0 = 0; г)0 х8= 1?
а)х8 х7=1; б) у4■у5=-1; в)х 2 х2=1; г) ■г2■г8= -1.
136. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел:
а) 2,4- 105і З - 105; б) 1,5 107і 5 107;
в) 6,4 • 104і 3,2 • 104.
137. Виконайте дії:
а) 2,5- 105+3,3- 105; б) 7,7• 107- 5• 107;
в) (6,4 • 104) : (3,2 • 104); г) (6,4 • 103) •(2 • 103).
Обчисліть (138—140).
138. а) 0,512•213;
г) 527 •0,230;
139. а)
/ с Л 12 ґ у 14
6 )0 ,121- Ю20; в) 0,241•(-0,5)40;
ґ) (-0,25)15•416; д) 431•0,2530.
/ о 10 /дЛ11/ 16
7
; в)б) 715-
V ' / и У V і / V й / ^ У
г) (-0 ,4 )8- З4 •(-2 ,5 )8; ґ) 0 ,2 7•0,32 •57; д) 2510 • 28- 0,04і
140. а) 520-0,2ій; б) 0,04і"•25і1; в) (-2,5)ІУ•(0,4)ІУ;1І8 12 осИ. 17 19.
г) 1026 0,1"й; ґ)28.
ґ 35
8
(-8)37; д)(-1,25)^- (-0,8)2а.22 23
Подайте у вигляді степеня добуток (141—143).
7 / о 3 / о 4 / с ч2
■у
, 3 / о 5
141. а) а5- (а2) ; б) (х2) -(х3) ; в)у-(у5)
г)(&3-65)2; ґ)(х-х8)3 •х3; д) (-а2)3-(а3)°;
е) (-у)6-(-у4)5; є) ((-х)3) -(-х)4; ж) (-а 4)3-((-а)3) .
142. а) а6х6; б)(-Ь)‘у ‘; в) а6Ь6с6; г) (-1)ут у; ґ) 32х°;7,,7 3 ь 3 „ 3 . 9 9.
д) 0,00816 , е)
/ 1лЮ
а10610; є)^ у х3у3; ж) 10000

143. а) 56- 125; б) 36 б8; в )2 10 64; г) 0,001 • О Д5;
ґ )( -0 ,3 )15- (-0 ,0 2 7 ); д) 0,4 0 ,1 6 ; е) 0,25 • 0,125;
ЦІЛІ ВИРАЗИ 3 5
, 2 7 9 . 16
є ) ; ж)
8
12564 16 625
1 4 4 . Розв’яжіть рівняння:
а) Зх2•х5+ 3 = 0; б) -2 у4 у7= 2;
в ) 0 , 5 х 3 х 8 + 1 = 1 ,5 ; г ) |у 4 -у7+ 2=
й 1 4 5 . Замініть зірочку степенем так, щоб утворилась тотож
ність:
а) х6•* = х15; б) а10• * •а =а17; в) (*)5= х20; г) (*)7= - а 21.
1 4 6 . Знайдіть таке значення змінної, при якому рівність буде
правильною:
а) 53• 54= 55+г; б) 3х •З5= (з2)*; в) ^4 3)Х^ =4х -422;
г) (6х)4 = ( б 3 )* ; ґ ) (7 6 )8 = 712х; д ) ( 2 5 )* • 2 2 = ( 2 3 )* • ( Г )4 .
1 4 7 . Розв’яжіть рівняння:
а) (2х)5= -32; б)(3х)4= 81; в)12х5х3= 0;
г) (х9 •х4)3= -1; ґ) (х7•х11)5= 1; д) (4(х + 2)2)8= 0.
1 4 8 . Користуючись тотожністю
(аЬ)п=ап Ьп,
доведіть тотожність:
а) (хуг)п= х" •уп ■гп; б) (хугі)" = х п ■уп ■гп■Ґ
1 4 9 . Доведіть тотожність:
а) ат•ап •ак=ат+п+к; б) ((а'!)т)/е= аптк.
150. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел:
а) 3 • 10 7і 2 • 10 7; б)4,5 •Ю10і 3 • 109;
в) -б • 1013і 1,2 • 1012; г)2,8 •1019і 7 • Ю20.
® 151. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел:
а) 1,4 • 10 6і 7 • 10 6; б) 3,5 • 10 4і 5 • 10 4.
1 5 2 . Виконайте дії:
а) 2,5 • 104+ 3,3 • 105; б)7,7 •107- 5 • 105;
в) 6,4 • 105 : (3,2 • 104); г)5,5 •Ю7+ 8,3 • 106;
ґ) 7,7 • 104-7,1 • 106; д)6,4 •10 3•2 • 103.

153. Користуючись малюнком 7, виразіть
квадрат довільного натурального
числа п через суму п перших непар
них чисел.
36__________________________________ Р о з д і л 1
0 1 2 3 4 5 6 л:
М а л . 7
С ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
>
154. Чи є тотожністю рівність:
а) Зх + 5 = 3(х + 5); б) 3(х - 4) = Зх - 12;
в) (2а - Ь)2=(Ь- 2а)2; г) (2х - 3y f =(3у - 2х)3;
ґ) (а + Ь) ■0 = а + Ь; д) у(х - х) = 0?
155. Добова потреба підлітка — 52—75 ккал на 1 кг маси
тіла. Внаслідок інтенсивного росту та при збільшенні
навантажень ця кількість кілокалорій може збільшува
тись на 1/б частину. Виконайте відповідні підрахунки і
встановіть кількість калорій,яка необхіднавам щоденно.
Складіть тижневе меню,враховуючи,що їжа підлітка по
винна містити білки, жири й вуглеводи у співвідношенні
1:1:4, а при фізичних навантаженнях — 1:1:6
Г
§5• ОДНОЧЛЕНИ
V______________________
Найпростіші вирази — числа, змінні, їх степені й добут
ки — називають одночленами. Наприклад,
6 , ------, 2, х5, 0,3а2х, За • 5с.
12
Якщо одночлен містить тільки один числовий множник,
до того ж поставлений на перше місце, і якщо кожна змінна
входить тільки до одного множника, такий одночлен на
зивається одночленом стандартного вигляду. Такими є,
наприклад, усі наведені вище одночлени, крім останнього.
Одночлени За • 5с, 2х3х2, аЬ • 8 записано в нестандартному

вигляді: перший містить два числові множники 3 і 5, дру
гий — два множники х3і х2з тією самою змінною х, у третьому
числовий множник 8 поставлений не на перше місце.
Користуючись переставним і сполучним законами множен
ня, кожний одночлен можна записати в стандартному вигляді.
Наприклад,
' За ■5с = 3 •5 •а ■с = 15ас,
0,5ху ■4у3= 0,5 •4 •х •у ■у3= 2ху4,
^ 4сх(-2сх3) = 4 •(-2) •с ■с ■х ■х3= -8 с2х4.у
Числовий множник одночлена, записаного в стандартному
вигляді, називають коефіцієнтом цього одночлена. Напри
клад, коефіцієнти одночленів 15x2, -8,3а2, т -р дорівнюють
відповідно 15, -8,3, 1 і -1 . Коефіцієнти 1 і -1 не прийнято
писати.
Зведення одночлена до стандартного вигляду полягає в
множенні двох чи кількох одночленів.
! Щоб перемножити одночлени, числові множники
перемножують, а до буквених застосовують правило
множення степенів з однаковими основами.
Якщо виникає потреба перемножити кілька одночленів, то
їх сполучають знаком множення, а утворений таким способом
одночлен зводять до стандартного вигляду.
Наприклад, знайдемо добуток одночленів Ьа2Ь і -0,2аЬ 3.
Ьа2Ь •(-0 ,2 аЬ3) = 5 • (-0 ,2 )а2аЬЬ3=- а 3Ь4.
В одночлені - а 3Ь4сума показників змінних дорівнює 7. Цю
суму називають степенем одночлена - а 3Ь4. Степінь одночлена
5ху дорівнює 2.
Узагалі, степінь одночлена — це сума показників усіх змін
них, що входять до нього. Якщо одночлен —число, вважають,
що його степінь дорівнює нулю.
Наприклад, одночлени 0,3, 53, (-2 )5 мають нульовий сте
пінь.
Одночлени можна підносити до степенів. Для прикладу
піднесемо до третього степеня одночлен 2а х5.
(2ах5)3= 2ах5•2ах5•2ах5= 2 - 2 - 2 •а •а •а •х5•х5•х5=

З тотожності (аЬ)" = апЬп випливає таке правило.
І Щоб піднести до степеня одночлен, слід піднести до
цього степеня кожний множник одночлена і знайдені
степені перемножити.
Приклади. (Зт у2)4 = 34т у 2)4 = 81 т 4у
а2х 3
З • И 4 (х ’ )4 = й :Л 1 2
Хочете знати ще більше'Р)
Одночлени, як і числа, можна додавати, віднімати, множити і ді
лити. Проте сума, різниця і частка двох одночленів не завжди є одно
членом. Наприклад, сума і різниця одночленів 6х і 2х дорівнюють
відповідно одночленам 8х і 4х. Але сума і різниця одночленів 8ах
і 4ау дорівнюють виразам 8ах + 4ау і 8ах - 4ау, а ці два ви
рази — не одночлени.
Частка одночленів бс3 і 3с дорівнює одночлену 2с2 (оскільки
2с2-Зс= бс3). Але частка від ділення 12с на бс3— не одночлен.
1. Що таке одночлен?
2. Що таке коефіцієнт одночлена?
3. Коли говорять, що одночлен записаний у стандартному
вигляді?
4. Як перемножити два одночлени?
5. Як піднести до степеня одночлен?
6. Що називають степенем одночлена?
1. Запишіть одночлен у стандартному вигляді:
а) а х2 ■25х3; б) - 5 а2п ■2а2п 3; в) ^ х у 2 (-З х 3) .
✓ Р о з в ’я з а н н я , а) ах •25х =25 ах х =25 ах5;
б) -5 а2п ■2а2п3= -5 •2 ■а2■а2■п ■п3=-1 0 а4п4;
в) ^ ху2 (-Зх3) = ^ (-З) х х3-у2= - 2 х 4у2.
В і д п о в і д ь. а) 25ах5; б) -1 0 а4я4; в )-2 х 4у2.

2. Піднесіть до квадрата і куба одночлен -2 x z 3.
✓ Р о з в ’я з а н н я . (-2 xz3)2=(-2)2•х 2■(z3)2=4x 2z6;
(-2 xz3f = (-2 )3•х3•(z3)3=-8 x 3ze.
В і д п о в і д ь . 4 x 22 6; - 8x 329
156. Перемножте одночлени, щоб заповнити таблицю:
X 5х -0,1х 2х2
а
2а
-3 ах
4а2
157. Який із виразів є одночленом:
а) —abc3; б) (а + Ь)х; в) с2•(-у2); г) -3,5; ґ) t125 : z?
З
158. Випишіть одночлени стандартного вигляду:
а) 3тп2т4; б)-3 xyz5; в)ЗаЬ 7с; г) —с; ґ) 2х
2
/ -.л
_1_
'2 У,
Еп 159. Запишіть одночлен у стандартному вигляді й підкресліть
його коефіцієнт:
а) 2а •36; б) 12ах •а2; в ) - 5 сг ■сг; г)0,3а -2а62;
ґ) —тп-Зп2; д) (-2 аЬ) ■(-3); е) а2 •3Ьс ■а3; є) -3 •(-5 )ху
З
ж) —х х2 1 -х 3; з) 2,5ах •(-0,4)х2.
З 2
160. Знайдіть коефіцієнт одночлена:
9
а) 2па3; б) х у 2г3; в)-аЬ3с; г) —а2 х3; ґ)- 2ху •Зх2.
ГИЧ З
Мо 161. Обчисліть значення одночлена:
а) 2а4Ь, якщо а =-1 , 6 = 5; б)-х2у3,якщ ох =0,2,у =-3;
о 1
в) -0,5хс , якщо х = -0,2, с = - —.

40
Перемножте одночлени (162—163).
б) 0,3ху2і | х 2у ;162. а) 2аЬ і За с;
г) 0,2ху і -Ь х у ; ґ) аЬсй і - аЬ2с3;
Р о з д і л 1
в) -а т 2і Зт3р;
м 2 3д) 1—ах і —г .
З 5
163. а) 3а6, 2az2 і баг6; б) 2у, -3 у 2і у 3; в) —х 5у 4 і — ху
5 з
—хи
164. Піднесіть до квадрата і до куба одночлен:
. 2 . Ч К І , „ 2 . ч П о „ 3 1 2
а)2ах; б)-3а^; в) ЬЬс*; т)0,2х6т; ґ) — х 5с2; д) — а2х3.
2 З
Й ї 165. а) (Зах2)3; б) (х3у3)2; в) (-2 аЬ)3; г) - 3 ху3•2ху2; ґ) (-2 а2Ь)3.
166. а) 2а(3тс)2; б) —с 2( - 2х с ) 3 ;
8
в) —а3(-Зах)4 ;
г) (-2 а2)3•а3; ґ ) -0,7у3(-1 у 3) ; д) 1 2— реї
З
4
/ р 3.
Запишіть у стандартному вигляді одночлен (167—168).
Ш 167. а) 2а-5х- ( 2 "1 ' 2Л
- 1 - а ; б) 5с3•
V 5 V
с х ; в) -4а-3аху
г) 0,8ху,г •(~5у); ґ) |а с 3(-6с2) ; д) -5 а 223
^ 3 2 Л
- - х у
Ґ З 4
2
5 ( 7 1
со
( 4 зі
~ ХУ ----- хи ; б) — асх — ах
7 { 10 1 4 1 5 )
в)-Зах • 2а- (-5х );г)-2сг ■Зг (-5сг);ґ) — сг -4сх(-с).
2
169. Обчисліть значення одночлена:
а) 0,5а5, якщо а = 2; б) 2с2х3, якщо с = 1,5, х = -10;
в) - 8х 25, я к щ о х = 0,1 і 2 =- 2;
Ч 2 2 4 1 • о
г) — а с , якщо а = — іс = -3;
З 2
ґ) 1 * |(6 х у 3)2
/ 3
о ХУ , якщо х = 3, у =
д) (-0,2ху)4 (50у32)2, якщо х = 0,2, у = 10, г = 0,06.

170. Перемножте одночлени:
a) -axyz, 2az2і -Зх;2; ° " ш б) 5а2, Зху3і аху3;
в) -2 —ab2, - —ab2 і ЗЬ2; г) -1 —ап2т , -Зап2і -0,2а.
3 7 З
171. Заповніть порожні клітинки такими
степенями змінної а, щоб добутки
степенів у кожному рядку, у кожному
стовпчику і в кожній діагоналі були
тотожно рівними (мал. 8).
172. Піднесіть до куба одночлен:
2
а)3сх; 6)2а2т; в)0,5аху3; г) — аЬ2с3;
З
а а3
а4 а2
1
Мал. 8
ґ) -1 —с2п2р ; д ) - 2 —ап2с3.
г І
173. Піднесіть до четвертого степеня одночлен:
2 1
а) 2an; б) Зх2; в) ОДах2; г) -ОДас2; ґ) — х 2у ; д) -1 —ab2c .
З 2
174. а) (2ас3) ; 6) ( - а х 3) ; в) (-З а п 2) ; г) (-0 ,2 х у 2) ;
ґ)
2 2
—аху
4
175. а) х5• (2ах2) ; б) За2•(2а2с); в ) - х 2•(Зх3у)3;
г)а -( 2 сх 2) ; ґ)с3-(Зсх2) ; д) (-2 а2х)2• —а .
2
176. а) (2ах2)2•(ах)3;
в) (-2х V ) 2•(-5 ху2)3;
З26) (3nzA)
г)
І 2 2-1—ах
З
3
nzx
V « J
3 Ґо 2
й з.а х
V ' У
д) (~а6Ь3)7■баV ;
є) (-0,1х2у)4 • ЮООху2.
ґ) Зх2•(-5х3у4)2;
е) 0,5тп4 ■(-2 т )5;
177. Покажіть, що рівняння не має розв’язків:
а)х4 х8+ 3 = 0; б) 2х7•х5= -31; в )-8 у 4 •у8= 64.
а) (х3)4•х •х2= -1; 6) (-х 2)3•х5•(х3)3= -1;

42 Р о з д і л 1
в) (0,2х7•х6)2+ 1,4 = (1,2)2; г) - ( - х 5)3 х4+
З
2
7 .
9 ’Vй/
ґ) г2•24= г2■г3; д)х4 -х5= 8х6; е) х3•х5= х •х2.
Й ї 179. Подайте вираз у вигляді квадрата одночлена:
а) 16а4&2; б) 0,36х8у12; в) 0,01а18Ь2с10;
г) З 6 1 т6я 30; ґ) — а26Ьы ; д) — х 16у22г4 .
25 49
180. Подайте вираз у вигляді куба одночлена:
а) -8 а 6; б) 2 7 х У б; в )-0,001а3&12; г)0,064х18у27;
ґ) — — а9Ь6с3; д) 1 000 ОООу21х30.
125
181. Замініть зірочку одночленом так, щоб утворилася пра
вильна рівність:
а) * •^ х 4у6 = -0,1х4у8; б) - 8 а V •* = 4аV ;
в) 0,ба2Ь •* = ба2Ь3; г) 5т2п3■* =- т 5п6.
1®пї 182. Відомо, що Зх2у3= 7. Знайдіть значення виразу:
а) 1,8х2у3; 6)5х2у3; в)-9 х 4у6; г ) 6 3 х6у9.
183. Відомо, що 2Ь2с = 5, (а2Ь)2 =2. Знайдіть значення виразу:
а) (-2 а2Ь2с)3•(3аЬ2)2; б) (-0,5а2Ь4)2•(2а2Ьс)3■а2Ь.
▼ J
184. Знайдіть:
а) суму довжин усіх ребер куба, якщо вона більша за
периметр його грані на 18см;
б) площу поверхні та об’єм цього куба.
185. У саду росли яблуні та вишні, причому яблуні становили
40 % усіх дерев. Вишень було на 64 більше, ніж яблунь.
Скільки дерев росло в саду? Скільки серед них було
вишень? Скільки — яблунь?
а) 2х - 3(х + 1) = 0; б) 2х + 3 = 3(х +1) - х;
в) 7(2х - 5) + 3 = 45; г) 9(х + 2) - Зх = 6(х + 3).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ р о б о т и
В а р і а н т І
1°. Обчисліть: а)
/ 2 л4
б) 1,72- 8 •0,53.
2°. Піднесіть до квадрата вираз 0,3ах .
З*. Спростіть вираз: (-2 а с 2)2 •(0,5а2х )3.
4*. Доведіть тотожність: 4(7х - 1) + Зх = З іх - 4.
5**. Запишіть число 27 500000000 у стандартному вигляді.
В а р і а н т II
ґ з л3
б) 2,1 - 8 •0,54.
2°. Піднесіть до квадрата одночлен -5 сг .
/ о 2
, 2 3
З*. Спростіть вираз: (3ат )
2 4
— хт
3
4*. Доведіть тотожність: 5 - х + 3(3х -4) = 8х - 7.
5**. Запишіть число 17770000000 у стандартному вигляді.
В а р і а н т III
' 4 л3
б) 3,72- 4 •0,53.
2°. Піднесіть до куба одночлен -1 ,2 ас .
З*. Спростіть вираз: (-0,5ас2)2•(4а2х)3.
4*. Доведіть тотожність: 5х -2(х - 4) = Зх + 8.
5**. Запишіть число 350000000000 у стандартному вигляді.
В а р і а н т IV
V »У
2°. Піднесіть до куба одночлен -0 ,8 х 2у.
З*. Спростіть вираз: (-0,4х3)2•(-ІО ах2)3.
4*. Доведіть тотожність: 9х - 2(2х + 6) = 5х - 12.
5**. Запишіть число 98790000000у стандартному вигляді.
" з Л
А
_О _
; б) 2,32-27-
V 5 У
у

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ
Тестові завдання № 1
1. Подайте у вигляді степеня число 0,0009:
а) 0,33; 6 )0 ,32; в) 0,032; г) 0,033.
2. Подайте у вигляді степеня одночлен 625х8:
а) (5х2)8; 6) (5х2)4; в) (5х)4; г) (5х)8.
3. Який вираз тотожний виразу ах2:
а) а •х(-х); 6) а ■х + ах; в) а(-х)(-х); г) ах •ах?
4. При якому т справедлива рівність а16ат=а32:
а) 14; 6)2; в) 1; г) 16?
5. При якому р справедлива рівність (с3^ = с12:
а) 1; 6)0; в) 2; г) 4?
6. Яке з рівнянь не має розв’язків:
а)х2= х6; б) х •х3= -1 ; в) 0 •х3= 0; г)х5 х3= 1?
7 . При якому значенні й вирази 9(х - 3) - 2(3х +5) і
сіх - 37 є тотожними:
а) -3; 6)3; в ) -4; г) 4?
8. Запишіть суму квадратів чисел х і у:
а) х2+ у 2; 6) (х + у)2; в)2х + 2у; г) х2•у 2.
9. Запишіть у стандартному вигляді число 24000000000:
а) 24 • 109; б) 2,4 • 109; в) 2,4 • Ю10; г) 0,24 • Ю10.
10. Знайдіть значення виразу х4- Зх2+ 4, якщо х = 2:
а) 6; 6)7; в) 8; г) 9.

Типові завдання до контрольної роботи № 1
1 ° . Піднесіть до степеня:
а) 53; б) (0,2)4; в) (-1)5.
2°. Знайдіть значення виразу:
а) 0,5а3- 3,9, якщо а = 2; б) 3т 2- 82, якщо т =-5.
3°. Подайте у вигляді одночлена стандартного вигляду
вираз:
а) бху •0,5ах; б) а2•4а2х.
4 ° . Піднесіть до квадрата та куба одночлен:
а) - а яЬ2с5; б) 1 ^ т 2п.
5*. Обчисліть:
6 ) 2 , 4 г - 1 , 6 2; в)а) 18* - -
V
6*. Спростіть вираз:
(л
а) —abA (-ба26); б) (-0,2т2п)2■(-5тп2).
v2 у
7*. Розв’яжіть рівняння:
а)2х2 х = 2; б)4х3 х2= 0; в)3х4+ б = 0.
8*. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел
2,5- Ю10 і 1,25 - 108.
9**. Чи є тотожністю рівність:
а) |х - у = у - х|; б) |х2|+ 1 = |х2+ 1|?
10**. Доведіть, що для будь-якого натурального п зна
чення дробу є натуральним числом:
74” - 1
10

§6. МНОГОЧЛЕНИ
У математиці часто доводиться додавати чи віднімати
одночлени. Наприклад, ї х + 2а — сума, а ї х - 2а — різниця
одночленів ї х і 2а. Вираз ї х - 2а можна вважати також
сумою одночленів ї х і -2а, бо ї х + (-2 а ) = ї х - 2а. Вираз
2х4- Зх3+ х 2 - 9х - 2 — сума одночленів 2х4, -З х 3, х 2, -9 х
і - 2 .
°г
Суму кількох одночленів називають м н о г о
ч л е н о м .
Кожний доданок многочлена називають його членом. Напри
клад, многочлен 2ху - 5х + б містить три члени: 2ху, -5х і 6.
0^ Якщо многочлен містить два доданки, його нази
вають д в о ч л е н о м , три — т р и ч л е н о м .
Одночлен тако ж вважають окрем им видом
многочлена.
Існують цілі вирази, які не є многочленами.
Наприклад, вирази (а + Ь)2, 2а - (Ь + х)3 цілі, але не є
многочленами. Зв’язки між згадуваними виразами ілюструє
мал. 9.
ЦІЛІ ВИРАЗИ
1' МНОГОЧЛЕНИ ) | [ НЕ МНОГОЧЛЕНИ
і
(ОДНОЧЛЕНИ) ( ДВОЧЛЕНИ ) 1{ ТРИЧЛЕНИ ) |; інші і
Мал. 9
Многочлен може мати подібні члени, тобто такі доданки,
які відрізняються тільки коефіцієнтами або й зовсім не від
різняються. Наприклад, у тричлені 4х + ї х - 5 перші два
члени — подібні. Звівши їх, дістанемо двочлен 11х - 5, який
тотожно дорівнює даному тричлену.

Вважають, що многочлен записано в стандартному ви
гляді, якщо всі його члени — одночлени стандартного ви
гляду і серед них немає подібних.
Наприклад, серед многочленів
х3- 2х2+ Зх + 7, аЬ + Ьс - са, 2ах - За • 5х + 8
два перші вирази — многочлени стандартного вигляду, а тре
тій — ні. На основі законів дій (див. с. 14) кожний многочлен
можна подати в стандартному вигляді, наприклад:
Г 2ах - За • 5х + 8 = 2ах - 15ах + 8 = -І З а х + 8.")
Члени многочлена можна записувати в різній послідов
ності. Здебільшого їх упорядковують за спадними показ
никами тієї чи іншої змінної. Наприклад, упорядкувавши
многочлен 5ах2+ 6х3- 4а2х + а4за спаданням степенів змін
ної х, одержимо 6х3+ 5ах2- 4а2х + а4. Найвищий показник
степеня змінної х дорівнює трьом, тому такий многочлен
називають многочленом третього степеня відносно х.
Його можна впорядкувати і за спаданням степенів змінної а:
а4 - 4а2х + 5ах2 + 6х3. Це многочлен четвертого степеня
відносно змінної а.
Хочете знати ще більше? )
Чи є многочленом вираз (а + Ь)с? Іноді відповідають на це за
питання ствердно, бо, мовляв, згідно з розподільним законом мно
ження даний вираз тотожно дорівнює двочленові ас + Ьс, а отже
і він є двочленом. Це неправильно. В алгебрі вирази прийнято
називати відповідно до того, як вони записані, а не до того, як
їх можна записати.
Розглянемо приклад. Вираз 8а можна подати у вигляді суми двох,
трьох чи будь-якої іншої кількості доданків:
8а = За + 5а, 8а = а + За + 4а, 8а = а + а + а + а + 4а.
Якщо, виходячи з цього, вираз 8а називати і одночленом, і дво
членом, і тричленом тощо, то це буде дуже незручно. Тому в алгебрі
домовилися вирази називати так, як вони записані, а не так, як їх
можна записати, виконавши ті чи інші тотожні перетворення.
Отже, вираз (а + Ь)с не є ні одночленом, ні многочленом.
С

48 Р о з д і л 1
г
1. Що таке многочлен?
2. Наведіть приклади двочлена, тричлена, чотиричлена.
3. Які члени многочлена називають подібними?
4. Чи можна одночлен вважати видом многочлена?
5. Коли говорять, що многочлен записано в стандартному
вигляді?
1. Запишіть многочлен у стандартному вигляді:
а) 5х + 4х2+ Зх3- 5х3- 4х2- Зх;
б) 2аЬ + 3а2■аЬ + 7аЬ2(-аЬ) + ЗЬ.
✓ Р о з в ’ я з а н н я , а)Зведемо подібні доданки і впорядку
ємо за степенями члени многочлена:
5х + 4х2+ Зх3- 5х3- 4х2- Зх = -2 х 3+ 2х.
б) Зведемо до стандартного вигляду кожний одночлен за
даного многочлена і впорядкуємо його члени за степенями
змінної а:
2аЬ + 3а2■аЬ + 7аЬ2(-аЬ) + ЗЬ= 2аЬ + 3а% - 7а2Ьг + ЗЬ=
=ЗагЬ - 7 а 2Ьг + 2аЬ + ЗЬ.
В і д п о в і д ь , а ) - 2 х 3+2х; б) За% - 7а2Ь6+ 2аЬ + ЗЬ.
2. Обчисліть значення многочлена
5х5 - Зх4+ 4х3+ 7 + 2х4- 4х3+ х4- 4х5+ 2 , якщо х = 2.
✓ Р о з в ’я з а н н я . Зведемо многочлен до стандартного ви
гляду:
5х5- Зх4+ 4х3+ 7 + 2х4 - 4.x3+ х4 - 4х5+ 2 = х5+ 9.
Якщо х = 2, то х5+ 9 = 25+ 9 = 32 + 9 = 41.
В і д п о в і д ь . 41.
3. Два велосипедисти одночасно виїхали з пунктів А іВ назу
стріч один одному. Знайдіть відстань міжА і В, якщо вони їхали
зі швидкостями а км/год і Ькм/год і зустрілися через і год.
✓ Р о з в ’ я з а н н я . 1-й спосіб. За і год перший вело
сипедист проїхав аґ км, а другий — Ы км. Отже, вся відстань
дорівнює (аі + Ы) км або (а + Ь)Ь км.
2-й с п о с і б . За 1 год велосипедисти наближалися на
(а + Ь) км, до моменту зустрічі через і год вони проїхали
(а + км. Це і є шукана відстань.
В і д п о в і д ь . (а + Ь)ікм.

187. Який із виразів є многочленом:
а) 2 х - 3; б) 37am2; в) х 2- Зх
х
; г) у (х -у); ґ) -21?
188. Сумою яких одночленів є многочлен:
а ) а х - с х 2+ 3; б ) - 2 х 2+ З х - 7 ; в) - т 2- п2;
г) 2с3- З с 2- 5 с + 1; ґ) —х3- 2
5
х Зх?
189. Назвіть многочлен стандартного вигляду:
а) 2х + За - 5; б) а2- а + 5а + Ь; в) -х + Зха - а
т)т- т - п2; ґ) х3+ Зх2- З х + 7; д) -0 ,5 а - 4а2+
190. Укажіть степінь многочлена відносно змінної х:
а) 2 а х - За + 5;
!,7
е) 0,7ах + 8а2х + 5;
+- а ;
З а - 1.
2,.2
б)х - х +4х; в ) 2 х у - 3 х у - 1 ;
г) 0,labx + 3,7х2- ab; ґ) 3ах3-Ьх; д) т 3х5- тх°;
є ) 3 х - х + 27рх; ж) у - а у.
191. Знайдіть суму одночленів:
а) Зх і Ьх;
ґ) - а 2і а2;
б) 2abc2і 3abc2; в) 2 і х; г) 7ас і Зах;
д) 14х2у і -бас2; е) 2а і ЗЬ; є) -а і а2;
и )-4 х і 2х; i)g3i - —д3.
З
ж) Зс і ~2у; з)-0,5і 0,5х;
192. Знайдіть різницю одночленів:
а) 2а і Зх; б) - т і 5с;
г ) - 4 , 7 х і5 ; ґ ) - З а 2х і- 8 а 2х;
в) -4р і 2р;
д) а і -а .
193. Зведіть подібні члени:
а) 4х2+ х - 5х2- 12; б) - б аЬ + 2а2 + Ь2 - аЬ;
в) 8а - 10аЬ + За; г) -0 ,5 х 2- у2+ 2,2х2+ 0,8у;
ґ) 2а2Ь - Ь2а + lab2;
ч 2 о 3 з , 1 з
д) —х и ----- х у - 1 —хи
З 5 З
2х6у.
194. Виконайте зведення подібних членів:
а)4х + 2 х - 7 х - 9х - 2х; б) За4- 12 + 13а + 5 - а + 8а4;
в) 27т 5- 1 7 т 3- 7 + 1 0 т 3- 3 0 т 5;
г) у4- 2уі + 2 + 5у3- 2 у - 14 + 7у4.

а) а - Ь + За + 2Ь2;
в) 37 - 23+ Зі - З5г3;
б) 7х - у2+ Ь ху- 2х • 3у;
г) х + х 2+ х3- 2х2- х;
ґ) —а + —а •З с - ас;
2 3
д)
0 196. Упорядкуйте за спаданням степенів х многочлен:
а) Зх4- 5х2- х3- 2х;
в) ах + Ьх2+ сх3+ сіх4;
б) 1 - х 2- р х - дх3;
г) 1 - х4+ Зх3+ 2х2 х.
197. Обчисліть значення многочлена:
а) х2- 5х + б, якщо х = 2; б) 0,7х2
в) 2 ,8 а - 1,8а2, якщо а = -0,2.
& 198. Обчисліть значення многочлена:
а) т 3- п2, якщо т = 2 ,п =-3;
б) в + 2і2- 4, якщо в = 2,3, і = 0,5.
199. Визначте площу фігури,
зображеної на малюнку 10,
якщо кожний із чотирьох її
отворів — квадрат, сторона
якого дорівнює с.
200. Упорядкуйте многочлен за
0,3х , якщо х = 0,5;
Мал. 10
спаданням степенів а:
а) За2—За + 5 —а3+ а4; а + а2- а3- а5;
в) 5а - 5 + 2а а3- За2;
б) 1
г) 2ас - За2с + с2- а3.
201. Обчисліть значення многочлена:
а) х 3- Зх2+ Зх - 1, якщо х = 1,2;
б) 2с3- 5с2- с + 7, якщо с =-2 ,1 ;
в) За2- 2ах - х 2, якщо а = -0 ,4 і х = 1,2;
г) 0,25я2+ 0 ,5 т - т 2, якщо п =4,8 і т = 2,4.
202. Запишіть многочлен у стандартному вигляді:
б) 4х - 2х •Зу - Зу - Ьху;а) х3- 2х2+ Зх - 5х2;
в) 2,3 - ас + а с - 1,3;
ґ) 2а2•За3+ 5а4 •(-2а);
е) За - 7а(-2а2)2+ а5+ а;
г) 2 - с2+ с3- 2с3+ с3•5;
д) х • 2х2+ 2х •х2 - х2•х2;
є) (2х3)х + х(-2х)3+ х3(-х 2).

Алгебра підручник для 7 класу Бевз

Алгебра підручник для 7 класу Бевз

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Алгебра підручник для 7 класу Бевз

Similar to Алгебра підручник для 7 класу Бевз (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (13)

Алгебра підручник для 7 класу Бевз