Svoboda | Graniru | BBC Russia | Golosameriki | Facebook
SlideShare a Scribd company logo

рівняння нерівності з параметрами

•Download as PPT, PDF•
•

Рівняння-нерівності з параметрами

1 of 27
Методика розв’язування рівнянь і нерівностей, що містять параметр Попова Т.В., викладач кафедри методики природничо-математичної світи «Харківська академія неперервної освіти» 2016
ОРІЄНТОВНИЙ ПЛАН • Понятійний апарат • Класифікація задач з параметром • Методи розв'язування задач з параметром  Графічний метод  Аналітичний метод  Графоаналітичний метод (с) Т.В. Попова
СЕМАНТИКА 3 •ПАРАМЕТР (від грец. Parametron - відмірюють) в математиці, величина, числові значення якої дозволяють виділити певний елемент (напр., криву) з безлічі елементів (кривих) того ж роду. (с) Т.В. Попова
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ • Рівняннями з параметрами називаються рівняння виду f(x;a1;a2;a3;…;an) = 0, де х – шукане невідоме, а a1;a2;a3;…;an – змінні параметри. • Допустимі значення параметрів a1;a2;a3;…;an – при яких вираз f(x;a1;a2;a3;…;an) має зміст при деяких значеннях х. • Розв’язати рівняння з параметром означає знайти всі його розв’язки для кожної системи допустимих значень параметра. При розв’язуванні рівнянь з параметром область визначення параметра може бути заданою. Якщо не вказані межі заміни параметра, то вважається, що параметр набуває всіх своїх допустимих значень. (с) Т.В. Попова
КЛАСИФІКАЦІЯ • За характером заданого питання: - повні - часткові • За видом: - рівняння з одним невідомим, - нерівність або система нерівностей з кількома невідомими, - задачі на дослідження функції, - текстова задача, - задачі на прогресію, (с) Т.В. Попова
• За типом функцій: лінійні, раціональні, ірраціональні, квадратні, показникові, логарифмічні, тригонометричні, змішані. • За методами розв'язання: - графічний - аналітичний КЛАСИФІКАЦІЯ (с) Т.В. Попова
МЕТОДИ Методи розв’язування рівнянь в шкільному курсі математики: розкладання на множники заміна змінної піднесення до степеня графічний (с) Т.В. Попова
МЕТОДИ Методи розв’язування систем рівнянь в шкільному курсі математики: підстановка алгебраїчне додавання введення нових змінних метод Гауcса множення і ділення графічний (с) Т.В. Попова
Графічний метод два основні прийоми: 1 – Побудова графічного образу на координатній площині (x;y), 2 – Побудова графічного образу на координатній площині (x;а). (с) Т.В. Попова
Етапи розв’язування рівнянь : 1) Знаходимо область допустимих значень невідомого і параметрів, що входять до рівняння (область визначення рівняння); 2) Виражаємо параметр а як функцію від х; 3) В системі координат хоу будуємо графік функції а=f(х) для тих значень х, які входять до області визначення даного рівняння. 4) Знаходимо точки перетину прямої а = с, де с належить проміжку (–∞; ∞) з графіком а = f(х). Можливі випадки • пряма а = с не перетинає графік функції а = f(х). (При цьому значенні а рівняння розв’язків не має); • пряма а = с перетинає графік а = f(х). (Тоді визначаємо абсциси точок перетину, для цього достатньо розв’язати рівняння а = f(х) відносно х.) 5) Записуємо відповідь. Графічний метод - 1 (с) Т.В. Попова
При побудові графічного образу в площині (х;а): • встановлюють ОДЗ змінної; • встановлюють ОДЗ параметрів; • виражають параметр а як функцію від х; • перетинають отриманий графік прямими, перпендикулярними до параметричної осі; • записують потрібні результати. Графічний метод -2 (с) Т.В. Попова
Аналізуючи графічні образи, школяр: • встановлює розгалуження розв'язків, • записує розв’язки , • відтворює динаміку перетворення площини Переваги графічного методу Недоліки графічного методу втрачається головна дидактична цінність задач з параметрами як моделі мініатюрного дослідження. (с) Т.В. Попова
Аналітичний метод • Суть такого методу полягає в тому що спочатку шукається повне розв’язання задачі, а потім, виходячи з явного виразу розв’язку через параметр, визначається значення параметра, при яких розв’язок задовольняє заданим умовам. NдлядостатнєMNтоMякщо MдлянеобхіднеNтоNМЯкщо − −⇒ )( , (с) Т.В. Попова
Приклад-1.1 У залежності від значень параметра а визначити число коренів рівняння 01)21( 224 =−+−+ axax Нехай: Тоді:1) Якщо ,2 xy = 01)21( 22 =−+−+ ayay 2) Якщо 3) Якщо або 4) Якщо 5) Якщо або 01 =y 02 >y 01 <y 02 >y 0=D 01 =y 02 <y 01 >y 02 >y 01 <y 02 <y 0<D 4 корені 3 корені 2 корені 1 корінь нема коренів yx ±=2,1 (с) Т.В. Попова
При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язок? 1) ОДЗ: 5log25log)lg2(log1 5 xxxa ⋅=−⋅+    ⋅< ≠> ax xx lg2 1;0 Приклад-1.2 (с) Т.В. Попова
04.01.18 16 Приклад-1.3 1) ОДЗ: a>0; a≠1 3)Нехай тоді хоча б один корінь на відрізку [0;1] 10,cos2 ≤≤= ttx 0)5(62 =−++ att (с) Т.В. Попова
Приклад-2.1 •Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння були додатні 02 =++ cbxax 02 =++ cbxax ⇒ ⇒ acbD 42 −= ⇒ a c xx =⋅ 21 ⇒ a b xx −=+ 21 042 ≥− acb a c a b − > 0 > 0 М Умова додатності коренів (с) Т.В. Попова
М 0>− a с 0≠а 0<− a b Приклад-2.2 • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння були від'ємні 02 =++ cbxax ⇒ ⇒ ⇒ acbD 42 −= a c xx =⋅ 21 a b xx −=+ 21 042 ≥− acb Умова від'ємності коренів (с) Т.В. Попова
Приклад-2.3 • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння були різного знаку 02 =++ cbxax М ⇒ ⇒ ⇒ acbD 42 −= a c xx =⋅ 21 a b xx −=+ 21 042 >− acb a c < 0 Умова різнознаковості коренів (с) Т.В. Попова
М Приклад-2.4 • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння належали вказаному проміжку ( p; q ) 02 =++ cbxax ⇒ ⇒ ⇒ f(p) f(q) ⇒ acbD 42 −= q a b p < − < 2 042 ≥− acb аf(p)>0 аf(q)>0 q a b p < − < 2 Умова належності коренів проміжку (с) Т.В. Попова
acbD 42 −= • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб кожний корінь рівняння належав вказаному проміжку ( p; r ) та ( r; q ) відповідно Приклад-2.5 02 =++ cbxax М ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ f(p) f(q) q a b p < − < 2 f(r) 042 >− acb аf(p)>0 аf(q)>0 аf(r)<0 q a b p < − < 2 Умова належності коренів проміжкам (с) Т.В. Попова
Приклад-1.1 У залежності від значень параметра а визначити число коренів рівняння 01)21( 224 =−+−+ axax Нехай: Тоді:1) Якщо ,2 xy = 01)21( 22 =−+−+ ayay 2) Якщо 3) Якщо або 4) Якщо 5) Якщо або 01 =y 02 >y 01 <y 02 >y 0=D 01 =y 02 <y 01 >y 02 >y 01 <y 02 <y 0<D 4 корені 3 корені 2 корені 1 корінь нема коренів yx ±=2,1 (с) Т.В. Попова
• 1)      >− >− >− 012 01 045 2 a a а ⇒ ⇒        > > < 2 1 1 4 5 a a a       ∈ 4 5 ;1a • 2)      >− =− >− 012 01 045 2 a a а ⇒ ⇒        > = < 2 1 1 4 5 a a a 1=a • 3)    <− >− 01 045 2 a а      < < 1 4 5 a a )1;1(−∈a⇒⇒ 2 3 01)21( , 4 3 01)21(, 4 5 24 22 ±==−+−+ ==−+−+= хкоренідвамаєaxaxрівнянняданеотже yкоріньмаєayayрівняннятоаЯкщо       ∪−∈ 4 5 )1;1(aТаким чином Розв'язання (с) Т.В. Попова
Розв'язання • 4)      <− =− >− 012 01 045 2 a a а        < = < 2 1 1 4 5 a a a ⇒ ⇒ 1−=a • 5)      <− >− >− 012 01 045 2 a a а        < > < 2 1 1 4 5 a a a ⇒ ⇒ )1;( −−∞∈a Або 4 5 >a ⇒ ); 4 5 ( ∞∈a ); 4 5 ()1;( ∞∪−−∞∈a ⇒ (с) Т.В. Попова
Відповідь       ∈ 4 5 ;1a 1=a       ∪−∈ 4 5 )1;1(a Якщо , то дане рівняння має чотири розв'язки Якщо Якщо Якщо Якщо , то дане рівняння має три розв'язки , то дане рівняння має два розв'язки , то дане рівняння має один розв'язок , то дане рівняння не має розв'язків 1−=a ); 4 5 ()1;( ∞∪−−∞∈a (с) Т.В. Попова
При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язок? 1) ОДЗ: 5log25log)lg2(log1 5 xxxa ⋅=−⋅+    ⋅< ≠> ax xx lg2 1;0 Приклад-1.2 (с) Т.В. Попова
04.01.18 27 Приклад-1.3 1) ОДЗ: a>0; a≠1 3)Нехай тоді хоча б один корінь на відрізку [0;1] 10,cos2 ≤≤= ttx 0)5(62 =−++ att (с) Т.В. Попова

More Related Content

рівняння нерівності з параметрами

  • 1. Методика розв’язування рівнянь і нерівностей, що містять параметр Попова Т.В., викладач кафедри методики природничо-математичної світи «Харківська академія неперервної освіти» 2016
  • 2. ОРІЄНТОВНИЙ ПЛАН • Понятійний апарат • Класифікація задач з параметром • Методи розв'язування задач з параметром  Графічний метод  Аналітичний метод  Графоаналітичний метод (с) Т.В. Попова
  • 3. СЕМАНТИКА 3 •ПАРАМЕТР (від грец. Parametron - відмірюють) в математиці, величина, числові значення якої дозволяють виділити певний елемент (напр., криву) з безлічі елементів (кривих) того ж роду. (с) Т.В. Попова
  • 4. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ • Рівняннями з параметрами називаються рівняння виду f(x;a1;a2;a3;…;an) = 0, де х – шукане невідоме, а a1;a2;a3;…;an – змінні параметри. • Допустимі значення параметрів a1;a2;a3;…;an – при яких вираз f(x;a1;a2;a3;…;an) має зміст при деяких значеннях х. • Розв’язати рівняння з параметром означає знайти всі його розв’язки для кожної системи допустимих значень параметра. При розв’язуванні рівнянь з параметром область визначення параметра може бути заданою. Якщо не вказані межі заміни параметра, то вважається, що параметр набуває всіх своїх допустимих значень. (с) Т.В. Попова
  • 5. КЛАСИФІКАЦІЯ • За характером заданого питання: - повні - часткові • За видом: - рівняння з одним невідомим, - нерівність або система нерівностей з кількома невідомими, - задачі на дослідження функції, - текстова задача, - задачі на прогресію, (с) Т.В. Попова
  • 6. • За типом функцій: лінійні, раціональні, ірраціональні, квадратні, показникові, логарифмічні, тригонометричні, змішані. • За методами розв'язання: - графічний - аналітичний КЛАСИФІКАЦІЯ (с) Т.В. Попова
  • 7. МЕТОДИ Методи розв’язування рівнянь в шкільному курсі математики: розкладання на множники заміна змінної піднесення до степеня графічний (с) Т.В. Попова
  • 8. МЕТОДИ Методи розв’язування систем рівнянь в шкільному курсі математики: підстановка алгебраїчне додавання введення нових змінних метод Гауcса множення і ділення графічний (с) Т.В. Попова
  • 9. Графічний метод два основні прийоми: 1 – Побудова графічного образу на координатній площині (x;y), 2 – Побудова графічного образу на координатній площині (x;а). (с) Т.В. Попова
  • 10. Етапи розв’язування рівнянь : 1) Знаходимо область допустимих значень невідомого і параметрів, що входять до рівняння (область визначення рівняння); 2) Виражаємо параметр а як функцію від х; 3) В системі координат хоу будуємо графік функції а=f(х) для тих значень х, які входять до області визначення даного рівняння. 4) Знаходимо точки перетину прямої а = с, де с належить проміжку (–∞; ∞) з графіком а = f(х). Можливі випадки • пряма а = с не перетинає графік функції а = f(х). (При цьому значенні а рівняння розв’язків не має); • пряма а = с перетинає графік а = f(х). (Тоді визначаємо абсциси точок перетину, для цього достатньо розв’язати рівняння а = f(х) відносно х.) 5) Записуємо відповідь. Графічний метод - 1 (с) Т.В. Попова
  • 11. При побудові графічного образу в площині (х;а): • встановлюють ОДЗ змінної; • встановлюють ОДЗ параметрів; • виражають параметр а як функцію від х; • перетинають отриманий графік прямими, перпендикулярними до параметричної осі; • записують потрібні результати. Графічний метод -2 (с) Т.В. Попова
  • 12. Аналізуючи графічні образи, школяр: • встановлює розгалуження розв'язків, • записує розв’язки , • відтворює динаміку перетворення площини Переваги графічного методу Недоліки графічного методу втрачається головна дидактична цінність задач з параметрами як моделі мініатюрного дослідження. (с) Т.В. Попова
  • 13. Аналітичний метод • Суть такого методу полягає в тому що спочатку шукається повне розв’язання задачі, а потім, виходячи з явного виразу розв’язку через параметр, визначається значення параметра, при яких розв’язок задовольняє заданим умовам. NдлядостатнєMNтоMякщо MдлянеобхіднеNтоNМЯкщо − −⇒ )( , (с) Т.В. Попова
  • 14. Приклад-1.1 У залежності від значень параметра а визначити число коренів рівняння 01)21( 224 =−+−+ axax Нехай: Тоді:1) Якщо ,2 xy = 01)21( 22 =−+−+ ayay 2) Якщо 3) Якщо або 4) Якщо 5) Якщо або 01 =y 02 >y 01 <y 02 >y 0=D 01 =y 02 <y 01 >y 02 >y 01 <y 02 <y 0<D 4 корені 3 корені 2 корені 1 корінь нема коренів yx ±=2,1 (с) Т.В. Попова
  • 15. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язок? 1) ОДЗ: 5log25log)lg2(log1 5 xxxa ⋅=−⋅+    ⋅< ≠> ax xx lg2 1;0 Приклад-1.2 (с) Т.В. Попова
  • 16. 04.01.18 16 Приклад-1.3 1) ОДЗ: a>0; a≠1 3)Нехай тоді хоча б один корінь на відрізку [0;1] 10,cos2 ≤≤= ttx 0)5(62 =−++ att (с) Т.В. Попова
  • 17. Приклад-2.1 •Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння були додатні 02 =++ cbxax 02 =++ cbxax ⇒ ⇒ acbD 42 −= ⇒ a c xx =⋅ 21 ⇒ a b xx −=+ 21 042 ≥− acb a c a b − > 0 > 0 М Умова додатності коренів (с) Т.В. Попова
  • 18. М 0>− a с 0≠а 0<− a b Приклад-2.2 • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння були від'ємні 02 =++ cbxax ⇒ ⇒ ⇒ acbD 42 −= a c xx =⋅ 21 a b xx −=+ 21 042 ≥− acb Умова від'ємності коренів (с) Т.В. Попова
  • 19. Приклад-2.3 • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння були різного знаку 02 =++ cbxax М ⇒ ⇒ ⇒ acbD 42 −= a c xx =⋅ 21 a b xx −=+ 21 042 >− acb a c < 0 Умова різнознаковості коренів (с) Т.В. Попова
  • 20. М Приклад-2.4 • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб обидва корені рівняння належали вказаному проміжку ( p; q ) 02 =++ cbxax ⇒ ⇒ ⇒ f(p) f(q) ⇒ acbD 42 −= q a b p < − < 2 042 ≥− acb аf(p)>0 аf(q)>0 q a b p < − < 2 Умова належності коренів проміжку (с) Т.В. Попова
  • 21. acbD 42 −= • Знайти необхідну і достатню умову того, щоб кожний корінь рівняння належав вказаному проміжку ( p; r ) та ( r; q ) відповідно Приклад-2.5 02 =++ cbxax М ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ f(p) f(q) q a b p < − < 2 f(r) 042 >− acb аf(p)>0 аf(q)>0 аf(r)<0 q a b p < − < 2 Умова належності коренів проміжкам (с) Т.В. Попова
  • 22. Приклад-1.1 У залежності від значень параметра а визначити число коренів рівняння 01)21( 224 =−+−+ axax Нехай: Тоді:1) Якщо ,2 xy = 01)21( 22 =−+−+ ayay 2) Якщо 3) Якщо або 4) Якщо 5) Якщо або 01 =y 02 >y 01 <y 02 >y 0=D 01 =y 02 <y 01 >y 02 >y 01 <y 02 <y 0<D 4 корені 3 корені 2 корені 1 корінь нема коренів yx ±=2,1 (с) Т.В. Попова
  • 23. • 1)      >− >− >− 012 01 045 2 a a а ⇒ ⇒        > > < 2 1 1 4 5 a a a       ∈ 4 5 ;1a • 2)      >− =− >− 012 01 045 2 a a а ⇒ ⇒        > = < 2 1 1 4 5 a a a 1=a • 3)    <− >− 01 045 2 a а      < < 1 4 5 a a )1;1(−∈a⇒⇒ 2 3 01)21( , 4 3 01)21(, 4 5 24 22 ±==−+−+ ==−+−+= хкоренідвамаєaxaxрівнянняданеотже yкоріньмаєayayрівняннятоаЯкщо       ∪−∈ 4 5 )1;1(aТаким чином Розв'язання (с) Т.В. Попова
  • 24. Розв'язання • 4)      <− =− >− 012 01 045 2 a a а        < = < 2 1 1 4 5 a a a ⇒ ⇒ 1−=a • 5)      <− >− >− 012 01 045 2 a a а        < > < 2 1 1 4 5 a a a ⇒ ⇒ )1;( −−∞∈a Або 4 5 >a ⇒ ); 4 5 ( ∞∈a ); 4 5 ()1;( ∞∪−−∞∈a ⇒ (с) Т.В. Попова
  • 25. Відповідь       ∈ 4 5 ;1a 1=a       ∪−∈ 4 5 )1;1(a Якщо , то дане рівняння має чотири розв'язки Якщо Якщо Якщо Якщо , то дане рівняння має три розв'язки , то дане рівняння має два розв'язки , то дане рівняння має один розв'язок , то дане рівняння не має розв'язків 1−=a ); 4 5 ()1;( ∞∪−−∞∈a (с) Т.В. Попова
  • 26. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язок? 1) ОДЗ: 5log25log)lg2(log1 5 xxxa ⋅=−⋅+    ⋅< ≠> ax xx lg2 1;0 Приклад-1.2 (с) Т.В. Попова
  • 27. 04.01.18 27 Приклад-1.3 1) ОДЗ: a>0; a≠1 3)Нехай тоді хоча б один корінь на відрізку [0;1] 10,cos2 ≤≤= ttx 0)5(62 =−++ att (с) Т.В. Попова