模除
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模除(又稱模数、取模操作、取模運算等,英語:modulo 有时也称作 modulus)得到的是一个数除以另一个数的余数。
给定两个正整数:被除数 和除数 ,a modulo n (缩写为 )得到的是使用欧几里德除法时 的余数。 举个例子:计算表达式 "" 得到 1,因为 (5 除以 2 商 2 餘1);而 "" 得到 0,因为 ;注意:如果使用计算器做除法,不能整除时,你不会得到商,而是会得到一个小数,如:。
虽然通常情况下 和 都是整数,但许多计算系统允许其他类型的数字操作,如:对浮点数取模。一个整数对 取模的结果范围为: 0 到 ( 恒等于 0; 则是未定义的,在编程语言里可能会导致除零错误)。 有关概念在数论中的应用请参阅模算數。
当 或 为负数时,通常的定义就不适用了,不同的编程语言对结果有不同的处理。
定義与余数的计算
[编辑]程式語言 | 操作符 | 结果与...同符号 |
---|---|---|
AutoLISP | (rem d n) [1]
|
被除数 |
AWK | %
|
被除数 |
BASIC | Mod
|
未定义 |
C (ISO 1999) | % , div
|
被除数[2] |
C++ (ISO 2011) | % , div
|
被除数 |
C# | %
|
被除数 |
Clojure | mod
|
除数 |
rem
|
被除数 | |
CoffeeScript | %
|
被除数 |
%%
|
除数[3] | |
Dart | %
|
非负 |
remainder() | 被除数 | |
Erlang | rem
|
被除数 |
F# | %
|
被除数 |
Fortran | mod
|
被除数 |
modulo
|
除数 | |
Go | %
|
被除数 |
Haskell | mod
|
除数 |
rem
|
被除数 | |
Julia | % , mod , rem
|
除数 |
Kotlin | %
|
被除数 |
Java | %
|
被除数 |
Math.floorMod
|
除数 | |
JavaScript | %
|
被除数 |
Lua 5 | %
|
除数 |
Mathematica | Mod[a, b]
|
除数 |
MATLAB | mod
|
除数 |
rem
|
被除数 | |
Pascal (ISO-7185 and -10206) | mod
|
非负 |
Perl | %
|
除数 |
PHP | %
|
被除数 |
Prolog (ISO 1995[4]) | mod
|
除数 |
rem
|
被除数 | |
Python | %
|
除数 |
math.fmod
|
被除数 | |
Racket | remainder
|
被除数 |
R语言 | %%
|
除数 |
Ruby | %, modulo()
|
除数 |
remainder()
|
被除数 | |
Rust | %
|
被除数 |
Scala | %
|
被除数 |
Scheme R6RS[5] | mod
|
非负 |
mod0
|
最靠近0的数[5] | |
SQL (SQL:2012) | %
|
被除数 |
Swift | %
|
被除数 |
Verilog (2001) | %
|
被除数 |
VHDL | mod
|
除数 |
rem
|
被除数 | |
Visual Basic | Mod
|
被除数 |
WebAssembly | i32.rem_s, i64.rem_s
|
被除数 |
x86 汇编 | IDIV
|
被除数 |
程式語言 | 操作符 | 结果与...同符号 |
---|---|---|
C (ISO 1999) | fmod
|
被除数 |
remainder
|
最靠近0的数 | |
C++ (ISO 2011) | std::fmod
|
被除数 |
std::remainder
|
最靠近0的数 | |
C# | %
|
被除数 |
Common Lisp | mod
|
除数 |
rem
|
被除数 | |
Dart | %
|
非负 |
remainder() | 被除数 | |
F# | %
|
被除数 |
Fortran | mod
|
被除数 |
modulo
|
除数 | |
Go | math.Mod
|
被除数 |
Haskell (GHC) | Data.Fixed.mod'
|
除数 |
Java | %
|
被除数 |
JavaScript | %
|
被除数 |
Perl6 | %
|
除数 |
PHP | fmod
|
被除数 |
Python | %
|
除数 |
math.fmod
|
被除数 | |
Ruby | %, modulo()
|
除数 |
remainder()
|
被除数 | |
Scheme R6RS | flmod
|
非负 |
flmod0
|
最靠近0的数 | |
Swift | truncatingRemainder(dividingBy:)
|
被除数 |
在数学中,取模运算的结果就是欧几里德除法的余数。当然也有许多其他的定义方式。计算机和计算器有许多种表示和储存数字的方法,因此在不同的硬件环境下、不同的编程语言中,取模运算有着不同的定义。
几乎所有的计算系统中, 除 得到商 和余数 均满足以下式子:
然而这样做,当余数非 0 时,余数的符号仍然是有歧义的:余数非 0 时,它的符号有两种选择,一个正、一个负。[註 2] 通常情况下,在数论中总是使用正余数。但在编程语言中,余数的符号取决于编程语言的类型和被除数 a 或除数 的符号。 标准 Pascal 和 ALGOL 68 总是使用 0 或正余数;另一些编程语言,如 C90 ,当被除数 和除数 都是负数时,C90 标准并没有做具体的规定,而是留给编译器去定义并实现[6]。 在大多数系统上 时未定义的,虽然有些系统定义它就等于 。更多详情参见表格。
- 很多取模的实现都使用了截断除法,此时商由截断函数定义定义 ,因此由等式 1 有,余数和被除数符号一致。商向零取整:结果等于普通除法所得的小数靠近 0 方向的第一个整数。
- Raymond T. Boute[8]使用的欧几里得定义中,余数总是非负的 ,这与欧几里得算法是一致的。
在这种情况下:
或者等价的:
这里的 是符号函数,因此
常见错误
[编辑]当取模的结果与被除数符号相同时,可能会导致意想不到的错误。
举个例子:如果需要判断一个整数是否为奇数,有人可能会测试这个数除 2 的余数是否为 1:
bool is_odd(int n) {
return n % 2 == 1;
}
但在一个取模结果与被除数符号相同的编程语言里,这样做是错的。因为当被除数 n 是奇数且为负数时, 得到 −1,此时函数返回“假”。
一种正确的实现是测试取模结果是否为 0,因为余数为 0 时没有符号的问题:
bool is_odd(int n) {
return n % 2 != 0;
}
或者考虑余数的符号,有两种情况:余数可能为 1 或 -1。
bool is_odd(int n) {
return n % 2 == 1 || n % 2 == -1;
}
记号
[编辑]一些计算器有取模 mod() 按钮,很多编程语言里也有类似的函数,通常像 mod(a, n) 这样。 有些语言也支持在表达式内使用 "%"、"mod" 或 "Mod" 作为取模或取余操作符。
a % n
或
a mod n
或者在一些没有 mod() 函数的环境中使用等价的: (注意 'int' 事实上等价于截断函数,进行了向 0 取整)
a - (n * int(a/n))
等价性
[编辑]一些取模操作,经过分解和展开可以等同于其他数学运算。这在密码学的证明中十分有用,例如:迪菲-赫爾曼密鑰交換。
- 恒等式:
- 逆运算:
- .
- 表示模反元素。当且仅当 与 互质时,等式左侧有定义:。
- 分配律:
- ,符号 \ 是欧几里德除法中的除法操作符,运算结果为商
- .
- 除法定义:仅当式子右侧有定义时,即 、 互质时有:,其他情况为未定义的。
- 乘法逆元:.
性能问题
[编辑]可以通过依次计算带余数的除法实现取模操作。特殊情况下,如某些硬件上,存在更快的实现。 例如:2 的 n 次幂的模,可以通过逐位与运算实现:
x % 2n == x & (2n - 1)
例子,假定 x 为正数:
x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7
在进行位操作比取模操作效率更高的设备或软件环境中,以上形式的取模运算速度更快。[9]
编译器可以自动识别出对 2 的 n 次幂取模的表达式,自动将其优化为 expression & (constant-1)
。这样可以在兼顾效率的情况下写出更整洁的代码。这个优化在取模结果与被除数符号一致的语言中(包括 C 语言)不能使用,除非被除数是无符号整数。这是因为如果被除数是负数,则结果也是负数,但 expression & (constant-1)
总是正数,进行这样的优化就会导致错误,无符号整数则没有这个问题。
用途
[编辑]- 取模运算可用于判断一个数是否能被另一个数整除。对 2 取模即可判断整数的奇偶性;从 2 到 取模则可判断一个数是否为质数。
- 進制之間的轉換。
- 用于求取最大公约数的輾轉相除法使用取模运算。
- 密码学中的应用:从古老的凯撒密码到现代常用的RSA、椭圆曲线密码,它们的实现过程均使用了取模运算。
參見
[编辑]脚注
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ AutoCAD 2018 帮助: rem (AutoLISP). Autodesk, Inc. [2018-07-12] (中文).
- ^ ISO/IEC JTC. The ISO C99 Standard (ISO/IEC 9899:TC3 Committee Draft) (PDF). open-std.org: 6.5.5: 94. 2007-09-07 [2018-07-12]. (原始内容 (pdf)存档于2018-06-24) (英语).
If the quotient a/b is representable, the expression (a/b)*b + a%b shall equal a.
- ^ jashkenas. CoffeeScript Language Reference - Operators and Aliases. coffeescript.org. [2018-07-12]. (原始内容存档于2018-07-11) (英语).
% works just like in JavaScript, while %% provides “dividend dependent modulo”
- ^ J.P.E. Hodgson. Prolog: The ISO directives, control constructs and builtins.. 1999-04-12 [2018-07-12]. (原始内容存档于2017-12-25) (英语).
A conforming processor is required to support the arithmetic operations specified by the following tables. They conform to the ISO/IEC 10967-1 Language Independent Arithmetic standard.
- ^ 5.0 5.1 ROBERT BRUCE FINDLER, JACOB MATTHEWS. Revised6 Report on the Algorithmic Language Scheme. r6rs.org. 2007-09-26 [2018-07-12]. (原始内容存档于2018-03-15) (英语).
- ^ Jones, Derek M. The New C Standard: An Economic and Cultural Commentary (PDF). Addison-Wesley. 2003 [2018-07-11]. ISBN 9780201709179. (原始内容 (PDF)存档于2018-07-11) (英语).
- ^ Knuth, Donald. E. The Art of Computer Programming. Addison-Wesley. 1972 (英语).
- ^ Boute, Raymond T. The Euclidean definition of the functions div and mod. ACM Transactions on Programming Languages and Systems (ACM Press (New York, NY, USA)). April 1992, 14 (2): 127–144. doi:10.1145/128861.128862 (英语).
- ^ Horvath, Adam. Faster division and modulo operation - the power of two. July 5, 2012. (原始内容存档于2018-03-05) (英语).