C*-алгебра

C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• А является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы.
• А замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс не-гильбертовых С*-алгебр составляют алгебры непрерывных функций $C_{0}(X)$ на пространстве $X$.

C*-алгебры впервые были рассмотрены главным образом с целью использования их в квантовой механике для моделирования алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана.

Примерно в 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали теоретическую характеристику C*-алгебр.

C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований является классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.

Формальное определение

C*-алгеброй называют банахову алгебру A над полем комплексных чисел, для всех элементов которой ${\textstyle x\in A}$ определено отображение ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$ со следующими свойствами:

• Это отображение — инволюция для каждого x в A:

$x^{**}=(x^{*})^{*}=x$

• Для всех x, y в A:

$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$

$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$

• Для всякого комплексного числа $\lambda$ в $\mathbb {C}$ и всякого x в A:

$(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}$

• Для всех x в A:

$\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|$

Примечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй. Последнее тождество называется C*-тождеством и эквивалентно формуле

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}$

С*-тождество является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

$\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ не обратимый}}\}.$

Ограниченный оператор $\pi$ : A $\to$ B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом, если

• для всех x и y из A выполняется

$\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)$

• для всех x из A выполняется

$\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}$

В случае C*-алгебр, любой *-гомоморфизм $\pi$ между C*-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой $\leq 1$. Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями C*-тождества.

Биективный *-гомоморфизм $\pi$ называется C*-изоморфизмом, и в этом случае А и B называются изоморфными.

Ссылки

• Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов = C*-Algebras and Operator Theory. — М.: Факториал, 1997. — ISBN 5-88688-016-X.
• Arveson W. An Invitation to C*-Algebra (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 13 «Graduate texts in mathematics». — 106 p. — ISBN 0-387-90176-0.
• Connes, Alain, Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X
• Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representations, Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
• Doran, Robert S.; Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
• Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
• A. I. Shtern (2001), "C* algebra", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1
• Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (2): 73—88, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08742-5