нерівності

Види числових нерівностей
Якщо a менше b або a більше b, то записують так:
a<b або a>b.
Такий вираз називається нерівністю.
8<-5;
13>4;
6,3>-10,2.
Число а більше числа b, якщо різниця a-b – додатне
число, число а менше b, якщо різниця a-b – від’ємне
число.
a-b=7,02, то a>b;
a-b=-9,5 , то a<b.
На координатній прямій більше число зображується
точкою, що розташована справа, а менше – точкою, яка
лежить зліва.
a<b
a b
Знаки >, < називаються знаками строгих нерівностей. a < b; b > a.
Знаки ≥, ≤ називаються знаками нестрогих нерівностей. a ≤ b; b ≥ a.
≥ - знак більше або дорівнює (не менше). 5≥5; -17,5≥-131,1 .
≤ - знак менше або дорівнює (не більше). 5≤5; -17,5≤0,13.
a>b та c> d – нерівності одного знака. 15> 4,3; -9>-17.
a>b та c<d нерівності протилежних знаків. 6,2>-8; 2<10,2

Властивості числових
нерівностей
1. Якщо а > b, то b < a; якщо a > b, то b > a. 13 > 5 , то 5 < 13;
-12,9 < 4 , то 4 > -12,9
2. Якщо a > b та b > c, то a > c (властивість транзитності) 17 > 8; 8 > 15 ,
то 17 > 15
3. Якщо, a > b, то a + c > b + c 14 > 9 , то 14 + 8 > 9 + 8
4. Якщо a > b та c – додатне число (с > 0), то ac > bc.
Ця властивість має такий зміст: якщо обидві частини правильної
нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то отримаємо
правильну нерівність.
7,2 > -5;
4 > 0 ,
то 7,2 × 4 > -5 × 4,
тобто 28,8 > -20
5. Якщо a < b та с- від’ємне число ( c < 0), то ac > bc.
Ця властивість має такий зміст: якщо обидві частини правильної
нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число і змінити знак
початкової нерівності на протилежний, то отримаємо правильну
нерівність.
6,9 > 3,5;
6,9 (-2) і 3,5 (-2);
-2 < 0, то -13,8 < -7
6. Якщо a > b і c > d , то a + c > b + d . Якщо почленно скласти дві
правильні нерівності одного знака, то отримаємо правильну
нерівність.
7,0 > 3
+ 4,3 > -7
11,3 > -4

Властивості числових
нерівностей
7. Якщо a, b, c, d – додатні числа, причому a > b і
c > b , то ac > bd.
Якщо почленно перемножити перемножити
правильні нерівності одного знака, ліві і праві
частини яких додатні числа, то отримаємо
правильну нерівність.
18 > 15;
𝟑
𝟖
>
𝟏
𝟓
;
то 18 ×
𝟑
𝟖
> 15 ×
𝟏
𝟓
;
𝟏𝟖×𝟑
𝟖
>
𝟏𝟓×𝟏
𝟓
;
6
𝟑
𝟒
> 3
8. Якщо a > b і c < d, то a – c > b - d 12 > 7; 5 > 9
9. Якщо a > b > 0 , то
1
𝑎
<
1
𝑏
8 > 4 , то
𝟏
𝟖
<
𝟏
𝟒
10. Якщо a > b > 0 , то для будь-якого
натурального числа n виконується нерівність
“a > b”
6 > 5, то 𝟔 𝟐 > 𝟓 𝟐
тобто 36 > 25

Числові проміжки
Вид проміжку Геометричне
зображення
Позначення Запис за
допомогою
нерівностей
Інтервал
(a;b) a<x<b
Відрізок
[a;b] a≤x≤b
Півінтервал (a;b] a<x≤b
Півінтервал [a;b) a≤x<b
Промінь [a;+∞) x≥a
Промінь (-∞;a] x≤a
Відкритий
промінь
(a;+∞) x>a
Відкритий
промінь
(-∞;a) x<a

Лінійні нерівності
Лінійною називається нерівність виду ax > b
(або, відповідно, ax < b , ax ≥ b , ax ≤ b),
де a ≠ 0 , і b ≠ 0 – числа
Розв’язками нерівності з однією змінною
називається множина таких значень змінної, яка
перетворює її на правильну число нерівність
Якщо а > 0, то розв‘язок нерівності ax > b має вигляд x >
𝒃
𝒂
Якщо a < 0, то розв‘язок нерівності ax ≥ b має вигляд x ≤
𝒃
𝒂
Якщо а = 0, то нерівність ax > b набуває вигляду 0х > b, тобто
вона не має розв’язку при b ≥ 0 і правильна при будь-яких х,
якщо b < 0.

Властивості Приклади
Якщо з однієї частини нерівності перенести в
іншу доданок з протилежним знаком, то
утвориться нерівність, рівносильна даній.
4(y – 1) = 7 ≤ 1 – 3(y + 2);
4y – 4 + 7 ≤ 1 – 3y – 6;
4y + 3y ≤ 1 – 6 + 4 – 7.
Якщо обидві частини нерівності помножити
або поділити на одне й те саме додатне число,
то утвориться нерівність рівносильна даній.
7y ≤ -8;
у ≤ -
𝟖
𝟕
-1
𝟏
𝟕
(-∞;-1
𝟏
𝟕
]
Якщо обидві частини нерівності помножити
або поділити на одне й те саме від’ємне число,
змінивши при цьому знак нерівності на
протилежний, то отримаємо рівносильну
даній нерівність
-3x + 8 < 2x – 2
-3x – 2x < -8 – 2
-5x < -10
x > 2
(2;+∞)
При розв'язуванні нерівностей
використовуються такі властивості

Оцінка суми, різниці,
добутку, частки
1. a ≤ x ≤ b
𝐜 ≤ 𝐲 ≤ 𝐝
𝐚 + 𝐜 ≤ 𝐱 + 𝐲 ≤ 𝐛 + 𝐝
3. a ≤ x ≤ b
𝐜 ≤ 𝐲 ≤ 𝐝
𝐚𝐜 ≤ 𝐱𝐲 ≤ 𝐛𝐝
(a > 0)
(c > 0)
2. a ≤ x ≤ b
𝐜≤ 𝐲 ≤𝐝
𝐚−𝐝 ≤ 𝐱−𝐲 ≤ 𝐛−𝐜
4. a ≤ x ≤ b
𝐜 ≤ 𝐲 ≤ 𝐝
𝐚
𝐝
≤
𝐱
𝐲 ≤
𝐛
𝐜
(a > 0)
(c > 0)

Розв’язати нерівність
3𝑥 + 1
2
− 6𝑥 ≤
5𝑥 − 2
3
+
7𝑥
2
;
(
3𝑥+1
2
− 6𝑥) ∙ 6 ≤
5𝑥−2
3
+
7𝑥
2
∙ 6;
3𝑥 + 1 3 − 36𝑥 ≤ 5𝑥 − 2 2 + 21𝑥;
9𝑥 + 3 − 36𝑥 ≤ 10𝑥 − 4 + 21𝑥;
9𝑥 − 36𝑥 − 10𝑥 − 21𝑥 ≤ −4 − 3;
−58𝑥 ≤ −7;
𝑥 ≥
7
58
7
58
Відповідь:
7
58
; +∞)
x

Розв’язати нерівність
1 − 3𝑥 < 2
−2 < 1 − 3𝑥 < 2
−3 < −3𝑥 < 1
−
1
3
< 𝑥 < 1
Відповідь: −
1
3
; 1

Розв’язати нерівність
3𝑥 − 2
𝑥 − 2
> 3
3𝑥 − 2
𝑥 − 2
− 3 > 0;
3𝑥 − 2 − 3𝑥 + 6
𝑥 − 2
> 0;
4
𝑥 − 2
> 0;
Оскільки чисельник дробу 4 > 0, то нерівність
4
𝑥−2
>
0 правильна при 𝑥 − 2 > 0; 𝑥 > 2.
x2
Відповідь: 2; +∞

Доведення нерівностей
Довести нерівність можна на підставі
правила: якщо 𝑎 > 𝑏, то 𝑎 − 𝑏 > 0 і 𝑎 < 𝑏, то
𝑎 − 𝑏 < 0.
𝑥2
+ 𝑦2
≥ 2𝑥𝑦
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥y = 𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= 𝑥 − 𝑦 2
.
𝑥 − 𝑦 2
≥ 0 при будь-яких x та y.
Отже, 𝑥2
+ 𝑦2
≥ 2𝑥𝑦 при будь-яких x та y.

What's hot

к.р. за рік геометрія 8

jkmuffgrhdcv

Сборник задач Геометрия 9 класс Мерзляк А.Г.

oleg379

18361 збірник контрольних робіт 6 клас

Александр Гергардт

Геометрія. 9 клас. Тематична контрольна робота № 3 Тема “Розв’язування трикут...

270479

презентация коло, описане навколо чотирикутника і коло, вписане в нього.

Методичний кабінет

властивості арифметичного квадратного кореня

Гергель Ольга

Ресурс призначений для проведення уроку алгебри у 8 класі з теми «Властивості арифметичного квадратного кореня». Навчальний матеріал відповідає діючий програми: Міністерство освіти і науки України. Математика. 8кл. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: “Перун”, 2005. Ресурс може бути використано і при викладанні предмета у класах із поглибленим вивченням математики. Наведені тестові завдання можуть бути використані вчителям для фронтального опитування, актуалізації опорних знань, при підведенні підсумка уроку, для узагальнюючого повторення. Ресурс може бути використаний вчителями математики, а також учнями як на уроці, так і з метою повторення та узагальнення знань.

Рівняння і нерівності з модулями

tcherkassova2104

Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...

Тотожні перетворення виразів із коренями

Гімназія Ковель

Прямокутний трикутник

Olka Y

Презентація:Многокутник та його елементи. Опуклі та неопуклі многокутники.

Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними

Презентація:Координатний промінь.Шкала.

опорні факти геометрія 9 клас

Oksana_Babenko

ssusera012b0

Вписані та описані чотирикутники

Formula.co.ua

Алгебра 7 клас. Збірник завдань для самостійних та контрольних робіт

Сергій Ільчишин

Презентація Урок -ділова гра "Банківська справа" з алгебри на тему «Відсотков...

270479

Презентація:Розв"язування задач і вправ на всі дії з раціональними числами

формули зведення

matematuka

What's hot (20)

к.р. за рік геометрія 8

Сборник задач Геометрия 9 класс Мерзляк А.Г.

18361 збірник контрольних робіт 6 клас

Геометрія. 9 клас. Тематична контрольна робота № 3 Тема “Розв’язування трикут...

презентация коло, описане навколо чотирикутника і коло, вписане в нього.

властивості арифметичного квадратного кореня

Рівняння і нерівності з модулями

Презентація:Раціональні числа. Ірраціональні числа, дійсні числа, числові мно...

Тотожні перетворення виразів із коренями

Прямокутний трикутник

Презентація:Многокутник та його елементи. Опуклі та неопуклі многокутники.

Презентація:Системи рівнянь другого степеня з двома змінними

Презентація:Координатний промінь.Шкала.

опорні факти геометрія 9 клас

Вписані та описані чотирикутники

Алгебра 7 клас. Збірник завдань для самостійних та контрольних робіт

Презентація Урок -ділова гра "Банківська справа" з алгебри на тему «Відсотков...

Презентація:Розв"язування задач і вправ на всі дії з раціональними числами

формули зведення

Similar to нерівності

Тема 1 Числові нерівності та їх властивості (2 год)

Числові нерівності та їх властивості

Vshkole algebra 9-klas_kravchuk-yanchenko-pidruchna

Таня Валькович

9 алг кравчук_підручна_2009_укр

Aira_Roo

9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr

UA7009

9 klas algebra_kravchuk_2017

moyashkolamoyashkola

9klas

Algebra 9-klas-kravchuk-2017

kreidaros1

9 a k_2017

4book9kl

Почленное сложение и умножение неравенств

Илья Сыч

2014 математика олимпиада

Vasilij Goncharenko

основні властивості числовіих нерівностей

Irina Gorbenko

основні властивості числовіих нерівностей

Irina Gorbenko

Тема 4 Загальні методи доведення нерівностей (9 год)

тема 2 нерівності зі змінною (2 год)

Дії над векторами презентація геометрія.

annavorona87

урок 03 основные свойства числовых неравенств

Людмила Турик

Презентація: Перетворення виразів (повторення та систематизація матеріалу).pp...

booksss100

тестові завдання

Irina Gorbenko

Similar to нерівності (20)

Тема 1 Числові нерівності та їх властивості (2 год)

Числові нерівності та їх властивості

Vshkole algebra 9-klas_kravchuk-yanchenko-pidruchna

9 алг кравчук_підручна_2009_укр

9 klas algebra_kravchuk_2009_ukr

9 klas algebra_kravchuk_2017

Algebra 9-klas-kravchuk-2017

9 a k_2017

Почленное сложение и умножение неравенств

2014 математика олимпиада

основні властивості числовіих нерівностей

Тема 4 Загальні методи доведення нерівностей (9 год)

тема 2 нерівності зі змінною (2 год)

Дії над векторами презентація геометрія.

урок 03 основные свойства числовых неравенств

Презентація: Перетворення виразів (повторення та систематизація матеріалу).pp...

тестові завдання

More from Tetyana Andrikevych

елементи прикладної математики

числові послідовності

рівняння, які зводяться до квадратних

квадратні нерівності

квадратична функція

функції

квадратні рівняння

степінь з цілим показником

раціональні вирази

раціональні вирази

степінь з цілим показником

Раціональні вирази

системи лінійних рівнянь з двома змінними

системи лінійних рівнянь з двома змінними

Розв'язування лінійних рівнянь з двома змінними

формули скороченого множення