Резольвента интегрального уравнения

Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

$f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)$

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция $\Gamma (s,\;t,\;\lambda )$ переменных $s$, $t$ и параметра $\lambda$, что решение уравнения (*) представляется в виде:

$u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.$

При этом $\lambda$ не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пример

Пусть уравнение (*) имеет ядро $K(s,\;t)=s+t$, то есть само уравнение имеет вид:

$\varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).$

Тогда его резольвентой является функция

$\Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1}{3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.$

Резольвента линейного оператора

Пусть $A$ — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция

$R(z)=(A-zE)^{-1}$,

где $E$ — тождественный оператор, а $z$ — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что $R(z)$ есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

См. также

• Спектр оператора