Труды А.Н. Колмогорова определили пути развития многих разделов математики ХХ века, и не только. Значительное влияние работы Колмогорова оказали и на формирование нескольких направлений в теории связи, в частности на развитие статистических методов анализа радиотехнических систем, а также теорий оптимальной линейной фильтрации и информации. Следует отметить, что два первых направления Колмогоров разрабатывал, развивая математический язык и не имея в виду какие-либо конкретные прикладные задачи. Проблемы теории информации привлекли его внимание после прочтения знаменитой статьи Клода Шеннона - Математическая теория связи. Статистические методы исследования стали применяться в радиотехнике в середине 30-х годов. Их интенсивное использование в конце 40-х было обусловлено задачами обработки принимаемых сигналов в присутствии шумов. За счет повышения чувствительности приемных устройств планировалось расширить зону действия радиолокационных станций, аналогичные задачи приходилось решать и разработчикам систем радиосвязи. В создании статистических методов анализа радиотехнических систем существенную роль сыграла одна из самых замечательных работ А.Н. Колмогорова - Об аналитических методах в теории вероятностей, о которой П.С. Александров и А.Я. Хинчин написали так:
Во всей теории вероятностей ХХ столетия трудно указать другое исследование, которое оказалось бы столь же основополагающим для дальнейшего развития науки и ее приложений, как эта работа Андрея Николаевича. В наши дни из нее развилась обширная область учения о вероятностях - теория случайных процессов, по своему объему и количеству приложений могущая соперничать с классическими частями теории вероятностей. Управляющие марковскими процессами дифференциальные уравнения Колмогорова, строго и во всей широте математически обоснованные, содержали в себе в качестве частных случаев все те уравнения (Смолуховского, Чэпмена, Фоккера-Планка и др.), которые до тех пор кустарно, без достаточного основания и четкого выяснения лежащих в их основе предпосылок выводились и применялись физиками по отдельным поводам. В теории связи уравнения Колмогорова позволяют по стохастическим дифференциальным уравнениям, описывающим процесс, протекающий в исследуемой системе обработки сигналов (в общем случае нелинейной), найти распределение вероятности перехода этого процесса из состояния в момент времени t в другое состояние в момент времени s > t. В статистическую радиотехнику эти уравнения, по-видимому, были впервые введены одним из крупнейших советских ученых Р.Л. Стратоновичем. В 40-х годах в радиотехнических системах начинают применяться нелинейные следящие устройства, работающие при действии флуктуационных помех. Одна из важнейших проблем, возникающих при конструировании таких систем, - срыв слежения. Явления срыва слежения наблюдаются, например, в системах автоподстройки частоты и фазы, которые широко применяются в современной радиотехнике, в том числе и в устройствах приема сигналов с частотной модуляцией со сниженным порогом. Разработанный Колмогоровым математический аппарат оказывается адекватным тем сложным процессам, протекающим в следящих устройствах, и он начинает широко применяться для их анализа. С развитием спутниковых и тропосферных систем связи в 60-х годах возросла актуальность повышения помехоустойчивости приема сигналов с частотной модуляцией. Широко применялись следящие демодуляторы: синхронно-фазовый детектор, демодулятор с обратной связью по частоте, следящий гетеродин и т.д. Теория помехозащищенности основных типов следящих демодуляторов, основанная на применении теории марковских случайных процессов и уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, получила развитие в конце 60-х - начале 70-х годов. Важнейший раздел теории связи - теория оптимальной линейной фильтрации, т.е. выделение полезного сигнала из смеси сигнала и шума, поступающей на вход линейного фильтра. Теория позволяет синтезировать оптимальный линейный фильтр так, чтобы на его выходе сигнал воспроизводился с минимальной ошибкой. Применяется теория в задачах, связанных с созданием помехоустойчивых систем приема сигналов. При этом должно учитываться поведение смеси принятого сигнала и шума в прошлом, а также их статистические характеристики. Назначением оптимального фильтра является зачастую предсказание полезного сигнала (его экстраполяция) либо оценка его производной или интеграла по времени, а в общем случае на выходе оптимального фильтра должен воспроизводиться (с минимальной среднеквадратичной ошибкой) заданный линейный функционал от полезного сигнала. В 1941 году Колмогоров опубликовал фундаментальную математическую работу - Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей, которая заложила математические основы теории оптимальной линейной фильтрации. Краткие ее тезисы были опубликованы в Докладах Французской академии наук еще в 1939 году. В США аналогичные идеи были разработаны во время Второй мировой войны американским ученым Норбертом Винером. В 1949 году секретный отчет о результатах выполненных им исследований был рассекречен и издан в виде монографии Интерполяция, экстраполяция и сглаживание стационарных временных рядов. Выдающиеся ученые современности академик А.Н. Колмогоров и Норберт Винер - авторы основных положений теории оптимальной линейной фильтрации, заложившей фундамент современной теории связи. Большое значение для теории связи имели работы Колмогорова по теории информации, к проблемам которой он обратился в начале 50-х годов. Основные идеи были изложены в 1956 году в докладе Теория передачи информации на сессии АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. Математический фундамент теории был заложен в работах Колмогорова, Гельфанда, Яглома и Хинчина. А.Н. Колмогоров показал, что наряду с вероятностным шенноновским подходом к определению количества информации возможны и во многих случаях более эффективны комбинаторный и алгоритмический подходы. Благодаря этому был создан новый раздел науки - алгоритмическая теория информации. Академик Колмогоров оставил человечеству огромное наследство. Память о великих людях увековечивают, присваивая их имена улицам городов, кораблям, научным институтам. Однако истинное бессмертие человек обретает, сливаясь с идеями, которые он открыл миру. Имя Пифагора навеки связано с теоремой, имя Колмогорова - с фундаментальными результатами современной математики. В теории вероятностей и математической статистике есть неравенство Колмогорова, уравнения Колмогорова-Чепмена, критерий Колмогорова-Смирнова. Символично, что по инициативе Колмогорова в МГУ в 1956 г. открылся первый в нашей стране семинар по математической лингвистике, а в 1959-м на филологическом факультете было создано отделение прикладной лингвистики. Колмогоров, подобно великим ученым прошлого Эйлеру и Бернулли, был математиком-универсалом, внесшим огромный вклад во многие ее разделы - математическую логику, гидромеханику, теорию множеств и функций, классическую механику. Он автор ряда основополагающих работ по стиховедению и теории связи. Жизнь Андрея Николаевича Колмогорова - пример необычайно счастливой и созидательной жизни человека, рано осознавшего свое предназначение, человека, чей духовный рост неуклонно продолжался всю жизнь. Один из его учеников математик В.А. Успенский вспоминал: Я никогда не встречал человека, ведущего более полноценную жизнь, чем Колмогоров. Профессиональные занятия математикой (и притом на высшем доступном человеческому интеллекту уровне) гармонически сочетались с чтением стихов, созерцанием картин, слушанием музыки, путешествиями, высокой физической культурой - именно культурой, а не спортом: состязательным спортом Колмогоров не занимался никогда. Размышления о своем будущем сопровождали его всю жизнь. В 1943 г. он начинает вести дневник: записывать, что сделано, что хочется изменить в своей жизни, что нужно сделать, и потом проверять исполнение - идея не новая, но одинаково полезная и в 16, и в 40 лет...к сорока годам я стал живее чувствовать, как жизнь течет и уходит...насколько прожитое уже имеет самостоятельную ценность по сравнению с предстоящим далее...Андрей Николаевич составляет план, который иронично называет Календарный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия. В нем он намечает активную научную деятельность до своего 60-летия, а позже подготовку учебников для средней школы, полного собрания своих математических работ и написание Истории форм человеческой мысли. Его биография показывает, что этому человеку удалось реализовать по крайней мере часть своих замыслов. Колмогоров родился 25 апреля 1903 года в г. Тамбове. Его отец Николай Матвеевич Катаев был агрономом. Мать Мария Яковлевна Колмогорова скончалась при родах, и он был усыновлен и воспитывался ее сестрой Верой Яковлевной. Дед Колмогорова по материнской линии был очень крупным помещиком и предводителем дворянства Угличского уезда Ярославской губернии, дед по отцовской линии - священником. Раннее детство Колмогоров провел в Ярославской губернии в родовом имении родителей его матери Туношне. На его воспитание наложили отпечаток, с одной стороны, обстановка богатого дворянского дома, а с другой - привычки либеральной интеллигенции. В 1910 г. Колмогоров поступает в приготовительный класс частной гимназии Е.А. Репман в Москве, где царили демократические порядки: обучение мальчиков и девочек велось совместно, отсутствовала введенная царским правительством процентная норма приема евреев, осуществлялись многие педагогические эксперименты. Школа, к которой Колмогоров сохранил чувство глубокой признательности, способствовала формированию в учениках любви к знаниям. Он вспоминал: многие школьники состязались между собой в самостоятельном изучении дополнительных материалов, иногда даже с коварными замыслами посрамить своими знаниями менее опытных учителей...по математике я был одним из первых... но более серьезными научными увлечениями в школьное время для меня были сначала биология, а потом русская история. - Колмогоров много читает, самостоятельно изучает труд К.А. Тимирязева - Жизнь растений - и высшую математику по энциклопедии Брокгауза и Ефрона. В школьные годы у А.Н. Колмогорова начали складываться глубокие дружеские связи и его отношение к дружбе между людьми как к высшей духовной ценности. По окончании школы в 1920 г. поступает на физико-математический факультет Московского государственного университета. Решение стать математиком пришло не сразу. Андрей Николаевич писал: Техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделением университета я поступил на металлургический факультет Менделеевского института, в котором прозанимался около двух месяцев. Но скоро интерес к математике перевесил сомнения в актуальности профессии математика. Однако первым научным докладом, который я сделал в 17-летнем возрасте в МГУ, был доклад в семинаре профессора С.В. Бахрушина о новгородском землевладении. С МГУ, который А.Н. Колмогоров закончил в 1925 г., неразрывно связана вся его жизнь. В годы учебы Андрей Николаевич активно участвует в работе семинаров, проводимых крупнейшими русскими математиками Н.Н. Лузиным, А.К. Власовым и В.В. Степановым, выполняет ряд математических работ, одна из которых - построение ряда Фурье, расходящегося почти всюду, принесла ему мировую известность. Еще студентом Колмогоров начинает преподавать в средней школе. Будучи аспирантом Н.Н. Лузина, Колмогоров в сотрудничестве с А.Я. Хинчиным, впоследствии также академиком, проводит исследования в области теории вероятностей, где добивается выдающихся научных результатов. По окончании аспирантуры А.Н. Колмогоров защищает докторскую диссертацию и становится старшим научным сотрудником Научно-исследовательского института математики и механики при МГУ и одновременно заведующим кафедрой математики в Индустриально-педагогическом институте им. Карла Либкнехта. К этому времени относится и одно из важнейших событий в его жизни - начало дружбы с другим выдающимся советским математиком Павлом Сергеевичем Александровым. На закате жизни Колмогоров писал: Для меня эти 53 года нашей тесной и неразрывной дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны Павла Сергеевича. - Гениальный человек далеко не всегда является высоконравственной личностью. Однако в А.Н. Колмогорове естественным образом совмещались высочайший интеллект, порядочность и способность любви к ближнему. Проявлялось это в отношениях с учениками, в его многогранной общественной деятельности, на которую он не жалел ни сил, ни времени, в активном содействии реформированию математического образования в средней школе. Огромное значение Колмогоров придавал дружбе и глубокой духовной связи между людьми. В одном из его писем изложены следующие мысли о дружбе:...человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане огоньков, которые лишь смутно чувствуют слияние, рассеиваемое всеми другими, но связаны сетью ясных огненных нитей, каждый в одном, двух, трёх...направлениях. И возникновение таких прорывов через туман к другому огоньку вполне разумно называть чудом. И ещё: скажу только, что по собственному опыту знаю, что наша человеческая любовь происходит по образцу некоторого индуктивного процесса: любовь к данному избранному человеку, в котором действительно на каждую чёрточку его существа радуешься и в котором всякое проявление красоты человеческой воспринимаешь, порождает такую большую радость и освобождает такую большую энергию любви, что эта радость ни во что другое не может перейти, как любовь ко всем людям и ко всему миру - пусть несовершенную, но такую, на которую данный человек способен. А этот проблеск универсальной любви даёт новый толчок к любви индивидуальной и т.д,...если люди научатся радоваться, они сами собой научатся и любить, потому что невозможно радоваться всей душой и в то же время хоть к кому-нибудь относиться не по-человечески. А радоваться легче всего и проще всего, имея избранного друга. - С июня 1930 по март 1931 г. Колмогоров находился в своей первой научной командировке в Европе, где обсуждал с крупнейшими немецкими и французскими математиками вопросы теории функций, диффузных случайных процессов, теории множеств, вероятностей и интуиционистской логики. В Геттингене, который в 30-х годах был Меккой математиков, он встречается с Д. Гильбертом, Г. Вейлем, Р. Курантом, Э. Ландау, Э. Нетер; во Франции устанавливает научные связи с М. Фреше, П. Леви, Э. Борелем и А. Лебегом. В 1931 г. Колмогоров становится профессором МГУ, а в 1933-м назначается директором Института математики и механики при МГУ. В этой должности он работает до 1939 г. и с 1951 по 1953 год. В середине 30-х годов А.Н. Колмогоров и П.С. Александров приобретают загородный двухэтажный дом в деревне Комаровка на берегу Клязьмы (недалеко от станции Болшево), где и протекала в основном их творческая жизнь. В Москву они приезжали лишь на два-три дня в неделю для преподавания и решения административных вопросов. Дом в Комаровке всегда был полон учеников. Регулярно навещали ученых и выдающиеся зарубежные математики - Адамар, Фреше, Хопф и др. В 1939 г. А.Н. Колмогорова избирают действительным членом АН СССР и одновременно (до 1942-го) академиком-секретарем отделения физико-математических наук. В 1942 г. Андрей Николаевич женится на своей однокласснице Анне Дмитриевне Егоровой. Будучи крупнейшим специалистом по проблемам турбулентности, А.Н. Колмогоров создает в 1946 г. лабораторию атмосферной турбулентности в Институте теоретической геофизики АН СССР. С 1954 по 1956 год и с 1978-го до своей кончины А.Н. Колмогоров заведовал отделением математики механико-математического факультета МГУ, а с 1954 по 1958-й был деканом этого факультета, где основал кафедру теории вероятностей. С 1980 года он заведовал кафедрой математической логики. Колмогоров много выступал с лекциями по широчайшему кругу научных проблем. Он блистательно излагал свои мысли на бумаге, однако устную его речь, по воспоминаниям учеников, воспринимать было неимоверно трудно. В.А. Успенский писал: Колмогоров всегда предполагал наличие у собеседника или слушателя интеллекта, равного колмогоровскому...он считал, что весь мир населен Колмогоровыми, потому его лекции для школьников были доступны скорее старшекурсникам университета. Его лекции для аспирантов с интересом и пользой для себя слушали доктора наук, доклады для докторов наук не понимал никто, кроме самого докладчика. - В 1960 г. Андрей Николаевич создал лабораторию вероятностных и статистических методов. Задачами лаборатории были изучение и разработка вероятностно-статистических методов, их пропаганда и внедрение в научную, инженерную и медицинскую практику, педагогическая и издательская деятельность. Лаборатория походила на небольшой институт со специализированной библиотекой, помещением для ЭВМ, аудиторией. Особое внимание уделялось формированию библиотеки, книги для которой приобретались на валютные средства, пожертвованные А.Н. Колмогоровым. В начале 1970-х годов А.Н. Колмогоров участвовал в двух экспедициях на научно-исследовательском судне Дмитрий Менделеев. В качестве научного руководителя этих рейсов он совместно с учениками проводил исследования турбулентности океана. В 1953 г. А.Н. Колмогоров был избран почетным членом Московского математического общества и многие годы оставался его президентом. Колмогоров внес уникальный вклад в дело распространения математических знаний. Он был членом редколлегий многих журналов: Математический сборник, Доклады АН СССР, Успехи математических наук. В 1956 г. Андрей Николаевич основал журнал Теория вероятностей и ее применение - и в течение десяти лет был его главным редактором. В 1966 г. его избирают действительным членом Академии педагогических наук. Андрей Николаевич был одним из инициаторов создания при МГУ школы-интерната, в которой сам и преподавал. Совместно с академиком И.К. Кикоиным он стоял у истоков создания физико-математического журнала Квант для юношества, многие годы был первым заместителем главного редактора. Делами отечественной средней школы Андрей Николаевич интересовался до последних дней своей жизни. С середины 30-х годов А.Н. Колмогоров много сил отдавал подготовке Большой и Малой советских энциклопедий. Он возглавлял математический отдел и написал немало блестящих статей. Колмогоров был избран членом многих академий и научных обществ, почетным профессором университетов в различных странах мира. Его заслуги были отмечены всевозможными премиями и наградами, в том числе международными премиями Бальцана, Вольфа. За цикл работ по теории случайных процессов А.Н. Колмогоров и А.Я. Хинчин были удостоены Государственной премии СССР, за труды по теории возмущений гамильтоновых систем (совместно с академиком В.И. Арнольдом) - Ленинской премии. Двенадцать учеников крупнейшего ученого ХХ столетия А.Н. Колмогорова стали членами Академии наук СССР. Научную школу Колмогорова можно поставить в один ряд со школами великих физиков Резерфорда и Бора. Умер Андрей Николаевич 20 октября 1987 года
А.Н. Колмогоров. Три подхода к определению понятия Количество информации
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_388.htm
В.А. Успенский. Андрей Николаевич Колмогоров - великий ученый России
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_358.htm
О Колмогорове А.Н. ( В.Тихомиров)
http://www.kirsoft.com.ru/cgi-bin/users/ks/ns_file.cgi?Pac+1_75
Материалы к биографии Андрея Николаевича Колмогорова
Curriculum Vitae (подготовлено Н.Г. Химченко) - 67 Kb http://pms.ru/kolmogorov/curriculum-vitae.html
Колмогоров Андрей Николаевич (Б.В. Гнеденко, статья из 3-го издания БСЭ) http://pms.ru/kolmogorov/bse-kolmogorov.html
Переписка А.Н. Колмогорова с П.Л. Капицей http://pms.ru/kolmogorov/kolmogorov-kapitsa.html
Publications in English
Kolmogorov, Andrey Nikolayevich (Encyclopaedia Britannica Article)
http://www.britannica.com/eb/article?eu=47019
Andrei Nikolaevich Kolmogorov (V. M. Tihomirov)
http://pms.ru/kolmogorov/tikhomirov-andrey_nikolaevich_kolmogorov.html
A Short Biography of A.N. Kolmogorov (Paul M.B. Vitanyi)
http://www.cwi.nl/~paulv/KOLMOGOROV.BIOGRAPHY.html
Andrey Nikolaevich Kolmogorov (J J O'Connor and E F Robertson)
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Kolmogorov.html
Учителя
Лузинская математическая школа. (П. Александров, Квант, 1977, N10)
http://kvant.mccme.ru/1977/10/luzinskaya_matematicheskaya_shkola.htm
Николай Николаевич Лузин. (М. А. Лаврентьев, Успехи математических наук, 1974 г., сентябрь-октябрь, т.XXIX, вып.5 (179))
http://prometeus.nsc.ru/akademgorodok/lavrentev/works/luzin.ssi
Павел Самуилович Урысон. (П. Александров, Квант, 1974, N8)
http://kvant.mccme.ru/1974/08/pavel_samuilovich_uryson.htm
Воспоминания
Гений, живший среди нас (В.М. Тихомиров) - 67 Kb
http://pms.ru/kolmogorov/tihomirov-geniy_zhivshiy_sredi_nas.html
А.Н. Колмогоров - великий ученый России (В. А. Успенский, Очерки истории информатики в России, ред.-сост. Д. А. Поспелов и Я. И. Фет)
http://www.ibmh.msk.su/vivovoco/VV/PAPERS/BIO/KOLMOGOR/USPENSKY.HTM
Предварение для читателей НЛО к семиотическим посланиям Колмогорова (В. А. Успенский, журнал Новое литературное обозрение, 1997, N24)
http://www.ibmh.msk.su/vivovoco/VV/PAPERS/BIO/KOLMOGOR/USP_PREV.HTM
Публикации
К 95-летию великого ученого http://pms.ru/kolmogorov/95.html
А.Н. Колмогоров (К 90-летию со дня рождения) (Владимир Тихомиров, Квант, 1993, N3/4)
http://www.ibmh.msk.su/vivovoco/VV/Q_PROJECT/HEAP/93_03_2/93_03_21.HTM
Сокращённая версия статьи: Успенский пишет о Колмогорове, Историко-математические исследования, сер.2, вып.1, (36), 165-191, Янус, Москва, 1996]
http://poesis.guru.ru/poeti-poezia/kushner/univers.htm
Андрей Николаевич Колмогоров (к семидесятилетию со дня рождения) (Смолянский М., Квант, 1973, N4)
http://kvant.mccme.ru/1973/04/andrej_nikolaevich_kolmogorov_k_semidesyatiletiyu_so_dnya_rozhdeniya.htm
А.Н. КОЛМОГОРОВ. Лицо математики XX века (Б. М. Писаревский, В. Т. Харин, - Беседы о математике и математиках, беседа вторая)
http://pms.ru/kolmogorov/pisarevsky-kharin-kolmogorov_litso_matematiki_xx_veka.html
Андрей Николаевич Колмогоров - ученый и человек...
А.Н. Колмогоров. Основные понятия теории вероятностей.
А.Н.Колмогоров. Об одном новом подтверждении законов Менделя
А.Н. Колмогоров. Три подхода к определению понятия "Количество информации".  
А.Н. Колмогоров. Автоматы и жизнь.  
Я всегда считал, что истина - главное
МАТЕМАТИКА.  Энциклопедия Математика-М. 1998, 846 стр. А.Н. КОЛМОГОРОВ  
Переписка А. Н. Колмогорова с П.Л. Капицей
Последнее интервью   
http://www.biometrica.tomsk.ru/kolmogorov/kolmogorov_100.htm
Андрей Николаевич Колмогоров http://finmath.com/Chicago/NAFTCORP/ANKolmogorov.html
А.Н. Колмогоров и летняя школа на рубском озере http://www.interline.ru/~khash1/facult/summer_s/index.htm
Пример Колмогорова всюду расходящегося ряда Фурье
http://www.nature.ru/db/msg.html?mid=1159350&uri;=node2.html
статья А.Н. Колмогорова - Математика
http://www.chita.ru/public_html/arx/MAIN1.htm
Гнеденко Б.В. Очерк по истории теории вероятностей
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_345.htm
http://www.math.msu.su/probab/basicfields.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Kolmogorov.html
Алгоритмический подход к количественному определению информации
http://vbvvbv.narod.ru/problemnegentropy/algoritm/index.htm