循環單位
外观
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在趣味數學中,循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。
1966年,A.H. Beiler稱這類數為repunit,表示repeated unit。
對於n≥1,循環單位可以這樣定義:
亦可以用遞歸的方法:
循環單位的平方
[编辑]至的循環單位,的平方有一個很有趣的性質,它們都會得出由1到的數字順序組成的回文数。例如十进制中的:
1×1 = 1 11×11 = 121 111×111 = 12321 1111×1111 = 1234321 11111×11111 = 123454321 111111×111111 = 12345654321 1111111×1111111 = 1234567654321 11111111×11111111 = 123456787654321 111111111×111111111=12345678987654321
而上述原則於十進制,只在的情況下才能生效,因為在的情況下,的平方已經不能組成迴文數。例如:
11111111111×1111111111 = 1234567900987654321 111111111111×11111111111 = 123456790120987654321 1111111111111×111111111111 = 12345679012320987654321 11111111111111×1111111111111 = 1234567901234320987654321 111111111111111×11111111111111 = 123456790123454320987654321 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321 11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321 ...
雖然在的情況下,的平方不能組成迴文數,卻有著固定的結構:
- 如果,前綴:123456790,後綴:0987654321
- 如果,前綴:123456790,中段:從1開始順序數數,直至得出與9的差,再倒數至2,後綴:0987654321
循環單位質數
[编辑]當能被大於1的整除時,(例如),因此若是質數,必須是質數。
現在已知時,是質數,而的則可能是偽素數,是目前已知最大的可能質數。
號碼 | n | 年份 | 發現者 |
1 | 2 | - | - |
2 | 19 | - | - |
3 | 23 | - | - |
4 | 317 | 1978年 | Williams, Dubner |
5 | 1031 | 1986年 | Dubner |
6 | 49081 | 1999年 | Dubner |
7 | 86453 | 2000年 | Baxter |
8 | 109297 | 2007年 | Bourdelais, Dubner |
9 | 270343 | 2007年 | Voznyy, Budnyy |
10 | 5794777 | 2021年 | Batalov, Propper |
11 | 8177207 | 2021年 | Batalov, Propper |