λ演算
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各種函數 |
---|
x ↦ f (x) |
不同定義域和陪域 |
函數類/性質 |
構造 |
推廣 |
λ演算(英語:lambda calculus,λ-calculus)是一套從數學邏輯中發展,以變數綁定和替換的規則,來研究函式如何抽象化定義、函式如何被應用以及遞迴的形式系統。它由數學家阿隆佐·邱奇在20世紀30年代首次發表。lambda演算作為一種廣泛用途的計算模型,可以清晰地定義什麼是一個可計算函式,而任何可計算函式都能以這種形式表達和求值,它能模擬單一磁帶图灵机的計算過程;儘管如此,lambda演算強調的是變換規則的運用,而非實現它們的具體機器。
lambda演算可比擬是最根本的編程語言,它包括了一條變換規則(變數替換)和一條將函式抽象化定義的方式。因此普遍公認是一種更接近軟體而非硬體的方式。對函數式編程語言造成很大影響,比如Lisp、ML语言和Haskell语言。在1936年邱奇利用λ演算給出了對於判定性問題(Entscheidungsproblem)的否定:關於兩個lambda運算式是否等價的命題,無法由一個「通用的演算法」判斷,這是不可判定效能夠證明的頭一個問題,甚至還在停机问题之先。
lambda演算包括了建構lambda項,和對lambda項執行歸約的操作。在最簡單的lambda演算中,只使用以下的規則來建構lambda項:
語法 | 名稱 | 描述 |
---|---|---|
x | 變量 | 用字元或字串來表示參數或者數學上的值或者表示邏輯上的值 |
(λx.M) | 抽象化 | 一個完整的函數定義(M是一個 lambda 項),在表達式中的 x 都會綁定為變量 x。 |
(M N) | 應用 | 將函數M作用於參數N。 M 和 N 是 lambda 項。 |
產生了諸如:(λx.λy.(λz.(λx.zx)(λy.zy))(x y))的表達式。如果表達式是明確而沒有歧義的,則括號可以省略。對於某些應用,其中可能包括了邏輯和數學的常量以及相關操作。
本文討论的是邱奇的“无类型lambda演算”,此后,已经研究出来了一些有类型lambda演算。
解释与应用
[编辑]λ演算是图灵完备的,也就是说,这是一个可以用于模拟任何图灵机的通用模型。[1] λ也被用在λ表达式和λ项中,用来表示将一个变量绑定在一个函数上。
λ演算可以是有类型或者无类型的,在有类型λ演算中(上文所述是无类型的),函数只能在参数类型和输入类型符合时被应用。有类型λ演算比无类型λ演算要弱——后者是这个条目的主要部分——因为有类型的λ运算能表达的比无类型λ演算少;与此同时,前者使得更多定理能被证明。例如,在简单类型λ演算中,运算总是能够停止,然而无类型λ演算中这是不一定的(因为停机问题)。目前有许多种有类型λ演算的一个原因是它们被期望能做到更多(做到某些以前的有类型λ演算做不到的)的同时又希望能用以证明更多定理。
λ演算在数学、哲学[2]、语言学[3][4]和计算机科学[5]中都有许多应用。它在程式語言理論中占有重要地位,函数式编程实现了λ演算支持。λ演算在范畴论中也是一个研究热点。[6]
历史
[编辑]作为对数学基础研究的一部分,数学家阿隆佐·邱奇在20世纪30年代提出了λ演算。[7][8] 但最初的λ演算系统被证明是逻辑上不自洽的——在1935年斯蒂芬·科尔·克莱尼和J. B. Rosser举出了Kleene-Rosser悖论。[9][10]
随后,在1936年邱奇把那个版本的关于计算的部分抽出独立发表—现在这被称为无类型λ演算。[11] 在1940年,他创立了一个计算能力更弱但是逻辑上自洽的系统,这被称为简单类型λ演算。[12]
直到1960年,λ演算与编程语言的关系被确立了;在这之前它只是一个范式。由于理查德·蒙塔古和其他语言学家将λ演算应用于自然语言语法的研究,λ演算已经开始在语言学[13]和计算机科学学界拥有一席之地。[14]
至于为何邱奇选择λ作为符号,连他本人的解释也互相矛盾:最初是在1964年的一封信中,他明确解释称这是来源于《数学原理》一书中的类抽象符号(脱字符),为了方便阅读,他首先将其换成逻辑与符号()作为区分,然后又改成形状类似的λ。他在1984年又重申了这一点,但再后来他又表示选择λ纯粹是偶然[15]。
非形式化的直覺描述
[编辑]在λ演算中,每个表达式都代表一个函数,这个函数有一个参数,并且會返回一个值。不论是参数和返回值,也都是一个单参的函数。可以这么说,λ演算中只有一种“类型”,那就是这种单参函数。函数是通过λ表达式匿名地定义的,这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。
例如,“加2”函数f(x)= x + 2可以用lambda演算表示为λx.x + 2(或者λy.y + 2,参数的取名无关紧要),而f(3)的值可以写作(λx.x + 2) 3。函数的应用(application)是左结合的:f x y =(f x) y。
考虑这么一个函数:它把一个函数作为参数,这个函数将被作用在3上:λf.f 3。如果把这个(用函数作参数的)函数作用于我们先前的“加2”函数上:(λf.f 3)(λx.x+2),则明显地,下述三个表达式:
- (λf.f 3)(λx.x+2) 与 (λx.x + 2) 3 与 3 + 2
是等价的。有两个参数的函数可以通过lambda演算这樣表达:一个单一参数的函数,它的返回值又是一个单一参数的函数(参见柯里化)。例如,函数f(x, y) = x - y可以写作λx.λy.x - y。下述三个表达式:
- (λx.λy.x - y) 7 2 与 (λy.7 - y) 2 与 7 - 2
也是等价的。然而这种lambda表达式之间的等价性,无法找到某个通用的函数来判定。
并非所有的lambda表达式都能被歸约至上述那样的确定值,考虑
- (λx.x x)(λx.x x)
或
- (λx.x x x)(λx.x x x)
然后试图把第一个函数作用在它的参数上。(λx.x x)被称为ω 组合子,((λx.x x)(λx.x x))被称为Ω,而((λx.x x x) (λx.x x x))被称为Ω2,以此类推。若仅形式化函数作用的概念而不允许lambda表达式,就得到了组合子逻辑。
動機
[编辑]在數學和計算機科學中,「可計算的」函式是基礎觀念。對於所謂的可計算性,λ-演算提供了一個簡單明確的語義,使計算的性質可以被形式化研究。λ-演算結合了兩種簡化方式,使得這個語義變得簡單。第一種簡化是不給予函式一個確定名稱,而“匿名”地對待它們。例如,兩數的平方和函式
可以用匿名的形式重新寫為:
- (理解成一包含x和y的數組被映射到)
同樣地,
可以用匿名的形式重新寫為:
- (即輸入是直接對應到它本身。)
第二個簡化是λ演算只使用單一個參數輸入的函數。如果普通函數需要兩個參數,例如函數,可轉成接受單一參數,傳給另一個函數中介,而中介函數也只接受一個參數,最後輸出結果。例如,
可以重新寫成:
這是稱為柯里化的方法,將多參數的函數轉換成為多個中介函數的複合鏈,每個中介函數都只接受一個參數。 將函數應用於參數(5,2),直接產生結果
- ,
而對於柯里化轉換版的評估,需要再多一步:
- //在內層表達式中的定義為,這就像β-歸約一樣。
- //的定義為,再次如同β-歸約。
得出相同結果。
lambda演算
[编辑]lambda演算是由特定形式語法所組成的一種語言,一組轉換規則可操作其中的lambda項。這些轉換規則被看作是一個等式理論或者一個操作定義。如上節所述,lambda演算中的所有函數都是匿名的,它們沒有名稱,它們只接受一個輸入變量,柯里化用於實現有多個輸入變量的函數。
lambda項
[编辑]lambda演算的語法將一些表達式定義為有效的lambda演算式,而某一些表達式無效,就像C編程語言中有些字串有效,有些則不是。有效的lambda演算式稱為“lambda項”。
以下三個規則給出了語法上有效的lambda項,如何建構的歸納定義:
- 變量本身就是一個有效的lambda項
- 如果是一個lambda項,而是一個變量,則 是一個lambda項(稱為lambda抽象);
- 如果和是lambda項,那麼是一個lambda項(稱為應用)。
其它的都不是lambda項。因此,lambda項若且唯若可重複應用這三個規則取得時,才是有效的。一些括號根據某些規則可以省略。例如,最外面的括號通常不會寫入。
“lambda抽象”是指一個匿名函數的定義,它將單一輸入的替換成的表達式,所以產生了一個匿名函數,它採用的值並返回。例如,是表示使用函數作為項的一個lambda抽象。lambda抽象只是先“設置”了函數定義,還沒使用它。這個抽象在項中綁定了變量。一個應用表示將函數應用在輸入,亦即對輸入使用函數產生。
lambda演算中並沒有變量聲明的概念。如(即)的定義中,lambda演算將當作尚未定義的變量。lambda抽象在語法上是有效的,並表示將其輸入添加到未知的函數。
可用圓括弧對來消除歧義。例如,和表示不同的項(儘管它們剛好化簡到相同值)。這裡第一個例子定義了一個包含子函數的抽象,並將子函數應用於x(先應用後傳回)的結果;而第二個例子定義了一個傳回任何輸入的函數,然後在應用過程中傳回對輸入為x的應用(返回函數然後應用)。
操作函數的函數
[编辑]在lambda演算中,函數被認為是頭等物件,因此函數可以當作輸入,或作為其它函數的輸出返回。
例如,表示映射到本身的函數,和表示將這個函數應用於。此外,則表示無論輸入為何,始終返回值的常數函數。lambda演算中的函數應用是左結合的,因此表示。
有幾個“等價”和“化簡”的概念,允許將各個lambda項“縮減”為“相同”的lambda項。
α-等價
[编辑]對於lambda項,等價的基本形式定義,是-等價。它捕捉了直覺概念,在lambda抽象中一個綁定變量的特別選擇(通常)並不重要。 比如,和是-等價的lambda項,它們都表示相同的函數(自映射函數);但如和項則不是-等價的,因為它們並非以lambda抽象方式綁定的。 在許多演示中,通常會確定-等價的lambda項。
為了能夠定義-歸約,需要以下定義:
自由變量
[编辑]所謂的自由變量是那些在lambda抽象不受到綁定的變量。表達式中的一組自由變量定義歸納如下:
- 的自由變量就只是
- 的自由變量集合,是在中移除了的自由變量集合。
- 的自由變量是的一組自由變量,與的一組自由變量,這兩項變量的並集。
例如,代表映射自身的,其中的lambda項沒有自由變量,但是在函數中的lambda項,有一個自由變量。
避免捕獲的替換記法
[编辑]假設,和是lambda項,而和是變量。如果寫成是一種避免被捕獲的記法方式,表示在這個lambda項中,以來替換變量的值。這定義為:
- ;
- ,如果;
- ;
- ;
- 如果而且不在lambda項的自由變量中,則。對於lambda項,變量被稱為是“新鮮”的。
例如, 和。
新鮮度條件(要求不在lambda項中的自由變量中)對於確保替換不會改變函數的意義很重要。例如,忽視新鮮度條件的替代:。此替換會將原本意義為常量函數的,轉換成意義為映射自身函數的。
一般來說,在無法滿足新鮮度條件的情況,可利用-重新命名使用一個合適的新變量來補救,切換回正確的替換概念;比如在中,使用一個新變量重新命名這個lambda抽象,獲取,則替換就能保留原本函數的義涵。
β-歸約
[编辑]β-歸約規定了形式如的應用,可以化簡成項。符號記法用於表示 經過β-歸約轉換為。例如,對於每個,可轉換為。這表明實際上的應用是映射自身函數。同樣地,,表明了是一個常量函數。
lambda演算可視為函數式編程語言的理想化版本,如Haskell或ML語言。在這種觀點下,β-歸約對應於一組計算步驟。 這個步驟重複應用β-轉換,一直到沒有東西能再被化簡。在無型別lambda演算中,如本文所述,這個歸約過程可能無法終止, 比如,是個特殊的lambda項。這裡 也就是說,該lambda項在一次β-歸約中化簡到本身,因此歸約過程將永遠不會終止。
無型別lambda演算的另一方面是它並不區分不同種類的資料。例如,需要編寫只針對數字操作的功能。然而,在無型別的lambda演算中,沒有辦法避免函數被應用於真值、字串或其它非數字物件。
形式化定义
[编辑]形式化地,我们从一个标识符(identifier)的可数无穷集合开始,比如{a, b, c, ..., x, y, z, x1, x2, ...},则所有的lambda表达式可以通过下述以BNF范式表达的上下文无关文法描述:
- <表达式> ::= <标识符>
- <表达式> ::= (λ<标识符>.<表达式>)
- <表达式> ::= (<表达式> <表达式>)
头两条规则用来生成函数,而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常,lambda抽象(规则2)和函数作用(规则3)中的括弧在不会产生歧义的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义:(1)函数的作用是左结合的,和(2)lambda操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如,表达式 (λx.x x)(λy.y) 可以简写成λ(x.x x) λy.y 。
类似λx.(x y)这样的lambda表达式并未定义一个函数,因为变量y的出现是自由的,即它并没有被绑定到表达式中的任何一个λ上。一个lambda表达式的自由变量的集合是通过下述规则(基于lambda表达式的结构归纳地)定义的:
- 在表达式V中,V是变量,则这个表达式里自由变量的集合只有V。
- 在表达式λV .E中(V是变量,E是另一个表达式),自由变量的集合是E中自由变量的集合减去变量V。因而,E中那些V被称为绑定在λ上。
- 在表达式 (E E')中,自由变量的集合是E和E'中自由变量集合的并集。
例,对于表达式λx.x(我们将第一个x视作变量,第二个x视作表达式),其中表达式x中,由1,它的自由变量集合是x,又由2,表达式λx.x的自由变量的集合是表达式x的自由变量集合减去变量x。所以对于表达式λx.x,它的自由变量集合是空。
例,对于表达式λx.x x由形式化描述的第3点,我们把它看作((λx.x)(x)),(λx.x)和(x)分别为表达式,由上一例知道(λx.x)的自由变量集合为空,表达式(x)的变量集合为变量x,所以对于λx.x x,它的自由变量集合为x与空的并,即x。
在lambda表达式的集合上定义了一个等价关系(在此用==标注),“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述,这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-归约规则”。
歸約
[编辑]歸約的操作包括:
操作 | 名稱 | 描述 |
---|---|---|
(λx.M[x]) → (λy.M[y]) | α-轉換 | 重新命名表達式中的綁定(形式)變量。用於避免名稱衝突。 |
((λx.M) E) → (M[x:=E]) | β-歸約 | 在抽象化的函數定義體中,以參數表達式代替綁定變量。 |
α-变换
[编辑]Alpha-变换规则表达的是,被绑定变量的名称是不重要的。比如说λx.x和λy.y是同一个函数。尽管如此,这条规则并非像它看起来这么简单,关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制。
Alpha-变换规则陈述的是,若V与W均为变量,E是一个lambda表达式,同时E[V:=W]是指把表达式E中的所有的V的自由出现都替换为W,那么在W不是 E中的一个自由出现,且如果W替换了V,W不会被E中的λ绑定的情况下,有
- λV.E == λW.E[V:=W]
这条规则告诉我们,例如λx.(λx.x) x这样的表达式和λy.(λx.x) y是一样的。
β-归约
[编辑]Beta-归约规则表达的是函数作用的概念。它陈述了若所有的E'的自由出现在E [V:=E']中仍然是自由的情况下,有
- ((λV.E) E') == E [V:=E']
成立。
==关系被定义为满足上述两条规则的最小等价关系(即在这个等价关系中减去任何一个映射,它将不再是一个等价关系)。
对上述等价关系的一个更具操作性的定义可以这样获得:只允许从左至右来应用规则。不允许任何beta归约的lambda表达式被称为Beta范式。并非所有的lambda表达式都存在与之等价的范式,若存在,则对于相同的形式参数命名而言是唯一的。此外,有一个算法用户计算范式,不断地把最左边的形式参数替换为实际参数,直到无法再作任何可能的规约为止。这个算法当且仅当lambda表达式存在一个范式时才会停止。Church-Rosser定理说明了,当且仅当两个表达式等价时,它们会在形式参数换名后得到同一个范式。
η-变换
[编辑]前两条规则之后,还可以加入第三条规则,eta-变换,来形成一个新的等价关系。Eta-变换表达的是外延性的概念,在这里外延性指的是,对于任一給定的参数,当且仅当两个函数得到的结果都一致,則它们將被視同為一个函数。Eta-变换可以令 和 相互转换,只要 不是 中的自由變量。下面说明了为何这条规则和外延性是等价的:
若 与 外延地等价,即, 对所有的 表达式 成立,则当取 为在 中不是自由出现的变量 时,我们有,因此 ,由eta-变换f == g。所以只要eta-变换是有效的,会得到外延性也是有效的。
相反地,若外延性是有效的,则由beta-归约,对所有的y有(λx .f x) y == f y,可得λx .f x == f,即eta-变换也是有效的。
資料類型的編碼
[编辑]基本的lambda演算法可用於建構布林值,算術,資料結構和遞歸的模型,如以下各小節所述。
lambda演算中的算術
[编辑]在lambda演算中有许多方式都可以定义自然数,但最常见的还是邱奇数,下面是它们的定义:
0 = λf.λx.x 1 = λf.λx.f x 2 = λf.λx.f (f x) 3 = λf.λx.f (f (f x))
以此类推。直观地说,lambda演算中的数字n就是一个把函数f作为参数并以f的n次幂为返回值的函数。换句话说,邱奇整数是一个高阶函数 -- 以单一参数函数f为参数,返回另一个单一参数的函数。
(注意在邱奇原来的lambda演算中,lambda表达式的形式参数在函数体中至少出现一次,这使得我们无法像上面那样定义0)在邱奇整数定义的基础上,我们可以定义一个后继函数,它以n为参数,返回n + 1:
SUCC = λn.λf.λx.f(n f x)
加法是这样定义的:
PLUS = λm.λn.λf.λx.m f (n f x)
PLUS可以被看作以两个自然数为参数的函数,它返回的也是一个自然数。你可以试试验证
PLUS 2 3
与5是否等价。乘法可以这样定义:
MULT = λm.λn.m (PLUS n) 0,
即m乘以n等于在零的基础上m次加n。另一种方式是
MULT = λm.λn.λf.m (n f)
正整数n的前驱元(predecessesor)PRED n = n - 1要复杂一些:
PRED = λn.λf.λx.n (λg.λh.h (g f)) (λu.x) (λu.u)
或者
PRED = λn.n(λg.λk.(g 1) (λu.PLUS(g k) 1) k) (λl.0) 0
注意(g 1)(λu.PLUS(g k) 1) k
表示的是,当g(1)
是零时,表达式的值是k
,否则是g(k)+ 1
。
逻辑与谓词
[编辑]习惯上,下述两个定义(称为邱奇布尔值)被用作TRUE和FALSE这样的布尔值:
- TRUE := λx.λy.x
- FALSE := λx.λy.y
- (注意FALSE等价于前面定义邱奇数零)
接着,通过这两个λ-项,我们可以定义一些逻辑运算:
- AND := λp q.p q FALSE
- OR := λp q.p TRUE q
- NOT := λp.p FALSE TRUE
- IFTHENELSE := λp x y.p x y
我们现在可以计算一些逻辑函数,比如:
- AND TRUE FALSE
- ≡(λp q.p q FALSE) TRUE FALSE →β TRUE FALSE FALSE
- ≡(λx y.x) FALSE FALSE →β FALSE
我们见到AND TRUE FALSE等价于FALSE。
“谓词”是指返回布尔值的函数。最基本的一个谓词是ISZERO,当且仅当其参数为零时返回真,否则返回假:
- ISZERO := λn.n (λx.FALSE) TRUE
运用谓词与上述TRUE和FALSE的定义,使得"if-then-else"这类语句很容易用lambda演算写出。
有序对
[编辑]有序对(2-元组)数据类型可以用TRUE、FALSE和IF来定义。
- CONS := λx y.λp.IF p x y
- CAR := λx.x TRUE
- CDR := λx.x FALSE
链表数据类型可以定义为,要么是为空列表保留的值(e.g.FALSE),要么是CONS一个元素和一个更小的列表。
附加的編程技術
[编辑]lambda演算出現在相當大量的編程習慣用法中,其中許多編程語言最初以lambda演算作為語義基礎,在此背景下開發的;有效地利用lambda演算作為基底。因為幾個編程語言部份含括了lambda演算(或者非常相似的東西),所以這些技術也可以在實際的編程中見到,但有可能被認為是模糊或外來的。
命名常數
[编辑]在lambda演算中,函式庫將採用預先定義好的函數集合,其中lambda項僅僅是特定的常量。純粹的lambda演算法並不具有命名常數的概念,因為所有的原子λ項都是變量;但是在程序主體中,我們可將一個變量當成常量的名稱,利用lambda抽象把這個變量綁定,並將該lambda抽象應用於預期的定義,來模擬命名常量的作法。因此在N(“主程序”的另一個lambda項)中,要以f來表示M(一些明確的lambda項),則寫成如下:
- (λf.N) M
作者經常引入類似如let的语法糖,允許以更直觀的次序撰寫上述內容:
- let f = M in N
通過等號鏈接這個命名常數,即可將lambda演算“編程”的一個lambda項,寫為零或多個函數的定義,而使用構成程序主體的那些函數。這個let顯著的限制,是在M中並沒有定義f名稱,因為M不在綁定f的lambda抽象範疇之內;這意味著遞歸函數定義不能以let來使用M。更進步的letrec語法糖允許以直覺的方式編寫遞歸函數定義,而不需用到不動點組合子。
递归與不動點
[编辑]递归是使用函数自身的函数定义;在表面上,lambda演算不允许这样。但是这种印象是误解。考虑个例子,阶乘函数f(n)递归的定义为
- f(n):= if n = 0 then 1 else n·f(n-1)。
在lambda演算中,你不能定义包含自身的函数。要避免这样,你可以开始于定义一个函数,这里叫g,它接受一个函数f作为参数并返回接受n作为参数的另一个函数:
- g := λf n.(if n = 0 then 1 else n·f(n-1))。
函数g返回要么常量1,要么函数f对n-1的n次应用。使用ISZERO谓词,和上面描述的布尔和代数定义,函数g可以用lambda演算来定义。
但是,g自身仍然不是递归的;为了使用g来建立递归函数,作为参数传递给g的f函数必须有特殊的性质。也就是说,作为参数传递的f函数必须展开为调用带有一个参数的函数g -- 并且这个参数必须再次f函数!
换句话说,f必须展开为g(f)。这个到g的调用将接着展开为上面的阶乘函数并计算下至另一层递归。在这个展开中函数f将再次出现,并将被再次展开为g(f)并继续递归。这种函数,这裡的f = g(f),叫做g的不动点,并且它可以在lambda演算中使用叫做悖论算子或不动点算子来实现,它被表示为Y -- Y组合子:
- Y = λg.(λx.g(x x))(λx.g(x x))
在lambda演算中,Y g是g的不动点,因为它展开为g(Y g)。现在,要完成我们对阶乘函数的递归调用,我们可以简单的调用 g(Y g)n,这裡的n是我们要计算它的阶乘的数。
比如假定n = 5,它展开为:
- (λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1)))) 5
- if 5 = 0 then 1 else 5·(g(Y g,5-1))
- 5·(g(Y g)4)
- 5·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 4)
- 5·(if 4 = 0 then 1 else 4·(g(Y g,4-1)))
- 5·(4·(g(Y g)3))
- 5·(4·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 3))
- 5·(4·(if 3 = 0 then 1 else 3·(g(Y g,3-1))))
- 5·(4·(3·(g(Y g)2)))
- ...
等等,递归的求值算法的结构。所有递归定义的函数都可以看作某个其他适当的函数的不动点,因此,使用Y所有递归定义的函数都可以表达为lambda表达式。特别是,我们现在可以明晰的递归定义自然数的减法、乘法和比较谓词。
標準化的組合子名稱
[编辑]某一些lambda項有普遍接受的名稱:
- I := λx.x
- K := λx.λy.x
- S := λx.λy.λz.x z (y z)
- B := λx.λy.λz.x (y z)
- C := λx.λy.λz.x z y
- W := λx.λy.x y y
- U := λx.λy.y (x x y)
- ω := λx.x x
- Ω := ω ω
- Y := λg.(λx.g (x x)) (λx.g (x x))
其中有幾個在“消除lambda抽象”中有直接的應用,將lambda項變為組合演算的術語。
消除lambda抽象
[编辑]如果N是一個沒有λ-抽象的lambda項,但可能包含了命名常量(組合子),則存在一個lambda項T(x,N),這相同於一個缺少λ-抽象(除了作為命名常量的一部份,如果這些被認為是非原子的)的λx.N;也可以被視為匿名變量,就如同T(x,N)從N之中刪除所有出現的x,同時仍然允許在N包含x的位置替換參數值。
轉換函數T可由下式定義:
- T(x, x) := I
- T(x, N) := K N if x is not free in N.
- T(x, M N) := S T(x, M) T(x, N)
在這兩種情況下,形式T(x,N)P可藉由使初始的組合子I,K或S獲取參數P而化簡, 就像(λx.N) P經過β-歸約一樣。I返回那個參數。K則將參數拋棄,就像(λx.N),如果x在N中不是以自由變量出現。S將參數傳遞給應用程序的兩個子句,然後將第一個結果應用到第二個的結果之上。
組合子B和C類似於S,但把參數傳遞給應用的一個子項(B傳給“參數”子項,而C傳給“函數”子項),如果子項中沒有出現x,則保存後續的K。與B和C相比,S組合子實際上混合了兩個功能: 重新排列參數,並複製一個參數,以便它可以在兩個地方使用。W組合子只做後者,產生了SKI组合子演算的B,C,K,W系統。
可计算函数和lambda演算
[编辑]自然数的函数F: N → N是可计算函数,当且仅当存在着一个lambda表达式f,使得对于N中的每对x, y都有F(x) = y当且仅当f x == y,这裡的x和y分别是对应于x和y的邱奇数。这是定义可计算性的多种方式之一;关于其他方式和它们的等价者的讨论请参见邱奇-图灵论题。
lambda演算與編程語言
[编辑]匿名函數
[编辑]比如计算平方的函数 square 在 Lisp 中可以表示为如下的 lambda 表达式
(lambda (x) (* x x))
符号 lambda 创建一个匿名函数,给定参数列表 (x) ,以及一个作为函数体的表达式 (* x x)。 匿名函数有时称为 lambda 表达式。
很多命令式语言都有函数指针或者类似的机制。但是函数指针并不是类型中的一等公民,函数是一等公民当且仅当函数可以在运行时创建。 下面一些语言支持函数的运行时创建: Smalltalk、 JavaScript、 Kotlin、 Scala、 Python3、 C# ("delegates")、 C++11等。
化簡策略
[编辑]關於複雜度的註釋
[编辑]並行與並發
[编辑]参见
[编辑]参考文献
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- ^ For a full history, see Cardone and Hindley's "History of Lambda-calculus and Combinatory Logic" (2006).
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- ^ Alama, Jesse "The Lambda Calculus" (页面存档备份,存于互联网档案馆), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2013 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
- ^ Cardon, Felice; Hindley, J. Roger. History of Lambda-calculus and Combinatory Logic. 2006.
外部連結
[编辑]- L.Allison, Some executable λ-calculus examples (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Georg P.Loczewski, The Lambda Calculus and A++ (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- To Dissect a Mockingbird: A Graphical Notation for the Lambda Calculus with Animated Reduction
- 人物介紹
- 神奇的λ演算 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- (译) The Y combinator (Slight Return)
- Λ運算︰淵源介紹 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
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