Инволюция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Инволюция

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Определение[править | править код]

Функция называется инволюцией, если для всякого .

Свойства[править | править код]

  • Композиция двух инволюций и является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: .

Примеры[править | править код]

  • , заданная на множестве целых , рациональных или вещественных чисел ;
  • простейшие инволюции на множестве вещественных чисел :
    , , , , , ;
  •  — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества ;
  •  — логическое отрицание булевой алгебры;
  • Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
    • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
  • инверсия;
  • комплексное сопряжение;
  • преобразование Лежандра
  • Перестановка является инволюцией, если , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:
    .
    • Число инволюций в группе перестановок порядка определяется по формулам:
      (рекуррентная формула),
      ,
(первые значения : 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152[1]).

Примечания[править | править код]

  1. последовательность A000085 в OEIS