8 алг бабенко_пособ_2009_укр

Харків
Видавнича група «Основа»
2009

УДК 512
ББК 22.14
Б12
Бабенко С. П.
Усі уроки алгебри. 8 клас. — Х.: Вид. група «Основа»,
2008. — 348, [4] с.
ISBN 966 333
Докладні розробки уроків до вивчення алгебри у 8 класі (за програ
мою 12 річної школи).
Цікаві методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи із зав
даннями, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки
знань, використання ігрових моментів на уроці, грамотне урахування віко
вих особливостей — усе це вигідно відрізняє посібник від традиційних
планів конспектів уроків.
Посібник для вчителя нового покоління.
УДК 512
ББК 22.14
Навчальне видання
БАБЕНКО Світлана Павлівна
Усі уроки алгебри. 8 клас
Навчально методичний посібник
Головний редактор І. С. Маркова
Редактор Г. О. Біловол
Технічний редактор О. В. Лєбєдєва
Коректор О. М. Журенко
Комп’ютерна верстка О. В. Лєбєдєвої
Підписано до друку 01.07.2008. Формат 60 841
16
. Папір газетний.
Гарнітура «Ньютон». Друк офсетний. Ум. друк. арк. 20,46. Зам. № 8 07/07 05.
ТОВ «Видавнича група “Основа”».
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 від 25.07.2007.
Україна, 61001 Харків, вул. Плеханівська, 66. Тел. (057) 731 96 33. E mail: math@osnova.com.ua
2 Бабенко С. П.
Б12
Бабенко С. П., 2008
ТОВ «Видавнича група “Основа”», 2008ISBN 966 333
ВСТУП
Матеріали посібника призначені для вчителів загальноосвітніх на
вчальних закладів, які викладають алгебру в 8 класі 12 річної школи.
Посібник містить детальні розробки уроків. У наведених конспек
тах подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис обладнання,
яке необхідне для проведення уроку.
Змістова частина конспектів уроків має заголовок «Хід уроку». Тут
відображено: 1) етапи уроку; 2) зміст навчального матеріалу, що вино
ситься на урок; 3) система завдань, яка необхідна для досягнення
дидактичної мети; 4) методи, форми і засоби, які доцільно використа
ти на уроці; 5) домашнє завдання. До окремих фрагментів уроку пода
ються докладні методичні рекомендації. Більша частина завдань
супроводжується методичними коментарями (у тексті вони познача
ються ), які допоможуть учителю врахувати особливості розв’я
зування цих вправ.
Під час вивчення навчального матеріалу планується проведення
актуалізації опорних знань за допомогою усних вправ, математичних
диктантів, самостійних, тестових робіт. Матеріали до всіх цих видів ро
боти (з відповідями) містяться безпосередньо в розробках уроків.
Детальні методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи,
велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки знань,
використання ігрових моментів на уроці, врахування вікових особли
востей учнів — усе це відрізняє пропонований посібник від тра
диційних планів конспектів та дає можливість його використання та
кож учителями, які працюють за різними підручниками з алгебри для
8 класу.
Усі уроки алгебри. 8 клас 3

Календарне планування вивчення алгебри у 8 класі
І семестр — 32 години (2 години на тиждень), ІІ семестр —
38 годин (2 години на тиждень), усього — 70 годин
№
уроку
Зміст навчального матеріалу
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
І семестр
Тема 1. Раціональні вирази 32 год
1, 2 Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази.
Допустимі значення змінних
2
3, 4 Основна властивість дробу. Скорочення дро
бів. Зведення дробів до нового знаменника
2
5, 6 Додавання і віднімання дробів
з однаковими знаменниками
2
7–9 Додавання і віднімання дробів з різними
знаменниками
3
10 Підсумковий урок 1
11 Тематична контрольна робота № 1 1
12–14 Множення дробів. Піднесення дробу до
степеня
3
15, 16 Ділення дробів 2
17–19 Тотожні перетворення раціональних виразів 3
20, 21 Раціональні рівняння. Розв’язування
раціональних рівнянь
2
24 Означення степеня з цілим від’ємним
показником
1
25, 26 Властивості степеня з цілим від’ємним
показником
2
№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
27, 28 Стандартний вигляд числа 2
29, 30
Функція y
k
x
її властивості і графік
2
ІІ семестр
Тема 2. Квадратні корені. Дійсні числа 14 год
1 Функція y x2
, її властивості і графік 1
2, 3 Квадратний корінь. Арифметичний
квадратний корінь
2
4 Рівняння x a2
. Основна тотожність
квадратного кореня
1
5 Ірраціональні та дійсні числа 1
6–8 Арифметичний квадратний корінь із добут
ку, дробу, степеня. Добуток і частка квад
ратних коренів
3
9–11 Винесення множника з під знака кореня.
Внесення множника під знак кореня.
Тотожні перетворення виразів, що містять
квадратні корені
3
12 Функція y x, її властивості і графік 1
Тема 3. Квадратні рівняння 18 год
1, 2 Означення квадратного рівняння.
Неповні квадратні рівняння та їх
розв’язування
2
3, 4 Формула коренів квадратного рівняння 2
5–7 Теорема Вієта 3

№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
10, 11 Квадратний тричлен і його корені. Розкла
дання квадратного тричлена на лінійні
множники
2
12, 13 Розв’язування рівнянь, що зводяться до
квадратних рівнянь
2
14–16 Розв’язування задач, що зводяться до
cкладання квадратних рівнянь та рівнянь,
що зводяться до квадратних
3
Тема 4. Повторення і систематизація
навчального матеріалу
6 год
1 Тотожні перетворення раціональних виразів 1
2 Функції і графіки 1
3 Степінь з цілим від’ємним показником 1
4 Розв’язування рівнянь, що зводяться до
квадратних. Розв’язування задач
1
Тема 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ (32 год)
Урок № 1
Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі
значення змінних
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту понять: цілий вираз,
дробовий вираз, раціональний вираз, раціональний дріб, допустимі
значення змінної у виразі; сформувати в учнів уміння виділяти названі
види виразів серед запропонованих виразів зі змінними, а також вико
нувати дії, що мають на меті знаходження ОДЗ дробового виразу.
Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.
Наочність та обладнання: опорний конспект «Дробові вирази.
Раціональні вирази».
Хід уроку
І. Організаційний етап
Вступне слово вчителя
Особливості вивчення алгебри у 8 класі;
організація навчального процесу;
будова підручника.
ІІ. Перевірка домашнього завдання
Вчитель перевіряє літнє домашнє завдання (якщо таке було задано).
ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку
З метою усвідомлення учнями необхідності вивчення питання про
види раціональних виразів пропонуємо учням завдання:
Який із виразів: x2
, x xy2 ,
x y
2
,
x y
x
зайвий? Чому?
Після обговорення з учнями результатів виконання запропонова
ного завдання формується думка: у 7 класі було вивчено питання про
види, властивості і способи перетворення виразів, що не містять ділен
ня на змінну (цілі вирази); у 8 класі настав час вивчити види, власти
вості і способи перетворень виразів, що містять ділення на змінну

(дробові вирази), а також узагальнити знання учнів про види виразів та
логічний зв’язок між ними. Цей висновок і є основною дидактичною
метою вивчення розділу.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь
З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу
уроку перед вивченням нової теми слід активізувати знання
учнів про алгоритми виконання дій з раціональними числами,
способи перетворення цілих раціональних виразів та способи
розв’язання лінійних рівнянь та рівнянь, що зводяться до
лінійних (вивчені у 7 класі).
Виконання усних вправ
1. Знайдіть значення виразів:
1
3
7
;
1
9
2;
75
15,
; 27 81: ; –3,7–0,4;
1
5
0 2, ; 6
1
3
; 1
1
2
2
.
2. Обчисліть:
1
2
1
3
;
1
2
1
3
;
1
3
1
2
;
1
3
1
2
: ; 8
3
4
; 12
4
7
: ; 19 01, ; 7 01: , ;
2
3
01, ;
1
4
0 01: , .
3. При якому значенні змінної значення виразу дорівнює нулю:
x 1; y 3; a 2
; x2
4; a a 1 ; x x 3 ;
2 1x ; 5 1y y ; x ; x 3 ; x 1?
4. Спростіть вирази:
x x5
;
y
y
8
4
; 5 3x ; 2 5 0 5, ,y .
5. Подайте вирази у вигляді добутку:
a b2 2
; xy x2
; a b ab2
; x y3 3
; c cd d2 2
2 ; a b3 3
.
6. Перетворіть вирази в многочлен стандартного вигляду:
a a 3 ; c x y a ; x x1 3 ; a a4 4 ; x 2
2
;
a b a ab b2 2
.
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матеріалу
1. Цілі вирази.
2. Дробові вирази.
3. Раціональні вирази.
4. Раціональний дріб.
5. Допустимі значення змінних у виразі (ОДЗ).
Конспект 1
Дробові вирази. Раціональні вирази
1. Цілі вирази складаються із чисел, букв і степенів та дій додавання, віднi
мання, множення, піднесення до степеня та ділення крім ділення на змінну.
Приклад. a b; 2 3
a ; 3
3
x x y ; b; 5 — цілі вирази.
!Будь який цілий вираз можна подати у вигляді многочлена.
2. Дробові вирази обов’язково містять дію ділення на вираз зі змінною
(змінними), а також можуть містити всі дії, які є в цілому виразі.
Приклад.
a
b
;
a
b2
1;
x y
x y2 2
; 5x y: — дробові вирази.
3. Цілі вирази разом з дробовими виразами називають раціональними
виразами.
4. Запис
A
B
, де A і B — деякі буквені або числові вирази, називають дробом.
Дріб
A
B
, де A і B — многочлени називають раціональним дробом.
Приклад.
5
1a
;
a
b 7
;
x y
x xy y2 2
— раціональні дроби.
5. Область допустимих значень змінних у виразі (ОДЗ) — усі такі значення
змінних, при яких вираз має зміст.
!Для раціонального дробу
A
B
допустимі значення змінної визначаються
з умови B 0 (знаменник не повинен дорівнювати 0).
Приклад. Для виразу
5
42
a
допустимими є всі значення a, крім тих, при
яких a2
4 0, тобто a a2 2 0, тобто a 2 або a 2.
Отже, ОДЗ змінної a у виразі
5
42
a
можна записати так:
ОДЗ: a 2 (або a 2 і a 2, або всі значення a, крім a 2 та a 2).

6. Раціональний дріб
A
B
дорівнює 0, тоді і тільки тоді, коли A 0 і B 0
(або
A
B
0
0
,
).
Щоб знайти значення змінної, при якому раціональний дріб
A
B
дорівнює 0,
треба:
а) знайти ОДЗ дробу (з умови B 0);
б) прирівняти чисельник до нуля (A 0) і знайти відповідні значення
змінних;
в) із значень, здобутих в п. б) вилучити ті, що не війшли до ОДЗ (див. п. а.).
Приклад. При якому значенні змінної дріб
x
x
2
16
4
дорівнює нулю?
Розв’язання
1) ОДЗ: x 4 0; x 4;
2) x2
16 0; x x4 4 0; x 4 або x 4.
3) x 4 не входить до ОДЗ, тому при x 4 дріб
x
x
2
16
4
дорівнює нулю
Вивчення матеріалу уроку починається із повторення видів цiлих
виразів, що їх вивчали учні в 7 класі (одночлени, многочлени), та
узагальнення уявлень учнів про їх структуру та властивості (усі
цілі вирази містять 5 арифметичних дій, крім ділення на вираз зі
змінними, та можуть бути представлені у вигляді многочлена).
Як протилежність цілим виразам розглядаються вирази, що, крім
інших арифметичних дій, містять ділення на змінну – таким чином
формується уявлення учнів про зміст поняття дробового виразу, після
чого розглядається поняття раціонального виразу як загального виду
виразів, що поділяється на цілі та дробові вирази.
Далі формується уявлення учнів про зміст поняття раціонального
дробу як особливого випадку дробового виразу та про зміст поняття
допустимого значення змінної у виразі та області допустимих значень
змінної (ОДЗ) у виразі (при цьому можна спиратись на набуті учнями
в 7 класі знання про зміст поняття області визначення функції).
VІ. Засвоєння знань та вмінь
1. Які з виразів є цілими; дробовими? Які з виразів є дробами; раціо
нальними дробами?
а)
b c
b c
; б)
a
a
2
2
; в)
2 2
a
a ; г)
1
3
3
a b; д)
3
1x x
; е)
mn n
3
.
2. Знайдіть значення виразу
5
x
при x 5, x 5, x 01, .
3. При яких значеннях змінної вираз не має змісту? Назвіть допустимі
значення змінної у виразі:
а)
5
x
; б)
5
1
x
x
; в)
5
1x x
; г)
5
12
x
x
.
4. Які з наведених рівностей є тотожностями?
а)
m m
m
m
m
2
1
3
1
; б)
m m
m
m
m
2
1
2
1
; в)
m
m m
m
m m1 2
.
Виконання письмових вправ
Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв’язати
завдання такого змісту.
1. Серед поданих виразів зі змінними вибрати: цілі, дробові вирази,
раціональні дроби.
1) Які з виразів є цілими; дробовими? Які з виразів є дробами;
раціональними дробами?
а)
a b
a b
; б)
x
x
3
2
; в)
4 2
x
x ; г)
1
2
3
b a; д)
5
1x y
; е)
xy x
5
.
2) Які з виразів
1
3
2
a b; x y xy
2
4 ;
m
m
3
3
;
8
2 2
x y
;
a ab2
2
12
; c
c
3
22
є цілими, які — дробовими?
3) Із раціональних виразів
7 22
x xy;
a
9
;
12
b
; a a b
b
a3
;
1
4
1
3
2 2
m n ;
a
a 3
8
випишіть ті, які є:
а) цілими виразами; б) дробовими виразами.

4) Складіть дріб:
а) чисельник якого є добутком змінних x і y, а знаменник — сумою;
б) чисельник якого є різницею змінних a іb, а знаменник — добутком.
2. Знаходження значень дробового виразу при даних значеннях змінних.
1) Знайдіть значення виразу:
а)
x
x
2
5
при x 0; x 5; x 3; б)
2ab
a b
при a 4, b 2; a 4, b 6;
в)
a
a
8
2 5
при a 2; г)
b
b
2
6
2
при b 3;
д) x
x
8
1
при x
1
2
; е)
y
y
y
y
3
3
при y 15, .
2) Чому дорівнює значення дробу
a b
a
2
2
1
1
при:
а) a 3, b 1; б) a 1
1
2
, b 0 5, ?
3. Знаходження допустимих значень змінних у виразі.
1) Укажіть допустимі значення змінної у виразі:
а)
6 1
2
2
x
x
; б)
6 1
3
a
a a
; в)
b
b b1
1
; г)
11
22
x
x
.
2) Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
а)
7
4 12
b
b
b; б)
3
4 2
2
k
k
; в)
6
2 12
m
m m
m
m
.
4. Складання виразів зі змінними за умовою задачі.
Автомобіль проїхав 195 км за t год. Запишіть у вигляді виразу швид
кість автомобіля. Знайдіть значення цього виразу приt 3.
5. Виконання вправ на повторення: арифметичні дії зі звичайними
дробами (скорочення, порівняння, додавання, віднімання), розкла
дання цілих виразів на множники із застосуванням різних способів.
1) Перетворіть у многочлен:
а) x x10 10 ; б) 2 3 2 3a a ; в) y b y b5 5 ;
г) 8 8x y y x ; д) x 7
2
; е) b 5
2
; ж) a x2
2
; з) ab 1
2
.
2) Розкладіть многочлен на множники:
а)15 20ax ay; б)36 9by cy; в) x xy2
; г) xy y2
; д) a ab2
5 ; е)15 10 2
c c .
3) Розкладіть на множники:
а) x2
25; б)16 2
c ; в) a a2
6 9; г) x x2
8 16; д) a 3
8; е) b3
27.
6. Для учнів, які мають достатній і високий рівень знань — виконання
завдань підвищеного рівня складності та логічні вправи.
Вставте пропущений вираз:
VІІ. Підсумки уроку
Контрольні запитання
1) Які вирази називають цілими? Наведіть приклади.
2) Які вирази називають дробовими? Наведіть приклади.
3) Які вирази називають раціональними? Які з наведених раціо
нальних виразів цілі, а які дробові:3a,
5
4
x
,15 2
p q, x
x
8
, a
a3
6
,
x y
x 1
?
VІІІ. Домашнє завдання
1. Вивчити означення понять, розглянутих на уроці.
2. Розв’язати вправи на: класифікацію раціональних виразів, знахо
дження ОДЗ виразів, обчислення значень виразів зі змінними та чис
лових виразів, що містять звичайні дроби, розв’язання цілих рівнянь.
Урок № 2
Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі
значення змінних
Мета: домогтися засвоєння учнями термінології, вивченої на попе
редньому уроці, та засвоєння змісту алгоритму знаходження значень
змінної, при яких даний раціональний дріб дорівнює нулю; сформу
вати вміння застосовувати вивчений алгоритм для розв’язування
вправ, що передбачають знаходження значень змінних, при яких зна
чення поданого раціонального дробу дорівнює нулю; вдосконалити
вміння, формування яких було розпочато на попередньому уроці.
Тип уроку: застосування знань та вмінь.
a5
a8
a
a10
a6
a12
a12a17
a15
a4
?
a3
a19
a5
a11

Наочність та обладнання: опорний конспект «Дробові вирази. Ра
ціональні вирази».
Хід уроку
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
1. Виконання вправ домашньої роботи перевіряється ретельно в учнів,
які потребують додаткової педагогічної уваги (зібрати зошити на пе
ревірку).
2. Математичний диктант
Варіант 1
1. Запишіть вирази:
x
y
2
; x y
2
; 2 2x y x y: ;
1
3
xy x y .
Підкресліть цілі вирази.
2. Чи можна подати вираз
a
b
2
2
у вигляді многочлена?
3. Які значення змінної допустимі для виразу
2
3 5
a
a a
?
4. Які значення змінної допустимі для виразу a a3 5 ?
5*. Запишіть раціональний дріб, ОДЗ якого є всі числа, крім 0 і –5.
Варіант 2
1. Запишіть вирази:
y
x2
; x y x y: ; x y x y2 2 ;
1
2
x x y .
Підкресліть цілі вирази.
2. Чи можна подати вираз
1
2
ab x y у вигляді многочлена?
3. Які значення змінної допустимі для виразу x x5 7 ?
4. Які значення змінної допустимі для виразу
3
5 7
x
x x
?
5*. Запишіть раціональний дріб, ОДЗ якого є всі числа, крім –2 і 2.
Створенню відповідної мотивації на уроці може сприяти виконан
ня учнями завдання:
1. Знайдіть значення виразів
a
a
2
3
,
3 6
5
a
a
,
a
a
2
при a 2. Порівняй
те здобуті результати. Що ви помітили?
2. Чи існують інші значення змінної a, при яких ці вирази дорівню
ють нулю?
3. Чи буде дорівнювати нулю при a 2 значення виразу
a
a
2
2
? Чому?
Після обговорення результатів, здобутих у ході виконання запро
понованих вище завдань спільними зусиллями доходимо висновку:
одним із важливих питань, що пов’язані з поняттям дробового виразу,
є питання про умови рівності дробу нулю. Вивчення цього питання
і є основною дидактичною метою уроку. Завдання на урок логічно
випливають із цієї мети: сформулювати загальне правило, а також на
вчитися застосовувати це правило під час розв’язування задач.
ІV. Актуалізація опорних знань та вмінь
З метою успішного сприйняття учнями змісту навчального ма
теріалу уроку слід поновити в пам’яті учнів зміст таких понять
та алгоритмів: виконання арифметичних дій зі звичайними
дробами, перетворення цілих виразів (одночленів, многоч
ленів) у многочлен і розкладання цілих виразів на множники,
способи розв’язання цілих рівнянь, що зводяться до лінійних.
1. Назвіть чисельник і знаменник раціонального дробу:
а)
a
a b
; б)
a b
b
2 2
; в)
x y
x y
3 3
; г)
a b
a b
2
2 3
3
.
2. Розв’яжіть рівняння:
а) 2 4x ; б) x 5 0; в) y2
0; г)
1
3
3y ; д) 0 5 5, x ; е) x2
1.
3. Подайте вираз у вигляді добутку:
а) 10 15x y; б) a 2
25; в) 42 212
y y; г) 48 8 2
c c ; д) 6 24m ;
е) 16x xy; ж) 27 3
x ; з) a a8 7
.

а)
1
5
3
7
; б)
1
5
3
7
: ; в)
1
5
3
7
; г)
1
5
3
7
; д) 2 3 3, ;
е) 8 6 2, : ; ж) 15 2: ; з) 2 1 2, : ;
и) 6 0 3: , ; к) 19 3: ; л)
3
7
0 3: , .
V. Застосування знань
1. Умова рівності дробу нулю.
2. Алгоритм застосування умови рівності дробу нулю.
3. Приклади розв’язання завдань на застосування вивченого алгоритму.
Умова рівності дробу нулю є одним із питань, які передбачені
програмою з математики і мають широке практичне застосу
вання, тому вже під час першого знайомства з поняттям раціо
нального дробу слід приділити йому належну увагу.
Виходячи з результатів обговорення питань, запропонованих на
етапі мотивації навчальної діяльності учнів, спочатку вчитель форму
лює умову рівності дробу нулю (див. опорний конспект № 1) у вигляді
системи, що складається з двох умов: знаменник дробу не дорівнює
нулю, чисельник дорівнює нулю.
Після чого складається орієнтовна схема дій для розв’язування за
дачі на знаходження значень змінних, при яких раціональний дріб
дорівнює нулю:
1) знайти ОДЗ раціонального дробу;
2) знайти значення змінної, при яких чисельник дробу дорівнює
нулю (прирівняти чисельник дробу до нуля та розв’язати здобуте
рівняння);
3) з’ясувати, які корені рівняння (див. попередній пункт) не вхо
дять до ОДЗ;
4) записати відповідь – корені рівняння (див. 2 пункт), які входять
(не суперечать) ОДЗ.
Після формування алгоритму необхідно проілюструвати застосу
вання алгоритму на різних прикладах: без наявності сторонніх коренів
та за наявності сторонніх коренів.
VІ. Засвоєння вмінь
1. Який із записів є умовою, якщо дріб
x
x
4
92
а) x 4 0; б) x2
9 0; в)
x
x
4 0
9 02
,
;
г)
x
x
4 0
9 02
,
.
2. Складіть дріб, для якого умова рівності нулю записується так:
а)
x
x
0
4 0
,
;
б)
x
x
0
4 0
,
;
в)
x x
x
0 4
2
, ,
;
г) x 3.
З метою реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв’я
зати завдання такого змісту.
1. Знаходження значень змінних, при яких значення раціонального
дробу дорівнює деякому числу або нулю.
1) При якому значенні змінної значення дробу
x 3
5
дорівнює:
а) 1; б) 0; в) –1; г) 3?
2) При яких значеннях змінної значення наведених дробів
дорівнюють нулю?
а)
y 5
8
; б)
2 3
10
y
; в)
x x
x
1
4
; г)
x x
x
3
5
; д)
х
х
2
4
2
.
2. Знаходження ОДЗ (дробового) раціонального виразу.
а)
11 1
3
x
x
; б)
3y
y y
; в)
m
m m2
2
; г)
a
a
3
1 1
.
2) Укажіть допустимі значення змінної у виразі:
а) x x2
8 9; б)
1
6 3x
; в)
3 6
7
x
; г)
x
x x
2
8
4 1
; д)
x
x
x
5
25
32
;
е)
x
x
x
x8
8
.
3) Знайдіть область визначення функції:
а) y
x
1
2
; б) y
x
x x
2 3
1
; в) y x
x
1
5
.

3. Знаходження значень дробового виразу при даних значеннях змін
ної (змінних).
Знайдіть значення виразу
x xy y
y
2 2
2
при:
а) x 44, y 4; б) x 46, y 46; в) x 125, , y 0 25, .
4. Складання виразу за текстовою умовою та обчислення значення
складеного виразу при заданих значеннях змінних.
1) Складіть вираз для розв’язання задачі.
Катер проплив 25 км за течією річки і 20 км проти течії. Знайдіть
час руху катера, якщо його швидкість у стоячій воді v км/год,
а швидкість течії річкиu км/год.
2) Складіть вираз для розв’язання задачі.
Потяг за певний час повинен був подолати шлях 250 км, рухаючись
зі швидкістю a км/год. Але через 2 год його було затримано. Тому,
щоб прибути до місця призначення вчасно, він збільшив швидкість
на 25 км/год. Знайдіть тривалість затримки.
5. Виконання вправ на перетворення цілих виразів із застосуванням
алгоритмів, вивчених у 7 класі.
Розкладіть на множники:
а) a b ab2 2
; б) x y xy3 3
; в) 7 14 212
x xy ax; г) 9 3 15xy by ay;
д) x x x x4 3 2
; е) c c c c4 3 2
2 2 ; ж) a a2 25
2 2
;
з) b b3 36
2 2
; и) 125 83
x ; к) 216 273
x ; л) a a1
3 3
;
м) b b2 8
3 3
.
6. Для учнів, які мають достатній та високий рівень знань – виконання
логічних вправ та завдання підвищеного рівня складності.
1) Складіть дріб, що містить змінну x у знаменнику і має зміст при
всіх значеннях x.
2) Доведіть тотожність:
а) a a a a a a4 2 2 2
1 1 1 ;
б) b b b b b b8 4 4 2 4 2
1 1 1 ;
в) c c c c c4 2 2
4 2 2 2 2 .
3) Знайдіть пропущений вираз:
28 a b c2 2
2 2 7 ?
Серед запропонованих чисел виберіть ті, що задовольняють умову
для дробу:
а) дріб
a
a
4
4
існує;
б) дріб
a
a
2
16
4
дорівнює нулю.
Числа: 4; –4; 16; –16.
1. Вивчити зміст умови, коли дріб дорівнює нулю, повторити озна
чення раціонального дробу, ОДЗ виразу.
2. Виконати вправи на закріплення алгоритму знаходження значень
змінних, при яких дріб дорівнює нулю та повторення алгоритму
знаходження ОДЗ виразу.
3. На повторення: повторити скорочення звичайних дробів та розкла
дання многочленів на множники, ділення степенів з натуральним
показником.
Урок № 3
Основна властивість дробу. Скорочення дробів
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту основної властивості
раціонального дробу, понять скорочення дробу та правила знаків;
сформувати вміння відтворювати зміст названих понять та використо
вувати вивчені поняття для розв’язування вправ на скорочення раціо
нальних дробів та перетворення їх за допомогою правила знаків.
Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект «Основна властивість
дробу».

Хід уроку
Тестова робота № 1
Варіант 1
1. Який із наведених виразів є раціональним дробом?
А Б В Г
2a b ab a
b
a
a2
2
2. Який із наведених виразів має зміст при будь якому значенні змінної x?
А Б В Г
x
x
2
2
x
x
1 x
x2
1
x2
4
3. При якому значенні x дріб
x
x
2
4 3
не існує?
А Б В Г
x 2 x
4
3
x
3
4
x
3
4
x
x
2
16
4
А Б В Г
4 4 –4 16
Варіант 2
1. Який із наведених виразів є цілим виразом?
А Б В Г
a
b
1 ab 1 a
a b
a
a a b
2. Який із наведених виразів має зміст при будь якому значенні змінних?
А Б В Г
x x2
3 1
3x
1
x
x
x
1
1
x
x
3
2 1
не існує?
А Б В Г
x 2 x
1
2
x 3 x
1
2
x
x
2
25
5
А Б В Г
x 5 x 5 x 5 x 25
На цьому етапі уроку буде доречним слово вчителя про те, що зви
чайні і раціональні дроби мають однакову основну властивість і загаль
ні правила виконання арифметичних дій. Зрозуміло, що роботу з вив
чення дій над раціональними дробами слід розпочинати з основної
властивості – саме її вивчення і представляє основну дидактичну мету
уроку.
Завданнями на урок є: сформулювати алгоритми застосування ос
новної властивості раціонального дробу на основі виконання дій із
многочленами.
Як варіант роботи з дітьми, які мають високий рівень інтелектуаль
ної діяльності, пропонуємо завдання.
Знайдіть значення виразів
3 9
9
2
2
a a
a
і
3
3
a
a
при a 4. Порівняйте здо
буті результати. Порівняйте вирази. Що ви помітили?
Після обговорення результатів виконаної роботи з’являється гіпо
теза про те, що значення раціональних дробів не зміниться під час ви
конання ділення або множення чисельника і знаменника дробу на

один і той самий вираз, що не дорівнює нулю. Підтвердження цієї
гіпотези і є основною метою уроку.
Для підготовки учнів до сприйняття нового матеріалу доцільно
розв’язати усні вправи на повторення алгоритмів виконання
арифметичних дій із раціональними числами, алгоритмів пере
творень цілих виразів, вивчених у 7 класі (особливо різних спо
собів розкладання многочленів на множники), а також ма
теріалу, вивченого на попередніх уроках у 8 класі (знаходження
ОДЗ раціонального виразу).
1. Скоротіть дроби:
7
21
;
17
51
;
10
15
;
72
64
.
2. Зведіть дроби до знаменника 36:
1
6
;
1
12
;
3
4
;
5
9
;
2
3
;
11
18
.
2
2
5
3
;
3 3
3
2 6
5
;
9
3
2
4
;
5
125
5
;
3 2
3 2
2 5
3 4
;
2 2
2
15 14
14
.
4. Подайте вирази у вигляді добутку:
25 2
y ; a ab2
; 8 3
x ; 1 22
a a; 3 126 2
x x ; b b10 2
.
5. Подайте число 3 у вигляді дробу зі знаменником: 2; 5; 1; 4; 10.
6. Серед виразів:
x y; x y; x y; y x; x y; x y
2
; y x
2
; x y
2
; x y
2
;
x y
3
; x y
3
; x y
3
; x y
3
знайдіть: а) тотожно рівні; б) протилежні.
Доведіть.
1. Уявлення про основну властивість звичайного дробу; її адаптація
на раціональний дріб (із доведенням).
2. Основна властивість дробу і скорочення дробів. Алгоритм скоро
чення раціонального дробу.
3. Основна властивість дробу і правило знаків.
Конспект 2
Основна властивість дробу
1. Якщо
AС
BС
— раціональний дріб, (де B 0) і C 0 — раціональний вираз.
AC
BC
A
B
— правило скорочення дробів.
Приклад. Скоротити дріб
3 9
9
2
2
a a
a
.
1) Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники:
3 3
3 3
a a
a a
.
2) Поділимо чисельник і знаменник здобутого дробу на спільний множник
a 3 ; маємо:
3
3
a
a
.
Отже:
3 9
9
3 3
3 3
3
3
2
2
a a
a
a a
a a
a
a
.
2. Якщо
A
B
— раціональний дріб (і B 0), то
A
B
A
B
A
B
A
B
— правило знаків.
Приклад. Скоротити дріб
15 5
273
c
c
.
1) Розкладемо чисельник і знаменник раціонального дробу на множники:
5 3
3 3 92
c
c c c
.
2) Помітивши, що 3 c і c 3 — протилежні вирази, скористаємось пра
вилом знаків: поміняємо, знак перед дробом, і наприклад, знак множника
3 c у чисельнику:
5 3
3 3 92
c
c c
.
3) Скоротивши даний дріб на спільний множник чисельника і знаменника
c 3 ; маємо:
5
3 92
c c
.

Отже,
15 5
27
5 3
3 3 9
3 2
c
c
c
c c c
5 3
3 3 9
5
3 92 2
c
c c c c c
.
3. Якщо
A
B
— раціональний дріб (де B 0) і C 0 — раціональний вираз, то
A
B
AC
BC
— розширення дробу (зведення дробу до нового знаменника).
Приклад. Звести дріб
7
x y
до знаменника x xy2
.
1) Розкладемо новий знаменник на множники: x x y .
2) Знайдемо додатковий множник; для цього новий знаменник поділимо
на знаменник даного дробу.
3) Помножимо чисельник і знаменник даного дробу на x (додатковий
множник):
7 7 7
2
(x
x y
x
x x y
x
x xy
.
Викладення навчального матеріалу уроку слід розпочати із фор
мулювання і доведення основної властивості раціонального дро
бу, яка подається як у математичному (
A
B
AC
BC
,
AC
BC
A
B
, де A, B,
C — деякі многочлени, причому B 0, C 0), так і в словесному
вигляді.
Доведення властивості спирається на уявлення про дріб як запис
частки від ділення двох виразів та на залежність між компонентами дії
ділення.
Після формування в учнів уявлення про «дві сторони» основної влас
тивості раціонального дробу подається назва одного з перетворень, що
входять до основної властивості дробу, – скорочення дробів; при цьому
наголошується на тому, що під скороченням дробів розуміють ділення чи
сельника і знаменника раціонального дробу на спільний множник чисель
ника і знаменника, тому скорочення раціональних дробів передбачає ви
конання певних дій у певній послідовності для виділення цього спільного
множника. Складається алгоритм скорочення раціональних дробів.
Під час розв’язування прикладів на застосування складеного алго
ритму скорочення дробів можна запропонувати вправи, що підготують
учнів до сприйняття правила знаків для раціональних дробів (або до
самостійного складання цього правила в разі високого рівня підготов
ки учнів до самостійної інтелектуальної діяльності). Після формулю
вання загального правила розглядаються приклади, під час розв’язу
вання яких необхідно використати правило знаків, та коментуються
загальні способи дій у разі застосування цього правила (якщо на опра
цювання правила знаків не вистачить часу на уроці № 3, можна
розглянути його на уроці № 4 разом із питанням про зведення дробу до
нового знаменника).
1. Які з дробів
4
2m
,
6
12m
,
2
2
m
m
тотожно рівні дробу
2
m
?
2. Назвіть спільний множник чисельника і знаменника дробу та ско
ротіть дроби:
5
15
x
y
;
ab
b4
;
m n
n n
2
2
;
m n
n n
2
2
;
18 2
4
a
a
.
3. Чи правильні рівності:
а)
3 2
6
2
2
1; б)
5 2
10
5 1
5
4
5
; в)
3
3
x y
x
y; г)
7
5
7
5
xy
xy y y
?
1. Скорочення раціонального дробу.
1.1. На одночлен.
1) Виділіть спільний множник чисельника та знаменника дробу
й скоротіть дріб:
а)
4
6
a
a
; б)
9
6
ab
b
; в)
10
15
2
2
x y
xy
.
2) Скоротіть дріб:
а)
28
35
2 2
2 3
x y
x y
; б)
24
36
2 2
b c
bc
; в)
15
40
2
2 2
mn
m n
; г)
8
12
2 4
4 3
k m
k m
.

1.2. На многочлен (який уже виділено в чисельнику і знаменнику
поданих раціональних дробів).
а)
a m n
m n
; б)
b c d
b c d3
; в)
5
15 20
k
k
; г)
m mn
mn
2
.
а)
a b
b
2
5 2
; б)
3 4
4
x
c x
; в)
ab y
a b y
3
32
; г)
15
20
a a b
b a b
.
2. Скорочення раціонального дробу з попереднім розкладанням чи
сельника і знаменника на множники.
1) Розкладіть на множники чисельник і знаменник і скоротіть дріб:
а)
6 3
8 4
a b
a b
; б)
12 16
3 4
2
2
a a
a a
; в)
a b
a b
2 2
; г)
xy x y
xy xy
2
2
.
а)
6 9
4 9
2
2 2
ab b
a b
; б)
4 25
4 20 25
2 2
2 2
c x
c cx х
; в)
2 8
2
3 3
2 2
x y xy
xy x y
.
3) Розкладіть на множники чисельник і знаменник і скоротіть дріб:
а)
3 12
6
a b
ab
; б)
15 20
10
b c
b
; в)
2 4
3 2
a
a
; г)
5 2
6 12
x y
y
;
д)
a b
a ab
3
32
; е)
3 15
5
2
x xy
x y
.
а)
y
y
2
16
3 12
; б)
5 15
92 2
x y
x y
; в)
c
c c
2
7 14
2
2
; г)
6 18
3
2
cd c
d
;
д)
a a
a
2
2
10 25
25
; е)
y
y y
2
2
9
6 9
.
3. Виконання вправ на використання правила знаків перед скорочен
ням дробів.
1) Спростіть вираз:
а)
a b
b a
; б)
a b
b a
2
2
; в)
a b
b a
2
; г)
a b
b a
2
; д)
a b
a b
2
; е)
a b
a b
2
2
.
а)
a x y
b y x
2
2
; б)
5
3
x x y
x y x
; в)
3 36
12
a
b ab
; г)
7 14
42 21
2
2
b b
b b
; д)
25
3 15
2
a
a
;
е)
3 3
2 12
x
x x
; ж)
8 8
2
2 2
2 2
b a
a ab b
; з)
b
b
2
2
3
2
.
4. Знаходження значень раціональних дробів із попереднім їх скоро
ченням.
а)
20
4
3
2 2
a b
a b
при a 48, b 16; a 4 2, , b 11;
б) 15 302 3 2
x y xy: при x 300, y 0 06, .
2) Знайдіть значення виразу
3 9
9
2
2
a a
a
при a 4; a
1
3
.
5. Виконання вправ на повторення: вправи на знаходження ОДЗ дро
бів і умови рівності дробу нулю.
а)
3 8
25
x
; б)
37
2 7y
; в)
9
72
x x
; г)
2 5
82
y
y
; д)
12
3x
; е)
45
2y
.
2) Складіть дріб зі змінною x, яка має зміст при всіх значеннях змін
ної, крім:
а) x 2; б) x 0 і x 3; в) x 3 і x 3; г) x
1
2
і x
1
2
.
6. Виконання логічних вправ та завдань підвищеного рівня склад
ності для учнів, які мають достатній та високий рівень знань.
а)
10 15
4 6
2
2
ab b
a ab
; б)
21 7
6 2
2
2
xy y
x xy
; в)
2 10
25
2
2 2
x xy
x y
; г)
6 8
9 24 16
2
2 2
p pq
p pq q
;
д)
a a
a ab a b
2
2
4 4
2 2
; е)
6 3 4 2
9 12 4
2
2
x xy x y
x x
; ж)
a ab b
a b
2 2
3 3
4 4
8
;
з)
27
18 6 2
3 3
2 2
x y
x xy y
.

a a
a
3 5
3
a 0 a2
1
a a
ab b
2
? ?
VІІ. Підсумок уроку
Яка рівність є записом правильно виконаного скорочення раціо
нальних дробів?
а)
28
14
14
7
2 2
2 3
2 2
2 3
x y
x y
x y
x y
; б)
28
14
22 2
2 3
2 2
2 3
x y
x y
x y
x y
; в)
28
14
22 2
2 3
2
3
x y
x y
y
y
;
г)
28
14
22 2
2 3
x y
x y y
.
1. Вивчити зміст основної властивості дробу та алгоритму її застосу
вання для скорочення раціональних дробів.
2. Розв’язати вправи на скорочення дробів (рівня, що відповідає
вправам класної роботи).
3. На повторення: знаходження значень змінних, при яких дріб дорів
нює нулю, та повторення алгоритму знаходження ОДЗ виразу.
Урок № 4
Основна властивість дробу. Зведення дробів до нового
знаменника
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту основної властивості
раціонального дробу (у двох варіантах) та схеми її доведення, змісту
поняття «скоротити раціональний дріб» та алгоритму скорочення
раціонального дробу, а також правила знаків для раціональних дробів;
сформувати вміння відтворювати названі властивості й використову
вати ці властивості та алгоритми для розв’язування вправ.
Тип уроку: засвоєння знань та вмінь, відпрацювання навичок.
Наочність та обладнання: опорний конспект «Основна властивість
дробу».
Хід уроку
1) Розв’язування вправ домашнього завдання у формі самопере
вірки за зразком.
2) Сильні учні під час перевірки виконують індивідуальні завдання.
Картка 1
1. Виконайте скорочення дробів:
а)
b b
b
14 7
21
1
1
; б)
x y z y x z
x y z y x z
2 2
.
2. Доведіть тотожність a a a a a a4 2 2 2
1 1 1 .
Картка 2
1. Виконайте скорочення дробів:
а)
x
x x x
33
33 22 11
1
; б)
a b b a
a b b a
1 1
1 1
2 2
.
2. Доведіть тотожність b b b b b b8 4 4 2 4 2
1 1 1 .
Мета уроку стає цілком зрозумілою після роботи з матеріалом по
переднього уроку (див. урок 3), в ході якого було зроблено акцент на
тому, що основна властивість дробу може мати дві форми запису. Як
що одна з них є записом у буквеному вигляді правила скорочення
дробів, то інша не була вивчена на попередньому уроці. Усвідомлення
цього факту дає можливість сформулювати мету уроку – вивчення
змісту дії з раціональними дробами, що виражається формулою
A
B
AC
BC
, складання алгоритму виконання цієї дії, а також формування
вмінь застосовувати складений алгоритм на практиці.
З метою успішної роботи учнів із навчальним матеріалом уроку
слід попередньо розв’язати усні вправи, що передбачають по
вторення алгоритмів виконання зведення звичайних дробів до
нового знаменника, різних способів розкладання цілих виразів

на лінійні множники, а також на повторення алгоритмів, вив
чених на попередніх уроках.
1. Скоротіть дроби:
6
18
;
18
36
;
18
24
;
36
24
.
2. Зведіть дріб до знаменника 48:
1
6
;
1
12
;
3
4
;
5
8
;
2
3
;
11
16
.
3. Подайте число 5 у вигляді дробу зі знаменником: 2; 5; 1; 10; n.
4. Подайте вирази у вигляді добутку: 5 10x y; x2
16; 22 112
y y;
y y5 7
; 5 15x ;16 2x xy; 8 3
y ; 3 32 4
y y .
5. Знайдіть пропущені числа (щоб рівності були правильними):
а)
5
10 2
2
3
x y
x y
x
y* *
; б)
3 3 32 2
m n
m n
m n
m n*
.
1. Основна властивість дробу для зведення (раціональних) дробів до
нового знаменника.
2. Алгоритм зведення раціонального дробу до нового знаменника.
3. Приклади застосування алгоритму.
Вивчення матеріалу уроку починається із формулювання пра
вила зведення (з використанням опорного конспекту 2) раціо
нального дробу до нового знаменника у формах словесній та
тотожності
A
B
AC
BC
, яка доводиться з допомогою тих самих
властивостей, що були використані на попередньому уроці під
час доведення правила скорочення раціональних дробів (див.
урок 3).
Далі виконується робота зі складання алгоритму (орієнтовної схе
ми дій) при зведенні раціонального дробу до нового знаменника. Під
час складання алгоритму слід зробити акцент на таких моментах:
Так само як і в разі зведення звичайних дробів, під час зведення
раціональних дробів до нового знаменника слід розуміти, що зведен
ня можливе лише у випадку, якщо новий знаменник «ділиться» на
старий (у випадку раціональних дробів це означає, що розклад
«нового» знаменника на множники має містити всі множники, які
є в розкладі на множники «старого» знаменника);
так само як і в разі зведення звичайних дробів, під час зведення
раціональних дробів до нового знаменника слід спочатку знайти до
датковий множник для даного дробу;
на відміну від випадку зведення звичайних дробів до нового знамен
ника під час зведення до нового знаменника раціонального дробу
додатковий множник зазвичай знаходять не діленням знаменників,
а розклавши знаменники (новий і старий) на множники та порівняв
ши здобуті розклади (у випадку якщо знаменники є одночленами,
можна виконати ділення нового знаменника на старий, записавши
частку у вигляді дробу та скоротити її).
Зрозуміло, що усвідомленому сприйняттю учнями всіх сформульо
ваних положень сприятиме демонстрація достатньої кількості при
кладів застосування складеного алгоритму.
VІ. Формування вмінь
1. Назвіть чисельник і знаменник раціонального дробу:
а)
a
a b
; б)
a b
b
2 2
; в)
x y
x y
3 3
; г)
a b
a b
2
2 3
3
.
Які з поданих дробів можна звести до знаменника:
2 2 3
a b ; 6 3 2
a b ; 9 3 4
a b ; 2 a b ; a b a b ; x y
2
; x y a b ?
2. Заповніть пропуски так, щоб рівності були правильними:
а)
x
a b a b2
; б)
y
x x x1 1 1
; в)
p
p p2 2
2
;
г)
2
3 9
2 3
2 4 2
a m n
m n m n
.
3. Знайдіть додатковий множник для зведення дробу:
а)
11
b
до знаменника b2
; б)
3
2
x
y
до знаменника 4xy;
в)
a
a 10
до знаменника 10 a; г)
a
a 10
до знаменника a 2
100.

1. Розкладання многочленів на множники.
1) Розкладіть на множники:
а) a b ab2 2
; б) x y xy3 3
; в) 7 14 212
x xy ax; г) 9 3 15xy by ay;
д) x x x x4 3 2
; е) c c c c4 3 2
2 2 ; ж) a a2 25
2 2
;
з) b b3 36
2 2
; и) 125 83
x ; к) 216 273
x ; л) a a1
3 3
;
м) b b2 8
3 3
.
2. Запис цілого виразу у вигляді дробу з поданим знаменником.
1) Подайте вираз 2a b у вигляді дробу зі знаменником, що до
рівнює:
а) b; б) 5; в) 3a; г) 2a b.
3. Зведення дробу до заданого знаменника (який вже розкладено на
множники і такого, який потребує попереднього розкладання на
множники).
1) Зведіть дроби:
5
8 3
b
a
;
7
3 2
a
b
;
1
2ab
;
2
2 2
a b
до знаменника 24 3 2
a b .
2) Зведіть дріб:
а)
x
a b
до знаменника a b
2
; б)
y
x a
до знаменника x a2 2
;
в)
2
1
y
x
до знаменника x3
1; г)
3
2 2
a
a ab b
до знаменника a b3 3
;
д)
7
y b
до знаменника b y; е)
a
a 10
до знаменника 10 a;
ж)
p
p 2
до знаменника 4 2
p ; з)
a
a
3
6 2
a .
3) Зведіть дріб:
а)
7
x y
до знаменника x xy2
; б)
2
x y
до знаменника x xy y2 2
2 ;
в)
c
a b
до знаменника a b2 2
; г)
n
m n
до знаменника m n3 3
.
4. Перевірити, чи можна поданий раціональний дріб звести до даного
знаменника, і якщо це можливо, то виконати зведення до цього
знаменника.
5. Виконання вправ на повторення: скорочення дробів (знайти зна
чення дробу, попередньо скоротивши його; доведення тотожнос
тей, складених із двох раціональних дробів), а також на повторення
алгоритму знаходження ОДЗ дробового виразу.
а)
ax cx ay cy
cx cy
; б)
b ab a
a ab ax bx
2 2
2
2
; в)
8 4
2 22
a b
ab b ad bd
.
2) Знайдіть значення дробу:
а)
15 10
3 2
2
2
a ab
ab b
при a 2, b 01, ; б)
9 4
18 12
2 2
2 2
c d
c d cd
при c
2
3
, d
1
2
;
в)
6 12
5 10
2
2
x xy
xy y
при x
2
3
, y 0 4, ; г)
x xy y
x xy
2 2
2
6 9
4 12
при x 0 2, , y 0 6, .
6. Виконання логічних вправ та завдань підвищеного рівня складності.
1) Скоротіть дріб (n — натуральне число):
а)
13824
15552
2
x
x
n
n
; б)
2045
1755 2
x
x
n
n
; в)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 2
2
; г)
y y y
y y
3 2
2
2 2
2
.
2) Доведіть тотожність:
а)
ab a b
ab a b b
a a
a ab a b
3 5 15
3 3
10 25
5 52
2
2
;
б)
2 3 2 3
2 3 4 6
3 2 3 2
3 2 6 4
xy y x
xz z x
xy y x
xz z x
.
16
24
24
36
14
21
12
18
a b
a b
5 5
3 6
a
a b
7
5
a b
ab
3 3
4
2
3
?

З метою попередження типових помилок із самого початку слід
звертати увагу учнів на те, що під час запису добутку чисельника та
знаменника раціонального дробу на додатковий множник слід викону
вати правила запису добутку многочлена на одночлен і многочлена на
многочлен (тобто многочлен, що є множником, записувати в дужках).
Чи правильно виконано зведення дробів до нового знаменника?
Якщо ні – виправте помилку.
8
3
23
15
15
2 2 2
xy
x y
xy
x y
;
a
a
a
a a
a
2 2
2
2
;
a
a
a a
a
a4
2
4
4
16
.
1. Повторити формулювання основної властивості дробу, її записи
для випадку скорочення дробів та для випадку зведення дробів до
нового знаменника.
2. Виконати вправи, що передбачають: зведення дробів до нового зна
менника; скорочення дробів.
3. На повторення: вправи на знаходження ОДЗ дробових виразів та
використання умови рівності дробу нулю (підготуватись до само
стійної роботи з теми «Дроби. Основна властивість дробу».
Урок № 5
Додавання і віднімання дробів з однаковими
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту правила та алгоритму
додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменни
ками та схеми доведення цього правила; сформувати вміння відтворю
вати вивчені правила та алгоритми, а також виконувати дії відповідно
до вивчених правил та алгоритмів для виконання додавання і відніман
ня раціональних дробів з однаковими знаменниками.
Тип уроку. Засвоєння знань та вмінь
Наочність та обладнання: опорний конспект «Додавання і відніман
ня дробів».
Хід уроку
Самостійна робота № 1 (із наступною перевіркою)
Варіант 1 Варіант 2
1. Скоротіть дріб:
а)
14
49
3
b
b
; б)
x
x
2
16
4 16
; в)
y y
y
2
2
2 1
1
;
г)
x x x
x
3 2
3
3 2 6
27
.
2. Зведіть дріб:
а)
x
y2 2
xy ;
б)
5
m n
до знаменника m n2 2
;
в)
x
x y3 3
до знаменника
3 6 32 2
x xy y
а)
16
20 4
b
b
; б)
4 12
92
x
x
; в)
4
4 4
2
2
y
y y
;
г)
x
x x x
3
3 2
8
2 2
.
2. Зведіть дріб:
а)
m
n3 3
mn ;
б)
3
x y
до знаменника x y2 2
;
в)
m
m n2 2
до знаменника
2 4 22 2
m mn n
ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку
З метою свідомої участі учнів у формулюванні мети уроку можна
провести бесіду, під час якої запропонувати учням відповісти на такі
запитання:
Які дроби називаються звичайними?
Які дії зі звичайними дробами ви навчилися виконувати в 6 класі?
Які дроби називаються раціональними? Чим схожі раціональні дро
би на звичайні, а чим вони відрізняються?
Які дії з раціональними дробами ви навчилися виконувати у 8 класі?
Чи схожі формули, що виражають алгоритми вивчених дій із ра
ціональними дробами, на відповідні формули для звичайних
дробів?
Після закінчення бесіди учні мають усвідомити мету уроку: сфор
мулювати і довести правила додавання і віднімання раціональних

дробів з однаковими знаменниками та сформулювати вміння їх за
стосовувати на практиці.
З метoю успішного оволодіння учнями навчальним матеріалом
уроку перед його вивченням слід активізувати знання і вміння
школярів щодо виконання скорочення, додавання та відніман
ня звичайних дробів; перетворення цілих виразів (додавання
і віднімання многочленів, розкладання многочленів на множ
ники), а також скорочення раціональних дробів.
2
7
1
7
;
2
7
1
7
;
11
15
1
15
;
13
18
5
18
.
2. Подайте у вигляді добутку:
25 2
y ; a ab2
; 8 3
x ; 1 22
a a; 3 126 2
x x ; b b10 6
.
3. Серед виразів знайдіть пари рівних (для зайвого — складіть тотож
но рівний вираз):
а) x y a b ; б) x y a b; в) x y a b; г) x y a b;
д) x y a b .
1. Правило додавання раціональних дробів з однаковими знаменни
ками та його доведення. Алгоритм виконання додавання раціо
нальних дробів з однаковими знаменниками.
2. Правило віднімання раціональних дробів з однаковими знаменни
ками та його доведення. Алгоритм виконання віднімання раціо
нальних дробів з однаковими знаменниками.
3. Приклади застосування складених алгоритмів.
Конспект 3
Додавання і віднімання раціональних дробів
1. Дроби з однаковими знаменника додають (віднімають) за правилом, що
записують формулою:
Для будь яких A, B, C, де C 0 правильні рівності:
A
C
B
C
A B
C
;
A
C
B
C
A B
C
2. Дроби із протилежними знаменниками додають (віднімають) за прави
лом, що виражається формулою:
Для будь яких A, B, C, де C 0 правильні рівності:
A
C
B
C
A
C
B
C
A B
C
;
A
C
B
C
A
C
B
C
A B
C
3. Дроби із різними знаменниками додають (віднімають за правилом, що
виражається формулою:
Для будь яких A, B, C і D, де B 0 і D 0 правильні рівності:
A
B
C
D
AD
BD
BC
BD
AD BC
BD
D B( (
Причому BD — найменший спільний знаменник дробів
A
B
і
C
D
.
!Зауваження. Після запису суми (або різниці) раціональних дробів у вигляді
дробу необхідно цей дріб скоротити (записувати раціональним дробом
залежно від умови завдання)

Вивчення матеріалу уроку починається із формулювання пра
вила додавання раціональних дробів з однаковими знаменни
ками у словесній формі та у вигляді тотожності
A
C
B
C
A B
C
.
Після цього здійснюється доведення складеного правила із вико
ристанням властивостей, що були використані під час доведення
основної властивості раціонального дробу (див. урок 3, 4).
На підставі доведеного правила далі складається орієнтовна схема
дій (алгоритм) під час додавання раціональних дробів з однаковими
знаменниками, причому, складаючи алгоритм, бажано звертати увагу
учнів як на схожі, так і на відмінні риси алгоритмів додавання і віднi
мання звичайних та раціональних дробів. (Спільне – правило, відмін
не – виконуючи дії додавання чисельників цих дробів, слід корис
туватися правилом додавання многочленів).
Після закінчення вивчення питання про додавання раціональних
дробів з однаковими знаменниками слід розглянути приклади на за
стосування складеного алгоритму.
Вивчення питання про віднімання раціональних дробів з однаковими
знаменниками здійснюється за такою самою схемою, як і додавання
раціональних дробів (див. вище).Тому, за умови високого рівня інтелек
туальної активності учнів, цей фрагмент уроку можна провести у формі
самостійної роботи з вивчення нового матеріалу за готовим планом.
1. Перетворіть у дріб вираз:
а)
x
5
1
5
; б)
15
1
7
1a a
; в)
x x3
11 11
; г)
10
2
2
2y y
;
д)
8 3
x x
; е)
a
a b
a
a b
1
.
а)
a
a
4
3
; б)
x
x
6
12
; в)
x y
x y
2 4
6 2
; г)
a a
a
2
2
; д)
x
x
4
162
; е)
y
y
2
2
1
1
.
3. Знайдіть допустимі значення змінної у виразах:
x2
9;
3
6x
;
y
y y 3
;
x
x
1
42
;
a 4
5
;
7
252
y
.
1. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знамен
никами (на пряме застосування алгоритмів).
1) Виконайте додавання (віднімання) дробів:
а)
2 3b
a
b
a
; б)
5 3
3 1
7 1
3 1
n
n
n
n
; в)
2 3 4 3a
xy
a
xy xy
; г)
6
5
3
5
a
p
a
p
;
д)
3
9
3
9
a
a
a
a
; е)
9
7
2
7b
b
b
.
а)
7 2
4 1
5 2
4 1
x
x
x
x
; б)
a b
a b
a b
a b
3 3
; в)
a
a
a
a
3
3 1
5 1
3 1
;
г)
6
2
12
2
p
p p
; д)
5 5a
a b
b
a b
; е)
x
x y
x
x y
4
2
3 4
2
.
2. Перетворення суми або різниці раціональних дробів у раціональ
ний нескоротний дріб (на застосування алгоритмів додавання
і віднімання разом з алгоритмом скорочення раціональних дробів).
а)
b
b
b
b
3
4
3 1
4
при b 3; б)
7 1
3
1
3
2 2
a
a
a
a
при a 0 28, .
а)
16
4 4
2
x
x
x
; б)
25
5 5
2
a
a
a
; в)
3 1 3 1
2 2 2 2
a
a b
b
a b
;
г)
x
x x
3
64
11
642 2
; д)
2 2 5
2 2
a b
a b
b a
a b
; е)
13 6 11 4
2 2
x y
x y
x y
x y
.
3. Знаходження значень дробового виразу з попереднім спрощенням
його.
Знайдіть значення виразу:
а)
x
x x
2
1
3
10
3
при x 97; б)
y
y
y
y
7
25
2 2
252 2
при y 51, .
4. Виконання вправ на повторення: зведення дробу до нового знамен
ника, знаходження ОДЗ раціонального дробу, знаходження зна
чень змінних, при яких раціональний дріб дорівнює нулю.

а)
99
22
x
y
; б)
216
180
bc
ac
; в)
405
25
ac
ay
; г)
18
180
abc
ac
; д)
35
28
5 4
4 8
a y
a y
; е)
7
14
4 4
4 14
x y
x y
.
а)
17 34
17 34
xy
xy
; б)
3 3
9 9
2
2 2
a c
a c
; в)
2 2
2 2
2 2
2
b a
a b
; г)
a
a
2 2
3
9
3
; д)
x
x
2
3
100
1000
;
е)
8 1
4
3
3
y
y y
; ж)
2
0 52
x y
x xy,
; з)
5 3
0 36
2
2 2
a ab
a b,
.
3) Укажіть область допустимих значень виразу:
а)
1
2x
; б)
3
5
x
x
; в)
7 1
2 6
x
x
.
ності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.
а)
x
x x
x
x x
2
2
4
2
1
1 1
; б)
a x
a x
a x
a x
4 4
3 3
2 2
3 3
.
Указівка. а) Многочлен x x4 2
1 можна розкласти на множники,
записавши його у вигляді x x x4 2 2
2 1 .
2) Початок дня ранок
b c
b c
b c
b c
2 2
9
3 2
2 3
2 3
?
Вправи, що пропонуються для розв’язування на цьому уроці, мають
сприяти формуванню стійких навичок додавання і віднімання у простих
випадках (при цьому відпрацьовується важливий момент: правильний
запис суми і найголовніше – різниці чисельників — многочленів пода
них дробів у вигляді суми або різниці многочленів із наступним пере
творенням записаного виразу в многочлен стандартного вигляду. Підго
товча робота проводиться під час виконання усних вправ).
Після успішного опрацювання правил додавання і віднімання
у простих випадках учні можуть поступово переходити до сумісного за
стосування двох правил: правил додавання (віднімання) і скорочення
дробів. У більш складній ситуації деякі учні можуть припускатись по
милки, що пов’язана зі скороченням дробу на доданок. Тому вже під
час розв’язування перших вправ від учнів слід вимагати чіткої
послідовності дій:
перетворити вираз у дріб;
якщо можливо, розкласти на множники чисельник і знаменник;
виконати скорочення, якщо в чисельнику і знаменнику дробу є спіль
ні множники.
Чи правильно виконано дії? Знайдіть і виправте помилку.
а)
2 3 5
2
a
b
a
b
a
b
; б)
9
7
2
7
9 2
7
11
7b
b
b
b
b
b
b
;
в)
6 1
1
4
1
m
m
m
m
6 1 4
1
5 3
1
8
m m
m
m
m
.
1. Вивчити правила додавання і віднімання раціональних дробів з од
наковими знаменниками (із доведенням для сильних учнів).
2. Виконати вправи на застосування вивчених на уроці алгоритмів
(рівень складності завдань відповідає рівню складності завдань
класної роботи).
3. На повторення: вправи на застосування правила знаків (тема
«Основна властивість дробу»).
Урок № 6
Додавання і віднімання дробів з однаковими
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту правила додавання і від
німання раціональних дробів з протилежними знаменниками та схеми
його застосування; cформувати вміння відтворювати ці правила та за
стосовувати їх для перетворення суми або різниці дробів із протилеж
ними знаменниками на раціональний дріб, удосконалити вміння
застосовувати правило знаків та алгоритм скорочення раціональних
дробів.
Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.
Наочність та обладнання: опорний конспект «Додавання і відніман
ня раціональних дробів».

Хід уроку
1. Виконання письмових вправ перевіряємо тільки в учнів, які потре
бують додаткової педагогічної уваги (зібрати зошити або дати за
вдання перевірити сильним учням за зразком).
2. Тестова робота № 2
Варіант 1
1. Чому дорівнює різниця
b
a b
a
a b
?
А Б В Г
a b
a b
2 2
–1 1 a b
a b
2. Виконайте віднімання:
x
x
x
x
2 2
3
2
2 1
2
.
А Б В Г
2 x 2 x 2
2
2
x
x
2
2
2
x
x
3. Спростіть вираз
m m
m
m
m
2
2 2
10
64
6 64
64
.
А Б В Г
m
m
8
8
1
8m
m
m
8
8
1
8m
Варіант 2
1. Чому дорівнює різниця
x
x y
y
x y
?
А Б В Г
x y
x y
x y
x y
2 2
1 –1
2. Виконайте віднімання:
2 7
3
3 2
3
2 2
x
x
x
x
.
А Б В Г
5
3
2
x
x
5
3
2
x
x
3 x 3 x
3. Спростіть вираз
n n
n
n
n
2
2 2
20
81
2 81
81
.
А Б В Г
1
9n
n
n
9
9
n
n
9
9
1
9n
З метою створення позитивної мотивації діяльності учнів та усвi
домлення змісту навчальної проблеми, винесеної на урок, можна за
пропонувати учням розв’язання двох завдань, пов’язаних за змістом:
одне із завдань передбачає виконання дій у стандартній ситуації, що
розглядалася на попередньому уроці (додавання або віднімання раціо
нальних дробів з однаковими знаменниками), а друге – виконання дій
у зміненій ситуації (віднімання або додавання двох дробів, один з яких
дорівнює першому дробу з першого завдання, а другий дріб має зна
менник, протилежний знаменнику другого дробу з першого завдання).
Якщо матеріал попередньої теми опрацьовано добре (і правильно ви
конана відповідна частина домашнього завдання), то під час порівнян
ня умов завдання № 1 і № 2 учні мають побачити, що знаменники цих
дробів є протилежними виразами, а тому сформулювати проблему:
«Чи можна правила додавання і віднімання раціональних дробів з од
наковими знаменниками застосувати у випадку, якщо знаменники
раціональних дробів є протилежними виразами? Якщо це можливо, то
як це можна зробити»? Звісно, пошук відповіді на це запитання і ста
новитиме основну дидактичну мету уроку.

З метою успішного сприйняття матеріалу перед вивченням пи
тання уроку слід активізувати знання і вміння учнів щодо пере
творень цілих виразів, знаходження виразу, протилежного да
ному, властивості степенів протилежних виразів із парним (або
непарним) показником, а також скорочення раціональних
дробів та перетворення суми або різниці раціональних дробів
у раціональний дріб.
1. Укажіть допустимі значення змінних виразу:
а) x2
1; б)
3
12
x
; в)
x
x 1
; г)
x
x x 1
; д)
x
x2
1
.
2. Виконайте дії:
а)
m n
3 3
; б)
3 2
m m
; в)
x
y
x
y
2
; г)
m
m m1
1
1
; д)
m
m
m
m
2
2 2
1
2 1
1
.
3. Чи є тотожністю рівність:
а)
1 1a
a b
a
a b
; б)
a
a b
a
a b
1 1
; в)
a
a b
a
a b
1 1
;
г)
a
a b
a
b a
1 1
2 2
; д)
a
a b
a
b a
1 1
3 3
?
1. Правило додавання і віднімання раціональних дробів з протилеж
ними знаменниками. Алгоритм перетворення.
2*. Зворотне перетворення раціонального дробу в суму або різницю
раціональних дробів з тим самим знаменником.
3. Приклади застосування вивчених алгоритмів.
Формулювання правила додавання і віднімання раціональних
дробів з протилежними знаменниками після виконаної роботи
з повторення не викликає труднощів і може бути сформульо
ване самими учнями як словесно, так і у вигляді формули
A
B
C
B
A
B
C
B
A C
B
,
яка справджується при всіх допустимих значеннях змінних
у виразі. Зазначене правило не потребує доведення, тому після
його формулювання складаємо схему дій та ілюструємо її за
стосування прикладами. Особливу увагу звертаємо на ряд ви
падків, про які слід поговорити окремо: випадки додавання або
віднімання раціональних дробів, знаменники яких є степенями
протилежних виразів.
Під час розв’язування деяких завдань достатнього та високого
рівнів складності доречно виконати перетворення раціонального дро
бу в суму або різницю цілого виразу та раціонального дробу. Тому вже
на цьому уроці можна розглянути з учнями перетворення, що вира
жається тотожністю
A B
C
A
C
B
C
. Застосування цієї тотожності де
монструється у процесі розв’язуванні відповідних прикладів.
VІ. Засвоєння умінь
1. Перетворіть у дріб вираз:
а)
10
2
2
2y y
; б)
a
a b
a
b a
1
; в)
1 2
3 3
m n n m
;
г)
1 2
2 2
m n n m
.
2. Доведіть, що при будь яких значеннях a додатним є значення виразу:
a
a
a
a
2
2
2
2
3
1
3
.
3. Скоротіть дріб: а)
6
8
2
6
x
x
; б)
7
14
a b
b a
; в)
x cx
x
2
3
; г)
y
y
2
4
4 8
.
Вправи, що пропонуються для розв’язання на цьому уроці, ма
ють сприяти формуванню сталих навичок:
додавання та віднімання дробів з протилежними знаменниками (із
використанням правила знаків та правил додавання і віднімання
раціональних дробів з однаковими знаменниками);

застосовування правила додавання і віднімання раціональних дробів
з однаковими знаменниками «справа наліво» для виділення з дробу
цілого виразу.
Для реалізації дидактичної мети уроку на цьому уроці слід розв’я
зати завдання такого змісту.
1. Перетворення у раціональний дріб суми або різниці раціональних
дробів із протилежними знаменниками у раціональний дріб.
а)
c c
c c
2
2
1
1
1
; б)
a
a
a
a
5 3
1 1
; в)
b
b
b
b
2
2 2
9
9
6
9
;
г)
12
3
4
3
4
2 4
2 3
2 4
a
a b b
a b
a b b
.
а)
x
y y1
5
1
; б)
a
c c3
6
3
; в)
2 2m
m n
n
n m
; г)
5
2
10
2
p
q p
q
p q
;
д)
a
a
a
a
2
16
4
8
4
; е)
x y
x y
xy
y x
2 2
9
3
6
3
.
3) Доведіть, що при всіх допустимих значеннях x значення виразу
не залежить від x: а)
3 5
2 1
7 3
1 2
x
x
x
x
; б)
5 1
5 20
17
20 5
x
x
x
x
.
2. Перетворення суми або різниці раціональних дробів (знаменники
містять степені протилежних виразів) у раціональний дріб.
Спростіть вираз:
а)
x
x x
2
2 2
5
25
5
; б)
x
x
x
x
2
3 3
25
5
10
5
.
3. Запис раціонального дробу у вигляді суми або різниці цілого виразу
й раціонального дробу.
1) Користуючись тотожністю
a b
c
a
c
b
c
, подайте дріб у вигляді
суми дробів: а)
a b
x
; б)
2 2
a a
y
; в)
x y
xy
2 2
6
2
; г)
12
6
2
a y
ay
.
2) Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого числа і дробу:
а)
3 8
2
x
x
; б)
5 5 2m n
m n
; в)
4 5
2
y
y
; г)
2 x y
x y
.
4. Виконання вправ на повторення: знаходження суми або різниці ра
ціональних дробів з однаковими знаменниками, скорочення раціо
нальних дробів, знаходження ОДЗ раціонального дробу.
а)
ax cx ay cy
cx cy
; б)
b ab a
a ab ax bx
2 2
2
2
; в)
8 4
2 22
a b
ab b ad bd
.
а)
14 63
4 812 2
b c
b c
; б)
3 12
8 162
kn n
k k
; в)
6 2
9
2
2 3
mn m
mn m
; г)
15 5
273
c
c
;
д)
x y
xy x y y
2 2
2
; е)
a ac bc ab
a b abc
2
2
.
а)
99
22
x
y
; б)
216
180
bc
ac
; в)
405
45
ac
ay
; г)
18
180
abc
ac
; д)
35
28
5 4
4 8
a y
a y
; е)
7
14
4 4
4 14
x y
x y
.
ності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.
1) Відомо, що a b 9. Знайдіть значення дробу:
а)
36
2
a b
; б)
108
2
b a
; в)
5 5
45
2
a b
; г)
a ab b
a b
2 2
3 3
.
2a b
a b
a
b a
?
Серед наведених рівностей виберіть правильну. Поясніть свій вибір.
1)
a
a
a
a
a a
a
a
a
2 2
2
16
4
8
4
16 8
4
4
4
;
2)
b
b
b
b
b
b
b
b
2 2
9
3
6
3
9
3
6
3
b b
b
b
b
b
2
2
9 6
3
3
3
3.
3)
x xy
xy
x
2
2
1.

8 алг бабенко_пособ_2009_укр

8 алг бабенко_пособ_2009_укр

More Related Content

8 алг бабенко_пособ_2009_укр